Давыдова В.Н., Мунш Т.А., Бадюля А.П. Mathcad в химической технологии

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 1 – Исходные компоненты для приготовления смеси

конц

HNO

конц

SOH

Меланж 5 % 85 % 10 %

Олеум 0 % 0 % 104,5 %

Отработанная

SOH

30 % 0 % 70 %

Составим задачу в общем виде. Для этого введем следующие обозначе-

ния:

– количество нитрующей смеси, кг;

– количество

–го компонен-

та в смеси;

b – содержание

–го вещества в смеси, %;

– содержание

-го

вещества в

–ом компоненте, %.

Тогда количество

-го вещества в смеси, с одной стороны, будет равно



, а с другой стороны – сумме количеств этого вещества в каждом из

компонентов. Таким образом, получается система из 3-х линейных уравнений:













Gbxaxaxa

333,322,311,3

233,222,211,2

133,122,111,1

Для решения этой системы воспользуемся правилом Крамера. Для уп-

рощения расчетов:

1) Составим матрицы















333231

232221

131211

aaa

M и

















(рис. 36):

Рис. 36

2) Для вычисления неизвестной

x нужно выполнить подстановку:

вместо первого столбца матрицы

подставить вектор-столбец

















33323

23222

13121

aaGb

A , (рис. 37):

Рис. 37

3) Далее, по правилу Крамера, определяется значение переменной (рис. 38) :

Рис. 38

Аналогично определяются переменные

x и

x .

Задача 4 [1, стр. 197 – 198]. Оптимизация процесса каталитической

димеризации ацетилена

Задача линейного программирования сводится к нахождению экстре-

мума линейной функции нескольких независимых переменных с учетом ог-

раничений в виде системы линейных неравенств, в которые входят незави-

симые переменные.

Методика расчета.

Рассмотрим решение задачи: найти

x и

x , при которых:

3max xxZ





с ограничениями: 1







xx , 2





xx , 0



x , 0



x .

Для поиска значений переменных

xxx ...,

, при которых некоторая

функция )...,(

21 n

xxxf имеет максимальное или минимальное значение, ис-

пользуются функции maximize (f, x1, x2,…, xn) и minimize (f, x1, x2,…, xn).

Эти функции должны использоваться в составе блока решения, открывае-

мого директивой Given, и возвращают вектор неизвестных, при которых заданная

функция имеет максимальное или минимальное значения соответственно.

Рис. 39

Внутри блока могут быть различные ограничительные условия в виде

равенств или неравенств. Перед блоком решения надо задать начальные зна-

чения искомых переменных (рис. 39). Чем они ближе к верному решению,

тем быстрее будет получен правильный результат [2].

По приведенной методике необходимо решить следующую задачу.

В процессе каталитической димеризации ацетилена вместе с целевым

продуктом – моновинилацетиленом (МВА) получается и побочный продукт –

дивинилацетилен (ДВА). Реакционные газы после охлаждения водой и рас-

солом поступают на абсорбцию, где абсорбент (ксилол) поглощает МВА,

ДВА и другие высшие полимеры ацетилена, а непоглощенный ацетилен воз-

вращается в реакторное отделение.

Насыщенный абсорбент отделяется от МВА в десорбционной колонне

и виде возвратного абсорбента поступает на регенерацию. МВА из системы

абсорбция-десорбция поступает на дальнейшую очистку в каскад ректифика-

ционных колонн.

На протекание процесса влияют следующие величины:

x – расход га-

за, поступающего в систему, м

-1

;

x – концентрация МВА в реакционных

газах, %;

x – расход отходящего абсорбента, м

-1

;

x – температура отхо-

дящего абсорбента, С;

x – температура верха десорбционной колонны, С;

x – давление в десорбционной колонне, Па;

x – концентрация ДВА в от-

ходящем абсорбенте, %.

Необходимо минимизировать целевую функцию, связывающую влияю-

щие факторы с затратами на работу системы:

.875,35,163889,0

53,1459,058,2388,08,191

765

4321

xxx

xxxxZ











Система ограничений:

;39005,133432

72,3924,010300079,03170

4321







xxxx

;2,1501,0921,1

024,000041,0156,000035,0852,0

4321











xxxx

7284,501,0049,001,073,0

7542









xxxx ;

265230



x ; 84



x ; 9578



x ;

75,1



x ; 5644



x ; 47,029,0



x ; 7,03,0



x .

Задача 5 [3, стр. 48 – 50]. Отмывка полимеризата

Переход остатков катализатора в воду сопровождается гидролизом ос-

татков катализатора в воде с образованием твердого нерастворимого осадка,

который в случае перехода его обратно в полимеризат не может быть отмыт

водой. В предположении, что весь твердый осадок переходит обратно в по-

лимеризат, степень отмывки рассчитывается следующим образом:

)(



 .

Продолжительность отмывки изменяется в пределах

3600



секунд.

Выполнить качественного оценку хода процесса во времени при значе-

ниях констант









1075,3



b ,





Методика расчета.

