Цыпкин Я.З Основы теории автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

112

ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ 8

либо

(t)

соответственно. Предположим, что внешнее воздей-

ствие f(t) представляет собой кратковременное воздействие, пло-

щадь которого равна единице. Такое импульсное воздействие

можно рассматривать как б-функцию

б(/),

равную нулю при

О, а при t = О обращающуюся в бесконечность, так что пло-

щадь ее равна единице (см. приложение 2). Полагая в

(8.31)

ео=б

(о

(8.зз)

учитывая свойство б-функции (свойство 2 приложения 2), по-

лучим

(/)

т)

(т)

(t).

(8.34)

Отсюда

следует,

что

временная

характеристика

k(t)

представляет

собой

реак-

цию

замкнутой

системы

на

импульсное

воздействие.

Временную характеристику k(t) часто называют также им-

пульсной

характеристикой.

Знание

временной характеристики позволяет по уравнению

(8.31)

определить процесс при любом внешнем воздействии f(t).

Нетрудно понять физический смысл уравнения (8.31). Оно опре-

деляет процесс в замкнутой системе как

сумму

реакций системы

на

последовательность импульсных воздействий, интенсивности

которых пропорциональны величине внешнего воздействия. Вы-

нужденный процесс получается из

(8.32)

при замене верхнего

предела t на оо, т. е.

Z»(0=5

k{x)f{t-x)dx.

Предположим, что

f(t)—гармоническое

воздействие. В ком-

плексной

форме оно может быть представлено в виде

(8.35)

где

— амплитуда,

со—угловая

частота,

if)—

начальная фаза.

При

комплексном входном воздействии комплексной

будет

и вы-

ходная величина, поэтому

оо

|в

ц)

_-=

(

)

Ве

[со

(

ИЛИ

k(x)e-^dx\

г*

(т)

е-1<»

Be*

^+*>.

(8.37^

§8 4] ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ЦЗ

Но

поскольку согласно (8.18)

со

K(p)

(t)}

k (т)

e->"

dx,

(8.38)

то,

полагая

(8.38)

/со, (8.39)

получим

/со)=

k(x)e~^

dx.

(8.40)

Следовательно, учитывая (8.35)

(8.40), запишем выражение

(8.37)

так:

t*(t)=-.K{j<d)T(t).

(8.41)

Величина

/((/со),

показывающая,

как

преобразуется системой

гармоническое воздействие, называется

частотной

характеристи-

кой. Таким образом, замкнутая система полностью определяется:

1) передаточной функцией

К(р),

2) временной характеристикой

k(t),

3) частотной характеристикой

/((/со).

Передаточная

функция

представляет

собой,

по

существу,

сокращенную

запись

дифференциального

уравнения

си-

стемы.

Временная

характеристика

определяет

поведение

системы

во

времени

при

краткое

ременном

воздействии,

т. е. вре-

менные

свойства

системы.

Частотная

характеристика

определяет

поведение

системы

при

гармоническом

воздействии

различных

частот,

т.

е. ча-

стотные

свойства

системы.

Все

эти

характеристики тесно связаны

друг

другом. Связь

частотной характеристики

передаточной функции особенно

проста:

"'" ""' *"

•/«.

(8.42)

/((/со)

соответствует частным значениям аргумента

р =

/со,

именно

тем

значениям

/?,

которые расположены

на

мнимой

оси

плоскости

(рис.

8.2, б).

Связь

передаточной функции

К(р)

временной характери-

стикой

k(t)

определяется преобразованием Лапласа

оо

К(р)

k(t)e->»dt,

(8.43)

П4

ХАРАКТЕРИСТИКИ

АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ [ГЛ. S

Связь

же частотной характеристики

(/со) с временной ха-

рактеристикой определяется преобразованием Фурье

-i"

dt.

(8.44)

Связь

временной характеристики с передаточной функцией и

частотной характеристикой в общем

случае

определяется обрат-

ным

преобразованием Лапласа и обратным преобразованием

Фурье (см. приложение

1),

которые мы сейчас использовать не

будем.

Приведем лишь

формулу

разложения,

которая определяет

временную характеристику по передаточной функции. Рас-

смотрим передаточные функции замкнутой системы

но

задаю-

щему воздействию

по возмущающему воздействию

^^"тпто

46)

Пусть

где

(р),

Яоб(р),

(p),

Qo6(p)

— полиномы. Передаточная

функция

разомкнутой системы

будет

равна

W{p)

(p)W

(p)

(8.48)

где

Р(р)

(р)Р

об

(р),

Q(p)

(p)Qo6(p).

(8.49)

Подставляя

(8.48)

(8.49)

(8.45)

(8.46),

получим

(p)Qo6iP)

Из

выражений

(8.50)

(8.51)

видно, что передаточные функции

замкнутой системы

Кз{р)

Кв{р)

отличаются только числителя-

ми.

