Дементьев Ю.И., Самохин А.В., Жулёва Л.Д., Шевелёва В.Н. Сборник задач по высшей математике. Интегралы. Дифференциальные уравнения
Подождите немного. Документ загружается.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 31
3. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
sin
m
x
cos
n
x
dx É
R
cos
m
x
sin
n
x
dx.
Ú) m = n, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ tg
2
x =
1
cos
2
x
− 1.
Z
sin
m
x
cos
m
x
dx =
Z
tg
m−2
1
cos
2
x
− 1
dx =
=
Z
tg
m−2
d tg x −
Z
tg
m−2
x dx =
tg
m−1
x
m − 1
−
Z
tg
m−2
x dx,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÏÒÍÕÌÕ ÐÏÎÉÖÅÎÉÑ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
Z
cos
m
x
sin
m
x
dx =
Z
ctg
m
x dx = −
1
m − 1
ctg
m−1
x −
Z
ctg
m−2
x dx.
ðÒÉÍÅÒ 41.
Z
sin
3
x
cos
3
x
dx =
Z
tg
3
x dx =
Z
tg x
1
cos
2
x
− 1
dx =
=
Z
tg x d tg x −
Z
tg x dx =
tg
2
x
2
−
Z
sin x
cos x
dx =
=
tg
2
x
x
+
Z
d cos x
cos x
=
tg
2
x
2
+ ln |cos x| + C.
É) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ¡ ÞÅÔÎÙÊ, m = 2k.
Z
cos
m
x
sin
n
x
dx =
Z
cos
2k
x
sin
n
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
k
sin
n
x
dx.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ (1).
ðÒÉÍÅÒ 42.
Z
cos
4
x
sin
3
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
2
sin
3
x
dx =
=
Z
1 − 2 sin
2
x + sin
4
x
sin
3
x
dx =
Z
dx
sin
3
x
− 2
Z
dx
sin x
+
Z
sin x dx.
Ë) ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ m ÎÅÞÅÔÎÙÊ, m = 2k + 1.
Z
cos
m
x
sin
n
x
dx =
Z
cos
2k+1
x
sin
n
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
k
sin
n
x
d sin x.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÐÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÏÔÄÅÌØÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ×ÉÄÁ
R
t
m
dt.
32 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
ðÒÉÍÅÒ 43.
Z
cos
3
x
sin
2
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
sin
2
x
d sin x =
Z
dt
t
2
−
Z
dt =
= −
1
t
− t + C = −
1
sin x
− sin x + C,
ÇÄÅ t = sin x.
4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
dx
cos
m
x sin
n
x
, m > 0, n > 0.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
m
x · sin
n
x
dx =
=
Z
dx
cos
m−2
x sin
n
x
+
Z
dx
cos
m
x sin
n−2
x
,
ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙ-
ÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ.
ðÒÉÍÅÒ 44.
Z
dx
cos
3
x sin
2
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
3
x · sin
2
x
dx =
=
Z
dx
cos x sin
2
x
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos x sin
2
x
dx+
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos x
sin
2
x
dx +
Z
dx
cos
3
x
+
Z
dx
cos
3
x
.
åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cos
m+n
x.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
dx
cos
m+n
x
cos
m
x sin
n
x
cos
m+x
x
=
=
Z
dx
cos
2k
x tg
n
x
=
Z
(1 + tg
2
x)
k−1
· tg
−n
x d tg x =
=
Z
t
−n
(1 + t
2
)
k−1
dt,
ÇÄÅ t = tg x.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 33
ðÒÉÍÅÒ 45.
Z
dx
cos x sin
3
x
=
Z
dx
cos
4
x tg
3
x
=
=
Z
(1 + tg
2
x) tg
−3
x d tg x =
Z
t
−3
(1 + t) dt =
=
Z
(t
−3
+ t
−2
) dt = −
1
2 tg
2
x
−
1
tg x
+ C.
III. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
Z
sin(ax + b) cos(cx + p) dx,
Z
sin(ax + b) sin(cx + p) dx,
Z
cos(ax + b) cos(cx + p) dx
ÕÐÒÏÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÖÄÅÓÔ×
sin α cos β =
1
2
(sin(α + β) + sin(α − β)),
sin α sin β =
1
2
(cos(α − β) − cos(α + β)),
cos α cos β =
1
2
(cos(α + β) + cos(α − β)).
ðÒÉÍÅÒ 46.
