Цуркин А.П., Мосолов Д.Н. Учебное пособие по курсу электротехники и электроники

Подождите немного. Документ загружается.

алгебраическую форму записи комплексного числа:

jba



комплексные числа изображаются заглавными буквами латинского алфавита с точкой

наверху

ba 



или

ba 

всегда +



связан с проекциями на ось координат:













;cos;sin

2222

очевидно, что a =Y cos u, b = Y sin u

подставляя значения a и b в предыдущие выражения получим тригонометрическую формулу

записи комплексного числа:

)sin(cos



j



очевидно, что 2-й член, стоящий в скобках, представляет собой мгновенное значение тока.

Формула Эйлера связывает тригонометрию и показательную форму записи





ej  )sin(cos



таким образом, комплексное значение тока запишется в трёх формах:

1. алгебраическая

2. тригонометрическая





ejjba  )sin(cos



3. показательная

из изложенного выше вытекает, что символический метод равносилен методу векторных

диаграмм.

Операции + и – векторов эквиваленты операциям + и – комплексов.

Умножение комплексного числа на действие означает изменение

длины вектора без изменения его положения на плоскости.

Умножение 1-го комплексного числа на другое приводит к образованию нового числа,

изображается новым вектором, повернутым на новый угол относительно оси координат.

ceceabebeaBA

jjjj









)(

Поскольку при перемножении комплексных чисел изменяется и угол поворота, то

множитель e+ j называют оператором поворота, если







, то







Следовательно, умножение комплексного числа на (+j) означает поворот вектора

на





в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а умножение на

(-j) означает поворот на



в противоположном направлении.

)sin(cos

ijie

jUe





















Законы Ома и Кирхгофа в символической форме.

Комплексные величины изображаются заглавными буквами; эти величины называют

комплексными действующими значениями э.д.с. U и Y

полученные величины выражают комплексные действующие значения э.д.с. U и Y.

Кроме приведённых обозначений они могут быть представлены и в алгебраической форме

записи комплексных чисел.

Закон Ома для участка цепи, содержащей r, x

в символической форме.

Он запишется в форме:



, где Z-величина полного сопротивления

U-комплекс напряжения, действующий на данном участке цепи.







)(

jxjxrxjxjrU



Z- величина полного сопротивления

Z = r+ jx

-jx

Z=r+jx

Величина полного сопротивления может быть представлена и в показательной форме.

; xrzez











Однако комплексное сопротивление цепи z не зависит от начальных сдвигов фаз, токов и

напряжений. Z определяется R

акт

, C,



, она не является sin-идальной функцией времени и

поэтому точка над Z не ставится.

В технической литературе (ин.яз) величину полного сопротивления цепи частo называют

импедансом.

Под комплексной проводимостью понимают величину обратную величине полного

сопротивления, т.е.

jbgjbjbg

jxcjxrz









jbgy 

Если реактивное сопротивление цепи носит индуктивный характер, то X

> X

При емкостном характере цепи X

< X

Законы Кирхгофа в комплексной форме.

1) В любой узловой точке цепи алгебраическая сумма сил токов равна нулю.

Для цепей переменного тока этот закон выполняется для мгновенных значений.



 0i

В символической форме закон запишется :



 0



2) В любом замкнутом контуре сумма действующих е.д.с.= сумме падений напряжения

переменного тока.

В цепях переменного тока для мгновенных значений е.д.с. токов и напряжений запишется:

  

 izue

В комплексной форме:

 





Мощность в комплексной форме.

Комплексную мощность вычисляют, умножая комплексное значение напряжения на

сопряженный комплексный ток.



jjjj

eseuyeYeuyuS 

 )(



Т.О. полная мощность в комплексной форме может быть представлена в 3-х формах записи:

алгебраической, показательной, тригонометрической.

jQjUUesS







sincos

jQS 



Действительная часть комплекса представляет собой активную мощность. Мнимая часть -

реактивную.

Активная мощность расходуется на преобразование в тепловую энергию.

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергии между источником и

реактивными нагрузками.

Полная мощность

не является sin-идальной функцией времени, поэтому над символом

ставится не точка, а волнистая черта.

Значение полной или кажущейся мощности обозначается на щитках и в паспортах

электрогенераторов переменного тока.

Распределение её на активную и реактивную части зависит от характера нагрузок.

В промышленных электроустановках переменного тока реактивную мощность стремятся

свести к min величине, и тем самым повысить коэффициент полезного действия той или

иной электроэнергетической установки.

