Давыдова В.Н., Мунш Т.А., Бадюля А.П. Mathcad в химической технологии

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 69

Вообще говоря, при создании регрессионной модели на ЭВМ прово-

дить оценку значимости необязательно, так как традиционно это делается с

целью уменьшения вычислительной работы при расчете вручную. Однако

отбрасывание незначимых коэффициентов позволяет облегчить модель для

визуального восприятия.

Для оценки значимости коэффициентов можно использовать оператор

<if>. Для его работы необходимо ввести логическое выражение и два воз-

можных возвращаемых значения. Если логическое выражение истинно, то

оператор <if> возвращает первое значение, в противном случае – второе.

Оценка значимости заключается в проверке коэффициента по крите-

рию Стьюдента. Если коэффициент значим, то он остается при своем же зна-

чении, иначе ему присваивается 0 (рис. 70).

Рис. 70

Таким образом, незначимыми являются те коэффициенты, которые по-

сле операции сравнения стали равны нулю.

Теперь можно построить график функции отклика. Так как она зависит

от четырех переменных, нужно двум из них присвоить постоянные значения

и построить зависимость от двух других (рис. 71):

Рис. 71

Для построения трехмерного графика выполните пункт меню

Insert\Graph\Surface Plot (горячая клавиша Ctrl + 2 ) и введите в место

ввода имени функции в левый нижний угол символ «y». График готов

(рис. 72).

Рис. 72

Mathcad имеет богатые возможности по представлению графиков. Вы-

полнив пункт меню Format\Graph\3D Plot, вы получаете доступ к редакти-

рованию внешнего вида графика (рис. 73):

Рис. 73

На рис. 74а представлен график, у которого параметр Display As равен

Contour Plot. В задачах планирования эксперимента анализ традиционно ве-

дется именно на таких графиках, которые называются изолиниями – линиями

равного уровня.

Рис. 74

Рис. 74б – Contour Options = Fill (вкладка Special), рис. 74в –

Line Options = Contour Lines (вкладка Appearance).

Остается только определить значения параметров, при котором функ-

ция отклика принимает оптимальное значение внутри области планирования.

Для этого необходимо определить функцию

от переменных

x ,

x , придать им начальные значения, а затем после директивы Given ввести

ограничения на переменные и задать функцию оптимизации (рис. 75).

Рис. 75

В результате будет найдено оптимальное соотношение параметров

(рис. 76)

Рис. 76

Задача 10. Получение уравнения множественной регрессии методом Брандона

По этому методу уравнение регрессии записывается в виде:

)()...()...()(

2211 kkjj

xfxfxfxafy



где

)(

– любая функция величины

Порядок расположения факторов

x ,

x ,…,

x в этом выражении не-

безразличен для точности обработки результатов наблюдений: чем больше

влияние на

оказывает параметр

, тем меньше должен быть порядковый

номер индекса

. Вид функции выбирается с помощью графических по-

строений. Вначале по точкам выборки системы величин

x ,

x ,…,

строятся поле корреляции и эмпирическая линия регрессии

–

x . Таким

образом определяется тип зависимости

)(

xfy



и методом наименьших квадратов рассчитываются коэффициенты это-

го уравнения регрессии. Затем составляется выборка новой величины

)(

y 

Эта величина не зависит уже от

x , а определяется только параметрами

x ,

x ,…,

x . Поэтому можно записать

)()...()(

33221 kk

xfxfxafy



По точкам новой выборки величин

y и

x вновь строятся корреляци-

онное поле и эмпирическая линия регрессии, характеризующая зависимость

y от

x :

)(

xfy



Рассчитываются ее коэффициенты и вновь составляется выборка новой

величины

)()()(

221122

xfxf

y 

Такая процедура определения функций )(

xf , )(

xf ,… продолжа-

ется до получения выборки величины

)()...()()(

2211

kkkk

xfxfxf

y 



Эта величина не зависит от всех факторов и определяется коэффициен-

том исходного уравнения:







kik

где

– объем выборки.