Z
sin(3x + 1) cos(2x + 3) dx =
1
2
Z
(sin(5x + 4)+
+ sin(x − 2)) dx =
1
2
Z
sin(5x + 4)
5
d(5x + 4)+
+
Z
sin(x − 2) d(x − 2)
= −
cos(5x + 4)
10
−
cos(x − 2)
2
+ C.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÐÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÍÏÖÎÏ
ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ üÊÌÅÒÁ
sin x =
1
2i
(e
ix
− e
−ix
), cos x =
1
2
(e
ix
+ e
−ix
).
34 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
IV. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
Z
P (x) sin ax dx,
Z
P (x) cos ax dx,
Z
e
bx
sin ax dx,
Z
e
bx
cos ax dx,
Z
e
bx
sin ax dx,
Z
e
bx
cos ax dx,
ÇÄÅ P (x) ¡ ÃÅÌÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔÓÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ, ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.3.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ:
1.
R
(x
2
+ 3x
3
+ x + 1) dx;
2.
R
x
4
+
5
√
x + 3
√
x +
1
x
2
dx −
R
1
x
− 5
dx;
3.
R
1
√
x
−
1
4
√
x
3
dx;
4.
R
5x
8
+1
x
4
dx;
5.
R
x−1
5
√
x
4
dx;
6.
R
1
x
+
1
x
2
+
1
x
3
dx;
7.
R
(
√
x−1)
3
x
dx;
8.
R
(2
x
+ 3
x
) dx;
9.
R
4
x
3 +
4
−x
√
x
3
dx;
10.
R
e
x
2 −
e
−x
x
3
dx;
11.
R
2
1+x
2
−
3
√
1−x
2
dx;
12.
R
x
4
1+x
2
dx;
13.
R
e
x
1 +
e
−x
cos
2
x
dx;
14.
R
(sin x + 5 cos x) dx;
15.
R
cos 2x
cos
2
x·sin
2
x
dx;
16.
R
dx
sin
2
x·cos
2
x
;
17.
R
3 tg
2
x+4
sin
2
x
dx;
18.
R
3−2 ctg
2
x
cos
2
x
dx;
19.
R
1−sin
3
x
sin
2
x
dx;
20.
R
tg
2
x dx;
21.
R
ctg
2
x dx;
22.
R
sin
2 x
2
dx;
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 35
23.
R
cos
2
x
2
dx;
24.
R
sin
x
2
− cos
x
2
2
dx;
25.
R
2
x
e
x
dx;
26.
R
√
1+x
2
−
√
1−x
2
√
1−x
4
dx;
27.
R
cos 5x dx;
28.
R
sin 7x dx;
29.
R
cos
x
4
dx;
30.
R
e
−x
dx;
31.
R
e
x
2
+ e
−
x
2
dx;
32.
R
dx
cos
2
3x
;
33.
R
dx
sin
2
x
3
;
34.
R
(2 + 5x)
9
dx;
35.
R
dx
√
2−3x
;
36.
R
√
2x − 5 dx;
37.
R
3
√
3 − 7x dx;
38.
R
dx
5x+2
;
39.
R
dx
2−3x
;
40.
R
x dx
x
2
+3
;
41.
R
ctg x dx;
42.
R
tg x dx;
43.
R
sin x dx
1+3 cos x
;
44.
R
dx
x(1+ln x)
5
;
45.
R
cos 3x dx
3+sin 3x
;
46.
R
cos 2x
sin x cos x
dx;
47.
R
sin
2
x cos x dx;
48.
R
cos
3
x sin x dx;
49.
R
e
cos x
sin x dx;
50.
R
e
−x
3
x
2
dx;
51.
R
e
√
x
dx
√
x
;
52.
R
cos x dx
sin
3
x
;
53.
R
sin x dx
cos
5
x
;
54.
R
3
√
2+ln x
x
dx;
55.
R
√
3 + cos 5x sin 5x dx;
56.
R
cos 3x dx
7
√
3+5 sin 3x
;
57.
R
e
4x
5+2e
4x
dx;
36 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
58.
R
arctg
2
x dx
1+x
2
;
59.
R
3
√
arcsin x
√
1−x
2
dx;
60.
R
1−2 sin x
cos
2
x
dx;
61.
R
1+sin 2x
sin
2
x
dx;
62.
R
e
sin x
cos x dx;
63.