Тема№5.Общие свойства четырёхполюсников.

При передачи электроэнергии от источника к потребителю используются различные

передающие цепи: линии электропередач, трансформатор, фильтры и т.д.

Эти промежуточные передаточные цепи объединяют одним общим названием

четырёхполюсник. Он представляет собой устройство с двумя входными зажиганиями. В

том случае, когда имеется источник энергии – активный А. Если нет, то пассивный П. Часто

пассивный четырёхполюсник является передаточным звеном между источником энергии и

нагрузкой, находящейся под воздействием U2. Полагая, что схема внутренних соединений

его неизменна, и входящее R – линейно, можно составить соотношение между U

и Y

, и U

и Y

. Эти соотношения определяются так называемыми уровнями четырёхполюсника.

=A U

+ B Y

=C U

= D Y

Величины А, В, С, D представляют собой комплексный коэффициент зависящий от

внутренней схемы, параметров отдельных элементов схемы и частоты питающего

напряжения. Очевидно, что в соответствии с написанным уравнением A и D = 0, B=R, C=

проводимости. Связь: AD-DC=1

В том случае, когда перемена мест источника электроэнергии и нагрузки не вызывает

изменений Y и A=D

Последнее уравнение примет вид A

-BC=1. A,B,C,D определяется на основании

опытов холостого хода и короткого замыкания. Если четырёхполюсник работает на

переменной Y, то коэффициенты неизменные комплексные величины. Если на постоянном,

то A,B,C,D – вещественные числа. При опыте x x сопротивление нагрузки считается равным

, к зажимам 2 2’ подключается V, обладают высоким r.

Измерив величины U

xx и Y

xx, P

xx со стороны входа что Y

xx – со стороны входа

можно определить коэффициенты A, C из основного уравнения, учитывая что Y

xx=0.

Из уравнения очевидно, что U

xx=A U

, а Y

xx=A U

, откуда A=U

xx/U

; C=Y

xx/U

Входное сопротивление определяется: Z1xx=U1xx/Y1xx=A/C

Угол сдвига фаз определяется:

xxxx

sar

cos



При опыте k3 2-е напряжение считается равным 0. поэтому основное уравнение

будет:

k3=B Y

B=U

k3/Y

k3=D Y

D=Y

k3/Y

При режиме л3 входное сопротивление определяется по формуле:

Z1k3=U1k3/Y1k3=B/D

Угол сдвига фаз между U и Y при л3:

xxxx

sar

cos



Располагая числовыми значениями A,B,C,D можно определить выходные Y и U при любых

заданных выходных величинах, и наоборот.

Напомним, что устройство, которое имеет два входных контакта, называют

четырехполюсником. Четырехполюсник, в схеме которого отсутствует источники

электрического питания, называют пассивным(трансформаторы, электрические фильтры,

лимит передачи электрической энергии и т.д.), а если присутствуют источники питания –

активным(усилители, мостовые схемы, если в одной из диагональных схем находится

источник электрического питания и т.п.). Четырехполюсник, который содержит линейные

элементы, называется линейным, а если он содержит нелинейные элементы, называется

нелинейным или параметрическим. Напомним, что линейным элементом называется

элемент, если его параметры не зависят от электрического токаи напряжения, а параметры

нелинейного элемента зависят от тока и напряжения. Кроме того, четырехполюсники

делятся на автономные (содержат независимые источники электрического питания) и

неавтономные, которые имеют в своих схемах зависимые источники питания.

В электрических цепях четырехполюсники используются в качестве передаточных

звеньев между источниками питания и нагрузкой. В этом случает полагают, что можно

изменить нагрузку и напряжение на входе, а сама схема четырехполюсника и сопротивление

его элементов остаются неизменными.

Принципиально теория четырехполюсника заключается в том, что, используя

некоторые параметры, можно связать между собой

U è I

на входе и выходе

четырехполюсника, при этом не проводить расчетов

U è I

в схеме самого

четырехполюсника.

Рассмотрим линейный пассивный четырехполюсник, изображенный на рис 5.1:

Рис 5.1. (

-входной ток и напряжение,

-выходной ток и напряжение)

Если заменить z источником ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то

применяя принцип наложения можно считать, что действует в схеме только один источник,

напряжение

,а зажимы

2,2

- накоротко замкнуты, и

=0 (рис 5,2):

Рис.5.2.