Знаменатели же их совпадают и определяют собой

характе-

ристический

многочлен

G(p)

P{p)

Q(p).

(8.52)

Приравнивая

этот характеристический многочлен нулю, полу-

чаем

характеристическое

уравнение

(8.53)

ЗАД4ЧИ

115

Пусть степень характеристического уравнения

(8.53)

равна п и

оно

имеет простые корни

ри

рг,

...,

рп-

Эти корни являются по-

люсами передаточной функции

^(P)^4TS->

(

)

где

Н(р)

равно, например,

(р)

или

(р).

Пользуясь форму-

лой разложения (см. приложение 1), находим временную харак-

теристику в виде

ТГТ—Г

(8.55)

Разумеется, каждый элемент линейной системы может быть так-

же охарактеризован своей передаточной функцией, частотной

или

временной характеристиками. Для определения частотной

характеристики всей системы в целом по частотным характери-

стикам ее элементов справедлива

алгебра

частотных характе-

ристик,

которая

следует

из описанной ранее алгебры передаточ-

ных функций при р = /со. Значительно сложнее определить вре-

менную характеристику всей системы в целом по временным

характеристикам ее элементов,

так

как

это

требует

многократного

применения

операции свертывания, что приводит к громоздким

вычислениям.

Знание передаточной функции либо частотной или,

наконец,

временной характеристики

дает

возможность опреде-

лить динамические свойства автоматических систем.

Задачи

8.1.

Показать, что передаточная функция, частотная и временная харак-

теристики

неминимально-фазовой цепи (рис. 8.4) равны соответственно

W(p)

\-T

1 \ •—

\А2

—

С,

(#1

—-£*«>+0+£•)

8.2. Показать, что системе с передаточной функцией

Рис.

8.4.

W(p)=e~~*

соответствуют

частотная и временная характеристики видов

(/со)

(ОТ

W{t):

116 ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

[ГЛ

8.3. Показать путем разложения в ряд по степени

/?,

что передаточная

функция

е~

рт

достаточной степенью точности может

быгь

аппроксимиро-

вана передаточной

функцией

™—,

Сравнить соответствующие частотные

характеристики.

8.4. Какая из передаточных функций

_Lzl£

±±l£

\+Тр ' '

\~Тр

Физически

реализуема?

Глава

ВЫНУЖДЕННЫЕ

ПРОЦЕССЫ

9.1.

Общее

описание

вынужденных

процессов

Вынужденные процессы в автоматических системах опреде-

ляются в общем

случае

уравнением (8.27):

(т)

т) rfT

.1)

Пусть

существует

разложение внешнего воздействия f(t —

ряд Тейлора относительно точки t. Тогда

f;l)*-£,

(9.2)

где

2,... (9.3)

Подставляя

(9.2)

при

f (t) =

(t)

af(t)

(t)

(9.1), получим

(-1

Величины

оо

(-\)

[

k°{x)x

dr,

0, 1, 2 (9.5)

представляют собой

моменты

k-го

порядка

временной характе-

ристики

k°(t).

Пользуясь (9.5), запишем (9.4) окончательно в

118 ВЫНУЖДЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ.

виде

(tf)=V

|^з(^)"^

Ь^

(Й)*-^

(9.6)

Таким образом,

вынужденный

процесс

линейной

системе

полностью

оп-

ределяется

моментами

временных

характеристик

произ-

водными

внешних

воздействий.

Моменты

d(k)

(9.5) можно определить и по передаточным

функциям

замкнутой системы. Для этого воспользуемся основ-

ным

соотношением преобразования Лапласа

К°(р)=

k°(%)e-P

dx.

(9.7)

Дифференцируя соотношение (9.7) k раз по

/?,

получим

оо

k°(т)%

e~P

dx. (9.8)

Устремлйя р к нулю и подставляя полученный результат в (9.5),

найдем, что

= 0

... (9.9)

Отсюда видно, что

k-й

момент

d(k)

временной характеристики

равен

k-и

производной передаточной функции

К°(р)

по

р при

р = 0. Если разложить

i((/?)

в ряд по степеням р, то мы полу-

чим

==0

и,

значит, согласно (9.9)

(9.11)

Моменты

d(k)

временной

характеристики

представляют

собой

коэффициенты

разложения

передаточной

функции

К(р) в ряд по

степеням

р.

