Долгов А.П., Лыкин А.В., Чебан В.М. Режимы электроэнергетических систем. Сборник задач

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

_____________________________________________________________________

А.П. ДОЛГОВ, А.В. ЛЫКИН,

В.М. ЧЕБАН

РЕЖИМЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Утверждено Редакционно-издательским

советом университета

в качестве сборника задач

НОВОСИБИРСК

2003

УДК 621.311.004.13(076.1)

Д 64

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В.З. Манусов,

канд. техн. наук, доцент Е.П. Гусев

Работа подготовлена на кафедре АЭЭС

для студентов ФЭН, обучающихся по специальности

1002 «Электроэнергетические системы и сети».

Долгов А. П., Лыкин А. В., Чебан В. М.

Д 64 Режимы электроэнергетических систем. Сборник задач. –

Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 68 c.

В сборнике задач приведены упражнения и задачи по вопросам анали-

за и моделирования установившихся режимов электроэнергетических сис-

тем с учетом вероятностного характера данных и переходных режимов.

Перед каждой темой даются краткие теоретические сведения, необходи-

мые при выполнении упражнений и решении задач. Некоторые примеры

расчетов даны в системе Mathcad. Пособие может быть полезно для маги-

странтов, аспирантов и студентов заочного отделения.

УДК 621.311.004.13(076.1)

 Новосибирский государственный

технический университет, 2003

1. вероятностные модели режимов ээс

1.1. Характеристики данных для расчетов установившихся

режимов ээс

ЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Данные для расчетов установившихся режимов ЭЭС содержат

систематические и случайные погрешности, которые могут учи-

тываться в расчетах и, таким образом, распространяться на ре-

зультаты. Для этого данные представляются случайными величина-

ми и случайными функциями времени (случайными процессами).

Случайные величины

Случайной величиной называется такая величина, которая в

результате опыта или испытания может принять одно из возмож-

ных значений и для которой можно узнать в той или иной форме

закон распределения вероятностей этих возможных значений.

Случайные величины бывают непрерывные и дискретные, а

также смешанные – дискретно-непрерывные.

Законом распределения случайной величины называется вся-

кое соотношение, устанавливающее связь между возможными

значениями случайной величины и соответствующими им веро-

ятностями. Как правило, закон распределения выражается функ-

цией распределения или плотностью распределения случайной

величины.

Функцией распределения случайной величины X называется

функция F

(x), которая равна вероятности события, когда X при-

мет значение меньшее, чем x:

( ) ( )

F x P X x

= <

Плотностью распределения случайной величины называется

функция

( )

dF x

f x

= .

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b)

выражается формулой

( ) ( ) ( )

i i

X X i i i i

x b x a

P a X b F b F a x p x p

< ≤

≤ < = − = −

∑ ∑

− для дискретной случайной величины;

( ) ( ) ( ) ( )

X X X

P a X b F b F a f x dx

≤ < = − =

∫

− для непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины X называ-

ется среднее значение

X i i

m x p

∑

− для дискретной случайной

величины;

( )

X X

m xf x dx

∞

−∞

∫

− для непрерывной случайной вели-

чины. Здесь p

– вероятность значения x

случайной величины X.

Дисперсия случайной величины X есть математическое ожи-

дание квадрата отклонения случайной величины от ее математи-

ческого ожидания:

( )

X i X i

D x m p

= −

∑

− для дискретной случайной величины;

( )

X X

D x m f x dx

∞

−∞

= −

∫

− для непрерывной случайной величины;

Среднеквадратическое отклонение случайной величины X

есть корень квадратный из дисперсии σ

X X

= .

Системы случайных величин

Совокупность нескольких случайных величин, рассматривае-

мых совместно, называется системой случайных величин.

Линейная вероятностная связь между двумя случайными ве-

личинами характеризуется коэффициентом корреляции

cov( , )

σ σ

X Y

r =

где

cov( , )

X Y

− ковариация X и Y (корреляционный момент

или

центральный момент второго порядка).

Ковариация X и Y определяется по выражениям:

( )

1 1

cov( , )

n n

i X j Y ij

i j

X Y x m y m p

= =

= − −

∑ ∑

− для дискретных случайных величин;

( )( )

cov( , ) ( )

X Y X

X Y x m y m f x dx

∞ ∞

−∞−∞

= − −

∫ ∫

− для непрерывных случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то ковариация и

корреляционный коэффициент равны нулю.

