Давыдова В.Н., Мунш Т.А., Бадюля А.П. Mathcad в химической технологии
Подождите немного. Документ загружается.
51
Рис. 57
52
Задача 9. Планирование эксперимента и построение
нелинейных регрессионных моделей
Тогда, когда зависимости между выходными и входными параметра-
ми носят явный нелинейный характер, для получения элементов матрицы
преобразования не могут быть использованы планы первого порядка. Для
получения математического описания объекта в этом случае часто использу-
ют так называемые композиционные планы второго порядка. Частным его
случаем является ортогональный центральный композиционный план
(ОЦКП). Модель имеет вид:
k
i
iii
ji
jiij
k
i
ii
XbXXbXbby
1
2
1
0
Для нахождения коэффициентов этого полинома необходим экспери-
мент, в котором каждый фактор варьировался бы не менее чем на трех уровнях.
С учетом этих соображений разработаны так называемые композици-
онные планы второго порядка. Структура этих планов представляет собой
композицию из плана первого порядка и некоторого числа добавочных опы-
тов. При этом один или несколько опытов проводится в центре плана. Благо-
даря такой структуре, такие планы экспериментов называются центральными
композиционными (ЦКП).
Рис. 58
53
На рис. 58 представлено факторное пространство ОЦКП для двух (а)
и трех (б) факторов.
Таблица 2
№ Фрагмент x
1
x
2
x
3
1 –1 –1 –1
2 +1 –1 –1
3 Ядро –1 +1 –1
4 +1 +1 –1
5 –1 –1 +1
6 +1 –1 +1
7 –1 +1 +1
8 +1 +1 +1
9
0 0
10
0 0
11 Звездные точки 0
0
12 0
0
13 0 0
14 0 0
15 Центр 0 0 0
Основные принципы построения матрицы планирования следующие:
– уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;
– частота смены уровней варьирования каждого последующего фак-
тора вдвое меньше, чем у предыдущего.
Общее число опытов ЦКП рассчитывают по формуле:
0
22 nkN
k
где
k
2
– число опытов в ядре плана,
k
2
– число опытов в звездных
точках,
0
n – число опытов в центре плана.
Из структуры ЦКП следует, что каждый фактор варьируется на пяти
уровнях:
,1,0,1, .
Для обеспечения ортогональности всех столбцов матрицы планирова-
ния вместо квадратов значений факторов вводят новые переменные:
54
N
j
jijijijiji
X
N
XXXX
1
2222'
1
Nj
k
i
,....,2,1
;
,...,
2
,
1
Из условия ортогональности таблицы получаем уравнение звездного
плеча
:
0)5,0(22
0
124
nk
kk
Решение этого уравнения имеет вид:
1
0
2
2
)5,0(
k
A
nkAAA
Коэффициенты регрессии по центральному композиционному орто-
гональному плану вычисляют в соответствии с формулами:
;
)(
;
)(
;;
1
2
1
'
1
'
1
2
1
1
2
1
1
'
0
N
u
iu
N
u
uiu
ii
N
u
juiu
N
u
ujuiu
ij
N
u
iu
N
u
uiu
i
N
u
u
x
yx
b
xx
yxx
b
x
yx
by
N
b
Дисперсии коэффициентов регрессии рассчитываются по формулам:
;
)(
;
)(
;;
2
1
'
2
0
2
1
2
2
0
2
1
2
2
0
2
2
0
2
'
0
N
u
iu
b
N
u
juiu
b
N
u
iu
b
b
x
s
s
xx
s
s
x
s
s
N
s
s
iiij
i
22
111
'
00
...
kkk
xbxbbb
2
2
22
2
2
1
22
)(...)(
11
'
0
0 kk
bkb
b
b
sxsxss
Допустим, необходимо определить условия получения максимальной
степени разложения боратов смесью серной и фосфорной кислот. В качестве
55
факторов, от которых зависит степень разложения (
y
), выбираем следующие:
1
x – температура реакции, °С;
1
x – продолжительность реакции, мин;
3
x – нор-
ма фосфорной кислоты, %;
4
x – концентрация фосфорной кислоты (P
2
O
5
),%.
Для получения уравнения регрессии используем ортогональный план
второго порядка. Число опытов в матрице планирования для
4
k
и 1
0
n
равно 25,
414
,
1
.