Это обстоятельство позволяет определять d(k) для дробно-

рациональных передаточных функций линейных систем простым

§9.2]

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ОШИБОК

ПО ВЫНУЖДЕННОМУ ПРОЦЕССУ

Ц9

делением многочлена числителя передаточной функции на много-

член знаменателя, т. е. на характеристический полином. Выраже-

ние

вынужденного процесса (9.6) особено удобно в тех

случаях,

когда правая часть этого выражения представляет собой конеч-

ные

суммы или сходящиеся ряды. Первое имеет место для поли-

номиальных воздействий, а второе — для экспоненциальных воз-

действий и, в частности, гармонических воздействий. Но, как мы

уже видели в § 8.4, при гармонических воздействиях вынужден-

ный

процесс находится весьма просто с помощью частотной ха-

рактеристики.

Поэтому далее в этой главе мы

будем

использо-

вать выражение вынужденного процесса только для степенных

воздействий.

9.2. Коэффициенты ошибок по вынужденному процессу

(t)

Легко найти выражение для вынужденной ошибки

(t)

в ли-

нейной

системе

М0-*

(0-

(9.12)

Подставляя в

(9.12)

(t) из (9.6), получим

(t (f)

x«(t)

= [1 - 4(0)]

МО

(k)

^ -

{k)±j^-.

(9.13)

Вводя обозначения

.(0)

l-rf,(0),

(0)

-d

(0),

K }

£в(&)

—

(k),

запишем

(9.13)

в компактной форме:

(9.15)

Коэффициенты

(k)

называются

коэффициентами

оши-

бок,

и на основе определения d(k) (9.9) и

(9.14)

они

могут

быть

записаны

в виде

/г

0, 1,

....

(9.16)

2, .,.

(9.17)

120

ВЫНУЖДЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ 9

Вспоминая,

что 1 —

Kl(p)

и —

К1(р)

представляют собой пере-

даточные функции ошибки системы по задающему и возмущаю-

щему воздействиям, заключаем, что

коэффициенты

ошибок

(k)

равны

k-м

производ-

ным

соответствующих

передаточных

функций

ошибки

при

р = 0.

В общем случае для комбинированной разомкнуто-замкнутой

системы согласно (8.29), (8.30) (рис. 7.9)

К1(р)

Кз(р)

Кв{р)

(p), (9.18)

(р) =

Кв

{р) +

Кз

(р)

^2к

(р)«

(9.19)

Подставляя значения

Kl{p)

в (9.16) и

Klip)

в (9.17), получим

*в

(*)

= -

-7Т

1*в

(Р) +

^з

(Р)

(p)]

(9.21)

Полагая

в (9.20), (9.21)

(p) ^

(p),

(p) ^ 0, (9.22)

найдем выражения коэффициентов ошибок для разомкнуто-

замкнутой системы:

(k)=-£-[l-K

(Р)

К*(р)

(p)]

_o,

(9.23)

...,

(9.24)

а при

(p)^0,

(P)^W

(P)

(9.25)

из

(9.20) и (9.21) получим выражения коэффициентов ошибок

для комбинированной системы:

•о.

(9.26)

--fllK*(P)

Кз(р)

(р)]

.о,

2, . ..

(9.27)

Наконец,

при

из

(9.23), (9.24) или (9.26), (9.27) получаем выражения коэффи-

циентов

ошибок для обычной системы

(рис.

6.2) и системы с

9.3] СТАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА 121

внутренней положительной обратной связью (рис. 6.3):

(k) =

-^-г

[1 —

/С

(р)]

-о,

(9.28)

(Р)

1, 2, ....

(9.29)

Поскольку

Кз(р)

Кв(р)

для обычной системы

(6.11),

(6.12) и

для системы с внутренней положительной обратной связью

(6,18),

(6.19) выражаются различным образом, то и конкретные

значения

коэффициентов ошибок для этих систем

будут,

есте-

ственно,

различны.

Коэффициенты

ошибок полностью определяют зависимость

вынужденной ошибки от структуры автоматической системы и ее

параметров. Поэтому исследование коэффициентов ошибок по-

зволяет наметить пути уменьшения или полного устранения вы-

нужденной ошибки.

9.3. Статическая ошибка

Пусть задающее

(t)

и возмущающее

{t)

воздействия

по-

стоянны,

т. е.

/<?>(/)-Л

/<°>(/)^Л

(9.30)

Это значит, что

(t)^O

(£

1,2,...)-

(9.31)

Принимая

во внимание (9.30) и (9.31), находим из выражения

вынужденной ошибки (9.15)

(/)

(0)

(9.32)

При

постоянных

воздействиях

вынужденная

ошибка

так-

же

постоянна.

Назовем

такую постоянную ошибку

статической

ошибкой.

Статическая

ошибка

пропорциональна

величине

постоян-

ного

внешнего

воздействия.

Коэффициенты

пропорциональности равны начальным

коэф-

фициентам

ошибки

(0)

(0).

При

k = 0 из (9.16) и (9.17) получаем

Сз

(0) = 1 -

(0),

(0) = -

(0), (9.33)

и,

значит, согласно (9.32)

х-

#з°

(0))

(0)

(9.34)