Для n случайных величин ковариации и коэффициенты кор-

реляции представляются в виде симметричных квадратных мат-

риц: ковариационной матрицы и матрицы корреляционных ко-

эффициентов:

1 2 1

2 1 2

1 2

cov( , ) ... cov( , )

cov( )

... ... ... ...

cov( , ) cov( , ) ...

x n

n n x

D x x x x

x x D x x

x x x x D

 

 

= =

 

 

R X ,

1 2 1

2 1 2

1 2

1 ...

... ... ... ...

... 1

n n

x x x x

r r

 

 

 

r .

Статистическая обработка данных в mathcad

В практических расчетах законы распределения и числовые

характеристики случайных величин получают из опытных дан-

ных, которые образуют статистические совокупности, называе-

мые выборками. Полученные по выборкам оценки характеристик

случайных величин называют статистиками.

Функции Mathcad, работающие с некоторыми распространен-

ными законами распределения, распадаются на три класса.

1. Плотности распределения вероятностей.

2. Функции распределения – вероятность того, что случайная

величина будет принимать значение, меньшее или равное опре-

деленной величине.

3. Обращенные функции распределения – позволяют по за-

данной вероятности вычислить соответствующее значение слу-

чайной величины.

Здесь приведены функции для нормального и равномерного

закона распределения.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ:

dnorm (x, µ, σ) − возвращает плотность нормального распре-

деления.

pnorm (x, µ, σ) − возвращает функцию нормального распреде-

ления.

cnorm (x) − возвращает функцию нормального распределения.

со средним 0 и дисперсией 1.

qnorm (p, µ, σ) − возвращает обращенную функцию нормаль-

ного распределения.

rnorm (m, µ, σ) − возвращает вектор m случайных чисел,

имеющих нормальное распределение.

Здесь x – значение случайной величины, µ – математической

ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение, p – вероят-

ность.

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ:

dunif (x, a, b) − возвращает плотность равномерного распреде-

ления.

punif (x, a, b) − возвращает функцию равномерного распреде-

ления.

qunif (p, a, b) − возвращает обращенную функцию равномер-

ного распределения.

rnd (x) − возвращает случайную величину, имеющую равно-

мерное распределение между 0 и x.

runif (m, a, b) −

возвращает вектор m случайных чисел, имею-

щих равномерное распределения.

Здесь x – значение случайной величины, a и b – границы ин-

тервала распределения, p – вероятность.

В системе Mathcad имеются следующие статистики:

СРЕДНЕЕ: mean (A) – среднее значение элементов выборки

объемом n x m (массива A).

ДИСПЕРСИЯ: var (A) – дисперсия элементов выборки объе-

мом n x m (массива A).

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ: stdev (A) – сред-

неквадратичное отклонение элементов выборки объемом n x m

(массива A).

МЕДИАНА: median (A) – медиана элементов выборки объе-

мом n x m (массива A). Медианой называется величина, левее и

правее которой в вариационном ряду находится равное количест-

во элементов выборки.

КОВАРИАЦИЯ: cvar (A,B) – ковариация двух выборок объе-

мами по n x m элементов (массивов A и B).

КОРРЕЛЯЦИЯ: corr (A,B) – коэффициент корреляции для

двух выборок объемами по n x m элементов (массивов A и B).

ПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 1

Вычислить вероятность отклонения напряжения на зажимах

электроприемников не более чем на 5 %:

1) от математического ожидания (событие 1),

2) от номинального значения (событие 2).

Случайная величина – отклонение напряжения V – подчиняется

нормальному закону распределения с параметрами: m

= 7 %, и

= 3 %.

Вычисления

1) Вероятность попадания случайной величины V в интервал

±5 % от математического ожидания отклонения напряжения:

(

)

( )

5 % 5 %

2 % 12 % (12) (2)

V V

P m V m

P V F F

− ≤ < + =

= ≤ < = −

pnorm 12 7, 3,( ) pnorm 2 7, 3,( )−:= P

0.904=

2) Вероятность попадания случайной величины V в интервал

±5 %

от номинального напряжения (нулевого отклонения):

(

)

5 % 5 % (5) ( 5)

V V

P V F F

− ≤ < + = − −

pnorm 5 7, 3,( ) pnorm 5− 7, 3,( )−:= P

0.252=

Анализ

Событие, наступающее с вероятностью, близкой к единице,

считается практически достоверным. По ГОСТ 13109-97 напря-

жение у электроприемников в нормальном режиме не должно

отличаться от номинального более чем на 5 %, а максимальные

отклонения допускаются до 10 %. В первом случае (событие 1)

вероятность выполнения ограничений достаточно велика, но бы-

ла вычислена не относительно номинального напряжения. Во

втором случая (событие 2) вероятность нормального отклонение

напряжения слишком мала и режим напряжения у электроприем-

ников нельзя считать удовлетворительным.