R
e
tg x
cos
2
x
dx;
64.
R
5
√
x
3
− 8 x
2
dx;
65.
R
4
√
1 − 6x
5
x
4
dx;
66.
R
2
√
x
√
x
dx;
67.
R
3
1
x
dx
x
2
;
68.
R
3x+5
√
4x+1
dx;
69.
R
5x−6
√
1−3x
dx;
70.
R
2−4x
√
7x−1
dx;
71.
R
e
arctg x
1+x
2
dx;
72.
R
sin
1
x
2
x
3
dx;
73.
R
4
1−3x
dx;
74.
R
arccos x
√
1−x
2
dx;
75.
R
e
−tg x
sec
2
x dx;
76.
R
arcsin x+x
√
1−x
2
dx;
77.
R
dx
x
2
−16
;
78.
R
dx
x
2
+4
;
79.
R
dx
√
4−x
2
;
80.
R
dx
√
4+x
2
;
81.
R
dx
√
x
2
−3
;
82.
R
dx
x
2
−5
;
83.
R
dx
x
2
+3
;
84.
R
dx
2−x
2
;
85.
R
dx
4x
2
+5
;
86.
R
dx
√
25−4x
2
;
87.
R
dx
√
3+2x
2
;
88.
R
dx
9x
2
−1
;
89.
R
dx
√
5−3x
2
;
90.
R
dx
3−5x
2
;
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 37
91.
R
dx
√
9x
2
−5
;
92.
R
x dx
√
2−x
4
;
93.
R
x
3
dx
√
x
8
−3
;
94.
R
e
x
dx
√
5−e
2x
;
95.
R
sin 2x dx
5−cos
2
2x
;
96.
R
2x−3
x
2
−4
dx;
97.
R
x+1
√
x
2
+1
dx;
98.
R
x+1
√
1−x
2
dx;
99.
R
5e
x
dx
√
e
2x
−4
;
100.
R
cos 5x dx
√
3 cos
2
5x−2
;
101.
R
sin
x
3
dx
4 cos
2
x
3
+9
;
102.
R
x
4
dx
√
4−x
10
;
103.
R
x
6
dx
x
14
+5
;
104.
R
e
−x
dx
e
−2x
+2
;
105.
R
dx
x
2
+4x+5
;
106.
R
dx
x
2
−6x+13
;
107.
R
dx
√
x
2
+2x+3
;
108.
R
dx
√
4x−x
2
;
109.
R
dx
√
3−2x−x
2
;
110.
R
dx
√
2+3x−2x
2
;
111.
R
dx
3x
2
−2x−1
;
112.
R
2x+1
x
2
−2x+5
dx;
113.
R
5x−1
x
2
+3x+3
dx;
114.
R
(1+x) dx
x
2
+x−1
;
115.
R
2−x
x
2
+4x+29
dx;
116.
R
3x−2
√
5−4x−x
2
dx;
117.
R
1−2x
√
4x
2
+4x+3
dx;
118.
R
5x+11
√
6x−x
2
−5
dx;
119.
R
1−3x
√
6x−x
2
dx;
120.
R
3+x
√
3x+2x
2
dx;
121.
R
4x+11
√
x
2
+8x+7
dx;
122.
R
7x−1
x
2
−6x+1
dx;
38 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
123.
R
x
3
x−2
dx;
124.
R
3x
2
+5
x+1
dx;
125.
R
x
4
x
2
+a
2
dx (a 6= 0);
126.
R
x−4
(x−2)(x−3)
dx;
127.
R
(x+1)
3
x
2
−x
dx;
128.
R
3x−1
2x+1
dx;
129.
R
2x
2
−1
x
2
−x+1
dx;
130.
R
x
4
−2x
3
x−3
dx;
131.
R
3x
3
−2x
2
x
2
−6x+10
dx;
132.
R
(x
3
−2x) dx
x
2
−8x+7
;
133.
R
3x
2
+1
x
2
−x+1
dx;
134.
R
3+x
x
2
+7x+13
dx;
135.
R
x
4
−3x
2
x−3
dx;
136.
R
x
2
+3x
x
2
+8x−7
dx;
137.
R
ln x dx;
138.
R
x ln x dx;
139.
R
x ln(3x + 2) dx;
140.
R
(x
2
+ 3x + 2) ln x dx;
141.
R
xe
−x
dx;
142.
R
xe
5x
dx;
143.
