Давыдова В.Н., Мунш Т.А., Бадюля А.П. Mathcad в химической технологии

Подождите немного. Документ загружается.

циональны общей массе полимерных молекул, содержащих

мономерных

звеньев. В эквивалентной непрерывной форме ММР – это функция

)

(

описывающая молекулярную массу полимерных молекул, число звеньев в

которой колеблется в пределах от

до



, и пропорциональна

)

(

Если

)

(

– концентрация (или число) полимерных молекул длины

, то

)

(

)

(



Функцию

)

(

часто называют молекулярно-числовым распределени-

ем (МЧР).

Важными параметрами молекулярно-массового (молекулярно-числового)

распределения являются его моменты:











)()( dnnWndnnPn



Через них вычисляются следующие наиболее употребительные в поли-

мерной химии характеристики:

1) Среднечисловая степень полимеризации







)(

dnnW

dnnP

dnnnP



(средняя длина полимерных молекул)

2) среднемассовая степень полимеризации





P

(средняя молекулярная масса полимера)

3) среднеседиментационная степень полимеризации





4) дисперсия МЧР

)(







5) дисперсия ММР

)(









6) ширина ММР









Рассмотрим нахождение основных характеристик на конкретном при-

мере. Пусть МЧР в дифференциальной форме имеет вид:

)(

575,5

)(

)18(

)15(







eexP .

Рис. 84

График распределения показан на рис. 84. Распределение является би-

модальным. Как видно из графика, для вычисления его характеристик можно

ограничиться интервалом





. Достаточно рассчитать первые четыре

момента, записав их в вектор-столбец с помощью формулы (рис. 85):

Рис. 85

Основные характеристики рассчитываются через моменты (рис. 86):

Рис. 86

Теперь необходимо вычислить распределение МЧР в интегральной

форме. Для этого необходимо проинтегрировать функцию распределения

МЧР в дифференциальной форме. MathCad предоставляет пользователю бо-

гатый набор символьных операций. Все инструменты располагаются на спе-

циальной панели (рис. 87), которая выводится на экран специальной кнопкой

Рис. 87

Значения директив следующие:

1) simplify – упрощение выражений;

2) expand – разложение выражения по степеням;

3) factor – разложение выражения на простые дроби;

4) complex – преобразования в комплексной форме;

5) assume – присваивание переменным неопределенного значения, даже

если до этого им были присвоены значения, а также задание ограничений на

значения или тип переменных;

6) series – разложение в ряд по заданным переменным;

7) float – преобразование в формат чисел с плавающей точкой;

8) literally – запрет символьного преобразования для последующего

выражения;

9) parfac – разложение на элементарные дроби;

10) coeffs – возврат вектора с коэффициентами полинома;

11) fourier – прямое преобразование Фурье;

12) laplace – прямое преобразование Лапласа;

13) ztrans – прямое Z-преобразование;

14) invfourier – обратное преобразование Фурье;

15) invlaplace – обратное преобразование Лапласа;

16) invztrans – обратное Z-преобразование;

17) M

 – транспонирование матрицы;

18) M

–1

 – инвертирование матрицы;

19) |M| – вычисление детерминанта матрицы.

Нахождение интегральной кривой показано на рис. 88:

Рис. 88

Здесь последовательно использовано два символьных оператора, в ре-

зультате чего они автоматически расположились друг под другом. Использо-

вание оператора float обусловлено необходимостью принудительно ограни-

чить точность результата до третьего знака после запятой. В ответе

использована функция erf(x) – функция ошибок.

При аналитическом расчете неопределенного интеграла всегда необхо-

димо помнить о наличии свободного члена, который определяется исходя из

конкретных условий предметной области пользователем. В нашем случае

найденную функцию необходимо принудительно увеличить на ½.

График МЧР в интегральной форме представлен на рис.89:

Рис. 89

Задача 12. Расчет параметров кривых переходного процесса

В теории управления входные кривые, получаемые при нанесении сту-

пенчатого возмущения, носят название кривых переходного процесса или

кривых разгона, имея в виду, что процесс из состояния возмущения перехо-

дит к новому установившемуся состоянию. По кривым переходного процесса

получают следующие характеристики управляемости процесса: время запаз-

дывания, постоянную времени и коэффициент передачи (рис. 90).

Рис. 90

Проведем в точке A максимальной скорости изменения выходной ве-

личины касательную к кривой разгона и продолжим ее до пересечения с ли-

нией начального установившегося значения выходной величины (точка B).

Тогда отрезок времени от момента внесения возмущения до точки пересече-

ния касательной с осью (отрезок OB) определит общее суммарное время за-

паздывания объекта



. Отрезок времени от момента пересечения касатель-

ной с линией начального установившегося значения до момента пересечения

с линией нового установившегося значения (отрезок BC

) называется посто-

янной времени объекта

. Постоянная времени – это условное время изме-

нения выходной величины от начального значения до нового установившего-

ся, если бы это изменение происходило бы с максимальной скоростью для

данного переходного процесса.

Рассмотрим реальную задачу. Предположим, что кривая разгона задана

в аналитическом виде:

1sin21

)(

25,0







Нам необходимо найти уравнение прямой BC, которое задается в виде





)

(

Зная его, мы сможем определить параметры



По определению, угол наклона касательной определяется как произ-

водная от исходной функции. Таким образом,

)

(





Для вычисления производной нажмите кнопку на пане-

ли инструментов. Она выводит на экран дополнительную панель (рис. 6).

Первая кнопка этой панели, как явствует из рисунка, предназначена для вы-

числения первой производной. Введите исходную функцию, а затем нажмите

на кнопку вычисления производной. На рабочем листе появится шаблон для

заполнения (рис. 91)

Рис. 91

Заполнив его и нажав на кнопку — на панели Symbolic символьных

вычислений (рис. 87), можно получить аналитическое выражение для произ-

водной от

)

(

(рис. 92).

Рис. 92

Для дальнейшего анализа целесообразно присвоить выражение для

производной новой переменной, скажем,

)

(

(рис. 93)

Рис. 93

Полученная функция

)

(

)

(





представляет зависимость угла на-

клона касательной от времени

(рис. 94).

Рис. 94

Однако, как явствует из определения, касательную необходимо прово-

дить под максимальным углом. Из анализа графика видно, что максимальное

значение

t лежит в диапазоне

]

;

[

. Для точного определения

t необходи-

мо найти производную

)

(

)

(

)

(

ccc









и приравнять ее к нулю.

Для вычисления корня уравнения

)

(



ccc

воспользуемся функцией

])

[

(

root

. Она вычисляет корень трансцендентного уравнения

)

(



для переменной

, лежащий в диапазоне

]

;

[

(рис. 95)

Рис. 95

Таким образом, мы определили, что касательную нужно проводить в

точке 439,2



t . Угол наклона в этой точке 206,0)(







tck , а значение

587,0)(



ty . Для окончательного определения уравнения касательной ос-

талось найти свободный коэффициент

, который выражается как

ktyb





. Таким образом,

086



. Исходная кривая с касательной с

максимальным наклоном показаны на рис. 96.

Рис. 96

Начальное значение 333,0)0(



cy , новое устоявшееся

1)(







cy . Из геометрических соображений, величина



является ре-

зультатом пересечения прямых

)

(

y , а

– как разница абсциссы пере-

сечения прямых

)

(

y за вычетом



(рис. 97):

Рис. 97