Таблица 3
x0 x1 x2 x3 x4 y
1 1 -1 -1 -1 -1 47,6
2 1 1 -1 -1 -1 68,6
3 1 -1 1 -1 -1 51,8
4 1 1 1 -1 -1 91,0
5 1 -1 -1 1 -1 49,6
6 1 1 -1 1 -1 76,8
7 1 -1 1 1 -1 55,7
8 1 1 1 1 -1 94,8
9 1 -1 -1 -1 1 29,6
10 1 1 -1 -1 1 66,0
11 1 -1 1 -1 1 34,4
12 1 1 1 -1 1 74,5
13 1 -1 -1 1 1 40,0
14 1 1 -1 1 1 74,1
15 1 -1 1 1 1 52,0
16 1 1 1 1 1 86,9
17 1 1,41 0 0 0 95,4
18 1 -1,41 0 0 0 41,7
19 1 0 1,41 0 0 79,0
20 1 0 -1,4 0 0 42,4
21 1 0 0 1,41 0 77,6
22 1 0 0 -1,4 0 58,0
23 1 0 0 0 1,41 45,6
24 1 0 0 0 -1,41 52,3
25 1 0 0 0 0 61,8
Дисперсию воспроизводимости определяем по четырем дополнитель-
ным опытам ( %69%,7,58%,3,59%,8,61
0
4
0
3
0
2
0
1
yyyy ):
2,62
4
4
1
0
0
u
u
y
y
56
73,4
3
)(
4
1
2
0
0
u
u
воспр
yy
s
По формулам рассчитываем коэффициенты уравнения регрессии вто-
рого порядка и ошибки коэффициентов:
769,012,173,3
544,001,039,4
486,016,271,4
91,107,603,7
79,036,334,17
56,02,023,61
1411
134
123
34442
24331
23220
jj
uj
j
b
b
b
sbb
sbb
sbb
bbb
bbb
bbb
Значимость коэффициентов проверяем по критерию Стьюдента:
02,0
544,0
01,0
26,0
769,0
2,0
67,35
486,0
34,17
13221
ttt
06,2
544,0
12,1
37,4
769,0
36,3
47,14
486,0
03,7
14332
ttt
03,1
544,0
56,0
89,7
769,0
07,6
69,9
486,0
71,4
23443
ttt
45,1
544,0
79,0
97,3
544,0
16,2
03,9
486,0
39,4
24124
ttt
51,3
544,0
91,1
85,4
769,0
73,3
3411
tt
Табулированное значение критерия Стьюдента равно 3,18. После от-
сева незначимых коэффициентов получим уравнение регрессии в безразмер-
ном виде:
2
44
2
33
2
11
34124321
07,636,373,3
91,116,239,471,403,734,1723,61
xxx
xxxxxxy
Методика проведения расчета.
57
Введите исходные данные, к которым относятся число факторов, чис-
ло точек в центре плана и значение критерия Стьюдента (рис. 59):
Рис. 59
Этих данных достаточно для вычисления звездного плеча
и числа
экспериментов (рис. 60):
Рис. 60
Далее необходимо сформировать значения факторов на всех уровнях
варьирования. При расчете лучше всего каждый фактор задавать в виде век-
тора-столбца
xi
, который содержит
N
строк.
«Нулевой» фактор равен единице для всех опытов. Поэтому имеет
смысл задать его с помощью формулы (рис. 61):
Рис. 61
Нижняя граница индексации определяется системной переменной
ORIGIN, которая может принимать значения 0 или 1 (по умолчанию ее зна-
чение равно 0). Для эффективного оперирования предметными сущностями в
данной задаче целесообразно изменить ее значение на 1.
Далее сформируйте векторы-столбцы для факторов
4
1
xx
и экспери-
ментальных данных
y
(на рис. 62 условно показан сокращенный вид):
58
Рис. 62
Для вычислений коэффициентов взаимодействия нам понадобятся
столбцы, являющиеся результатом перемножения других столбцов. Поэтому
лучше всего сделать «заготовки», которые будут использованы в дальней-
шем. Так, для вычисления коэффициента
12
b необходимо произведение
2
1
x
x
. В Mathcad введен специальный оператор векторизации. Под этим тер-
мином подразумевается одновременное проведение некоторой скалярной опера-
ции над всеми элементами вектора, помеченного операторам векторизации.
Векторизация осуществляется помещением соответствующего выра-
жения под знак длинной стрелки. Если, к примеру, A и B – векторы, то A · B
дает скалярное произведение этих векторов. Но то же произведение под зна-
ком векторизации создает новый вектор, каждый j-ый элемент которого есть
произведение j-ых элементов векторов A и B. (рис. 63, векторизованное про-
изведение для экономии места представлено транспонированным):
59
Рис. 63
Таким образом, сформируем вспомогательные переменные для вычис-
ления коэффициентов взаимодействия (рис. 64):
Рис. 64
Следует обратить внимание на то, что вспомогательные переменные
записываются без каких бы то ни было знаков препинания, в виде единой
символьной строки.
Аналогичным образом формируются вспомогательные переменные для
вычисления коэффициентов вида
ii
b (рис. 65):
Рис. 65
Теперь можно переходить непосредственно к вычислению коэффици-
ентов (рис. 66).
60
Рис. 66
Все остальные коэффициенты рассчитываются аналогично.
После вычисления коэффициентов вида
ii
b необходимо уточнить зна-
чение
0
b (рис 67):
Рис. 67
Для расчета дисперсии воспроизводимости целесообразно внести ре-
зультаты дополнительных опытов во вспомогательную матрицу (рис. 68).
Это позволяет эффективно автоматизировать расчеты.
Рис. 68
Ошибки коэффициентов (рис. 69):