Упражнение 2

Вычислить статистики выборки объемом n = 24 случайной

величины тока нагрузки подстанции. Выборка представлена мат-

рицей I.

100













Медиана

median I( ) 70=

Вычисления

Математическое ожидание

mean I( ) 65.208=

Дисперсия

var I( ) 517.665=

Среднее квадратическое

отклонение

stdev I( ) 22.752=

Упражнение 3

Случайная величина отклонения напряжения V у потребите-

лей подчиняется нормальному закону распределения с парамет-

рами M [V] = 0,5 % и σ

= 2 %.

Определить вероятность попадания случайной величины V в

интервалы [1; 1,5] % и [5; 6] %.

Ответ: 0,09275 и 0,0091.

Упражнение 4

Случайная величина тока нагрузки I магистральной кабель-

ной линии на промышленном предприятии подчиняется нор-

мальному закону распределения с параметрами M [I] = 200 А,

= 50 А. Определить вероятность того, что нагрузка линии пре-

высит значение I

= 350 А, I

= 300 А, I

= 250 А.

Ответ: P (I > I

) = 0,00135; P (I > I

) = 0,02275; P (I > I

) =

= 0,15865.

Упражнение 5

По линии напряжением 6 кВ получают электроэнергию два

синхронных электродвигателя мощностью по 1000 кВт. Вероят-

ность работы одного электродвигателя p

= 0,7; двух электродви-

гателей p

= 0,3. Коэффициенты мощности обоих электродвига-

телей одинаковы. Случайная величина S (нагрузка линии) – не-

прерывная, ее условным распределением при числе работающих

электродвигателей N = n

(i = 1,2, т. е. n

= 1, n

= 2) является нор-

мальный закон распределения с математическими ожиданиями

M[S/N = i] и среднеквадратичными отклонениями σ

S/N = i

, причем

M [S/N = 1] = 500 кВ⋅А; σ

S/N = 1

= 200 кВ⋅А;

M [S/N = 2] = 1100 кВ⋅А; σ

S/N = 2

= 200 кВ⋅А.

Требуется найти функцию распределения F

(s) случайной ве-

личины нагрузки линии и вероятность того, что нагрузка линии

не превысит 1500 кВ⋅А.

Вычисления

Функция распределения нагрузки линии с учетом вероятно-

стей событий работы одного и двух двигателей

(

)

(

)

/ 1 / 2

( ) 1 ( ) 2 ( )

0,7 ( ) 0,3 ( ),

S S N S N

S N S N

F s P N F s P N F s

F s F s

= =

= = + = =

= +

где F

S/N = 1

(s) и F

S/N = 2

(s) − функции нормального распределе-

ния с

соответствующими параметрами.

Описание функции распределения в Mathcad

500:= σ

200:=

1100:= σ

200:=

Pnorm x( ) 0.7 pnorm x m

, σ

( )

⋅ 0.3 pnorm x m

, σ

(

)

⋅+:=

Вероятность непревышения значения 1500 кВ⋅А

Pnorm 1500( ) 0.993=

Упражнение 6

Независимые случайные величины токов I

и I

потребителей

1 и 2 (рис. 1.1) подчиняются нормальным законам распределения.

Для нагрузок 1 и 2 известны мате-

матические ожидания M[I

] = 300 А

и M [I

] = 400 А, а также средне-

квадратические отклонения σ

50 А и σ

= 100 А. Коэффициенты

мощности обеих нагрузок одина-

ковы.

Определить расчетную нагрузку головного участка линии I

вероятность превышения которой составляет 0,00135.

Вычисления

Нагрузка на головном участке линии равна сумме нагрузок

случайных величин потребителей 1 и 2. При сложении случайных

величин с нормальными законами распределения в результате

также получается случайная величина, имеющая нормальный за-

кон распределения. Числовые характеристики его определяются

по правилу сложения числовых характеристик токов нагрузок.

[

]

[

]

[

]

[ ] [ ] [ ]

1 2

300 400 700 А,

2500 10000 12500

А ,

112 А.

M I M I M I

D I D I D I

= + = + =

σ =

Расчетная нагрузка головного участка линии, вероятность

превышения которой равна 0,00135 P (I > I

) = 1 – P (I < I

) =

= 1 – F

(I) = 0,00135.

Используем обращенную функцию нормального закона рас-

пределения – по заданной вероятности определяем значение слу-

чайной величины, для которой выполняется неравенство P(I < I

qnorm 1 0.00135− 700, 112,( ) 1035.997=

1.2. Числовые характеристики функций

случайных величин

ЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рис.1.1.

Схема питания н

а-

грузок