Прежде всего, необходимо ввести исходные данные. При этом выраже-

ние для

должно быть определено как функция от

(рис. 40)

Рис. 40

Теперь необходимо построить график функции

)

(

. Для этого выпол-

ните пункт меню “Insert/Graph/X-Y Plot” (или нажмите кнопку на

панели инструментов для работы с графиками). На экране появится шаблон

графика (рис. 41):

Рис. 41

Введите вместо шаблона по оси Х имя независимого аргумента

, а в

место ввода шаблона по оси Y – функцию

)

(

. После этого щелкните вне

пределов графика левой кнопкой мыши – график построен (рис. 42).

По условиям задачи необходимо сравнить степень отмывки для двух

наборов параметров. Определите аналогичным образом функцию

)

(

для

второго набора значений параметров

. Теперь осталось только ото-

бразить обе кривые на одном графике. Для этого подведите указатель мыши

точно в конец выражения

)

(

и щелкните левой кнопкой мыши – появится

синий уголок в конце выражения (или перед ним). Теперь нажатием клавиши

<Пробел> добейтесь, чтобы уголок охватил все выражение. Введите знак за-

пятой, при этом вы заметите, что первое выражение ушло вверх, а под ним

появилось новое место ввода. Введите выражение

)

(

. Отведите указатель

мыши за пределы графика и щелкните левой кнопкой мыши – появится гра-

фик с двумя кривыми (рис. 42):

Рис. 42

Найдем точку пересечения этих кривых. Для этого можно использовать

несколько функций:

1) Find (v1,v2,…,vn) – возвращает значение одной или ряда пере-

менных для точного решения

2) Minerr (v1,v2,…,vn) – возвращает значение одной или ряда пе-

ременных для приближенного решения

Между этими функциями существуют принципиальные различия. Пер-

вая функция используется, когда решение реально существует (хотя и не яв-

ляется аналитическим). Вторая функция пытается найти максимальное при-

ближение даже к несуществующему решению путем минимизации

среднеквадратичной погрешности решения.

В нашем случае решение существует (кривые пересекаются), поэтому

будем использовать первую функцию.

При задании уравнения функции необходимо использовать особый

(жирный) знак равенства (кнопка = на панели Boolean) (рис. 43). Присваи-

вание

1000



задает начальное приближение для поиска корня

уравнения.

Рис. 43

Теперь поиск решения осуществляется в одну строчку (рис. 44):

Рис. 44

Задача 6 [4, стр. 33 – 34]. Ферментивный катализ

При ферментивном катализе субстрат S реагирует обратимо с фермен-

том E с образованием промежуточного комплекса SE. Далее этот комплекс

распадается на продукт P и фермент E. Для вывода кинетического уравнения

рассматривают случай, когда концентрация фермента значительно ниже кон-

центрации субстрата. Общее уравнение для скорости ферментивной реакции

можно записать в виде:





Уравнение называют уравнением Михаэлиса–Ментена. Оно представляет

собой функцию трех переменных. Для ее анализа недостаточно 3х-мерного

пространства, в котором мы живем. Mathcad представляет мощный инструмент

для решения подобных проблем – анимацию («оживление») графиков, позво-

ляющая добавить одно измерение – время – и проанализировать поведение

функции «во времени».

Принцип анимации достаточно прост. В системе имеется встроенная

переменная FRAME, принимающая целочисленные значения (по умолчанию

она изменяется от 0 до 9 с шагом 1). Любая функция, график которой плани-

руется наблюдать в развитии, должна быть функцией этой переменной, иден-

тифицирующей, по сути, просто номер текущего кадра.

Допустим, нам необходимо оценить поведение функции ),,( Kcrv

при изменении



c ,



. Будем откладывать по оси

абсцисс переменную

, а по оси ординат – переменную

. В качестве «вре-

менной» переменной будем использовать

c . Для плавности «оживления»

можно определить 20 кадров. Тогда переменную

c можно записать как

1*5,0





FRAMEc

. Таким образом, при изменении системной перемен-

ной FRAME от 0 до 20

c будет принимать значения от 1 (при FRAME=0) до

11 (FRAME=20) (рис. 45).

Рис. 45

Теперь необходимо с помощью пункта меню View/Animate вывести на

экран диалоговое окно для задания параметров анимации. В окне можно за-

дать три основных параметра анимации: начальное и конечное значения пе-

ременной FRAME и частоту смены кадров (рис. 46).

Рис. 46

Далее следует, не закрывая окна, выделить мышью нужный фрагмент

изображения. Можно выделить любую часть графика и даже расположенные

вокруг него объекты, например, формулы. Теперь, щелкнув на кнопке

Animate , приступайте к созданию последовательности анимационных кад-

ров. При этом кадры будут видны в области просмотра окна, а под этой обла-

стью можно наблюдать изменение переменной FRAME.

С помощью кнопки Options (параметры) можно выбрать формат сжа-

тия видеофайлов и систему работы с ними. Кроме Microsoft Video 1.1 воз-

можна работа и с рядом других видеосистем, разумеется, если они установ-

лены. Чем больше конечное значение переменной FRAME и выше частота

кадров, тем более плавно происходит его считывание, но увеличивается

объем AVI-файла.

По окончании создания серии кадров для анимации появится проигры-

ватель анимационных кадров. На этом создание анимационного рисунка за-

канчивается, и можно приступить к его просмотру. Для этого используется

специальный проигрыватель Playback. На рис. 47 показаны несколько кадров

анимированного рисунка в процессе воспроизведения.