Рассмотрим пример. В результате испытания кранца на сжатие была

получена экспериментальная выборка из 217 опытов, отражающая зависи-

мость давления в кранце от величины начального давления (

P ), радиуса

кривизны сжимающего образца (

) и его перемещения (

). Необходимо

найти зависимость ),

PQ  . Будем искать эту зависимость по методу

Брандона в виде

)

()()(),

30210

fPfzafz

PQ 

Порядок следования, который, как мы помним, является определяю-

щим в методе, следует из эмпирических сведений, в соответствии с которы-

ми эти факторы имеют именно такой приоритет.

Выборка является довольно громоздкой, поэтому для ее ввода можно

воспользоваться вспомогательным программным обеспечением. С помощью

электронной таблицы MS–Excel сформируйте файл, в первой колонке кото-

рого находятся значения аргумента

P , во второй –

, в третьей –

, в чет-

вертой – значения функции

. С помощью команды Файл/Сохранить как

сохраните его в виде текстового файла с табуляцией в качестве разделителя,

присвоив ему имя Data.txt. Теперь в среде MathCad необходимо выполнить

пункт меню Insert/Component и выбрать подпункт File Read or Write. Далее

нужно указать путь к созданному файлу данных. Таким образом, таблица

экспериментальных данных будет импортирована в MathCad. Ей необходимо

присвоить имя (рис. 77).

Рис. 77

Для удобства дальнейших вычислений целесообразно выделить из таб-

лицы данных столбцы в отдельные переменные. Так как значения функции

хранятся в последнем столбце, а первый аргумент, с которого начинается ап-

проксимация – в предпоследнем, учитывая начало нумерации столбцов с 0 по

умолчанию, имеем (рис. 78):

Рис. 78

Здесь же уже можно вычислить первый коэффициент исходного урав-

нения

и пересчитать значения исходной функции.

Теперь необходимо построить корреляционное поле

–

и прики-

нуть возможный вид зависимости

)

(

Рис. 79

Анализ распределения (рис. 79) позволяет сделать предположение об

экспоненциальной зависимости

от

. Поэтому будем искать ее в виде

)( bebxy

 . Для этого нам нужно найти неизвестные величины

b ,

b .

MathCad предоставляет ряд функций для расчета параметров регрессии:

Таблица 4

Функция Аппроксимирующее выражение Требует ли начально-

го приближения

expfit(VX, VY, VG)

)( bebxy



Да

lgsfit(VX, VY, VG)

)(





Да

logfit(VX, VY)

210

)ln()( bbxbxy





Нет

medfit(VX, VY)

)( bxbxy





Нет

pwrfit(VX, VY, VG)

)( bxbxy



Да

sinfit(VX, VY, VG)

210

)sin()( bbxbxy





Да

Все эти функции возвращают вектор, содержащий неизвестные коэф-

фициенты

b ,

b аппроксимирующего выражения вида, график которого

наилучшим способом приближается к точкам, координаты которых хранятся

в векторах VX и VY.

Начальные приближения запишем в вектор «aa» и найдем неизвестные

коэффициенты (рис. 80)

Рис. 80

Коэффициенты содержатся в матрице-столбце “ee”. Составим искомое

уравнение и произведем пересчет функции (рис. 81):

Рис. 81

Вновь строим корреляционное поле (рис. 82).

Рис. 82

Зависимость лучше всего искать в виде полинома второй степени (рис. 83):

Рис. 83

Действуя аналогично, третья функция определяется как линейная:

333

35,182776,1)( xxf





. Таким образом, окончательно имеем:

)

35,182

776,1)(076,0761,0228,0(

)521,5401,5(33,297),

773,0





Задача 11. Расчет характеристик молекулярно-массового распределения

Наиболее четкой и установившейся функцией структуры, достаточно

полно характеризующей свойства линейных гомополимеров, является моле-

кулярно–массовое распределение (ММР), значения которого

)

(

пропор-