R
x
3
e
−x
dx;
144.
R
x
2
e
−
x
2
dx;
145.
R
(2x + 3)e
2x
dx;
146.
R
x cos x dx;
147.
R
x sin x dx;
148.
R
(x + 1) cos 3x dx;
149.
R
x
2
cos x dx;
150.
R
x cos
2
x dx;
151.
R
x dx
sin
2
x
;
152.
R
x
cos
2
x
dx;
153.
R
arctg x dx;
154.
R
arcsin x dx;
155.
R
x arctg x dx;
156.
R
x arcctg(1 − x) dx;
157.
R
arcsin x
√
1+x
dx;
158.
R
arctg
√
7x − 1 dx;
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ 39
159.
R
x ln
1+x
1−x
dx;
160.
R
e
x
sin x dx;
161.
R
e
x
cos x dx;
162.
R
e
2x
cos 3x dx;
163.
R
e
x
sin
x
2
dx;
164.
R
ln
2
x dx;
165.
R
ln x
5
√
x
dx;
166.
R
ln(x
2
+ 2) dx;
167.
R
cos(ln x) dx;
168.
R
x cos x dx
sin
3
x
;
169.
R
x tg
2
x dx;
170.
R
arctg x
x
2
dx;
171.
R
arcsin
√
x
√
x
dx;
172.
R
ln(x+2)
x
2
dx;
173.
R
arctg
√
x
√
x
dx;
174.
R
ln x
x
3
√
x
dx;
175.
R
√
7 − x
2
dx;
176.
R
√
x
2
− 5 dx;
177.
R
√
3 − x
2
dx;
178.
R
√
x
2
+ 2 dx;
179.
R
√
2 − 3x
2
dx;
180.
R
√
2x
2
− 1 dx;
181.
R
√
6x − x
2
dx;
182.
R
√
x
2
− 4x dx;
183.
R
√
x
2
+ 5x + 4 dx;
184.
R
√
3 − 2x − x
2
dx;
185.
R
√
5 + 4x − x
2
dx;
186.
R
√
2x − x
2
dx;
187.
R
sin x
√
2 − 3 cos
2
x dx;
188.
R
e
x
√
e
2x
+ 3 dx;
189.
R
cos x
p
sin
2
x + 3 dx;
190.
R
e
x
2
√
4 − e
x
dx;
191.
R
p
ln
2
x + 1
dx
x
;
192.
R
(2x − 1)
√
3x − x
2
dx;
193.
R
(x + 3)
√
5x + 2x
2
dx;
40 çÌÁ×Á I. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
194.
R
(x − 1)
√
−6x − x
2
dx;
195.
R
sin
2
x dx;
196.
R
cos
2
x dx;
197.
R
sin
2
mx dx (m 6= 0);
198.
R
cos
2
mx dx (m 6= 0);
199.
R
sin
3
x dx;
200.
R
cos
3
x dx;
201.
R
cos
4
x dx;
202.
R
sin
5
x dx;
203.
R
cos
2
x sin
2
x dx;
204.
R
sin
3 x
4
cos
3
x
4
dx;
205.
R
sin
2
x · cos
4
x dx;
206.
R
cos
2
x sin
4
x dx;
207.
R
sin
3
x cos
2
x dx;
208.
R
cos
7
x dx;
209.
R
sin
4
x cos
4
x dx;
210.
R
cos
3
x sin
5
x dx;
211.
R
sin
4 x
2
dx;
212.
R
(1 + 2 cos x)
2
dx;
213.
R
cos
5
x dx;
214.
R
dx
sin 2x
;
215.
R
dx
cos
x
3
;
216.
R
dx
sin 9x
;
217.
R
dx
cos 5x
;
218.
R
sin x+cos x
sin 2x
dx;
219.
R
sin 3x cos x dx;
220.
R
sin 3x sin 5x dx;
221.
R
sin nx sin mx dx (m + n 6= 0, m − n 6= 0);
222.
R
sin 3x sin x dx;
223.
R
sin
5x −
π
4
cos x dx;
224.
R
sin
x
3
cos
2x
3
dx;
225.
R
cos
3
x dx
sin
2
x
;
226.
R
sin
3
x
cos
2
x
dx;
227.
R
ctg
3
x dx;
228.
R
cos
3
x
sin
5
x
dx;
229.
R
sin
5
x
cos
3
x
dx;
230.
R
tg
4
x dx;