Тогда

2 21

I Y U

















(5.1)

Где

- входная проводимость при коротком замыкании на выходе,

- передаточная

проводимость (проводимость прямой передачи)

Если рассмотреть случай, когда действует в схеме четырехполюсника только U2 , которое

учитывает влияние нагрузки Z, а зажимы 1’ и 1 замкнуты накоротко (U1=0,рис 5.3)

То

1 12

2 22

I Y U















(5.2)

Где Y22 – выходная проводимость при коротком замыкании на входе

Y12 – взаимная или передаточная приводимость(проводимость обратной связи)

Рис.5.3

Следует заметить, что Y21=Y12 согласно принципу обратимости и определяют токи во

входном (или выходном) контуре четырехполюсника при заданном U в выходном (или

входном) контуре и при одинаковом напряжении на входе и выходе

12 21

Y U Y U

(5.3)

Проведя наложение схем рис 5.2 и рис 5.3 получают:

' ''

1 1 11 1 12 2 11 1 12 2

' ''

2 2 21 1 22 2 21 1 22 2

I I I Y U Y U Y U Y U





      







     





(5.4)

Уравнение (5.4) называют уравнением четырехполюсника с Y-параметрами(параметры

короткого замыкания)

При анализе четырехполюсники применяют так же уравнения с Н-параметрами

(смешанные параметры). В этом случае независимые переменные U2 и I2 из системы

уравнений (5.4) можно записать

2 11 12

11 12

21 21 12

2 1 1

2 22 2 21 22

21 11

U I U H I H U

Y Y Y Y

I I U Y U H I H U



   









    





(5.5)

где

11 2



-входное сопротивление при коротком замыкании на выходе

12 1



-коэффициент обратной связи по напряжению или коэффициент

обратной передачи напряжения при холостом ходе на входе

21 2



-коэффициент прямой передачи тока при коротком замыкании на

входе

22 2



-входная проводимость при холостом ходу на входе.

Проводя аналогичные рассуждения можно получить другие формы уравнений

четырехполюсника. Например, уравнение четырехполюсника с Z-параметрами(параметры

холостого хода)

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U z I z I















(5.5)

Следует заметить, что в данном случае известны (или заданы) токи (

,II

),а

11 12 21 22

, , ,z z z z

являются сопротивлениями.

А)

11 2



- входное сопротивление на холостом ходу на выходе

Б)

12 1



-сопротивление обратной связи

С)

21 2



-сопротивление прямой передачи

Д)

22 1



-выходные сопротивления пир холостом входе на входе

Четырехполюсники в основном используются для систем, которые передают

электрические сигналы. Чтобы проводить анализ сигналов через четырехполюсник следует

рассмотреть функции четырехполюсника по направлению к току

âûõ

âõ



âûõ

âõ



(5.6)

Коэффициент передачи активной мощности

âûõ

âõ



(5.7)

Комплексное входное сопротивление

âõ



(5.8)

Рассмотрим коэффициенты передачи четырехполюсника, например, при известных Y-

параметрах. Если взять из системы уравнений (5.4) второе уравнение, а также закон Ома

U z I

(рис 5.1), то решая их совместно получают коэффициент передачи по

напряжению







(5.9)

где Y=1/z

Если использовать формулу для входной проводимости

âõ

Y I U

(5.10)

и для уравнения системы (5.4) на

можно найти входную проводимость

четырехполюсника

12 21

âõ





(5.11)

Если в схему рис 5.1 на место, где проходит ток

но

21 12

11 1

âû õ





(5.12)

где

1/Yz

Аналогичные расчеты можно сделать самостоятельно и получить при заданных z-

параметрах четырехполюсника







(5.13)

12 21

âõ





(5.14)

21 12

11 1

âû õ





(5.15)

Классификация фильтров. Фильтры нижних и верхних частот будут описаны в теме 8.

Тема №6.

Переходные процессы в электрических цепях.

В электрических цепях, содержащих реактивные элементы при изменении режимов работы,

возникают переходные процессы.

Изменение режима электрической цепи наблюдается при коммутации: включении,

выключении, изменении нагрузки, коротком замыкании и т.п.

Характер изменения напряжений и токов на участках электрической цепи при

переходном неустановившемся режиме можно определить путем решения линейных

уравнений, составленных для каждой конкретной цепи.

Для определения начальных условий при переходных процессах используют два

закона коммутации.

Первый закон коммутации формулируется следующим образом: в любой ветви с

индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел до

коммутации, и начнет изменяться именно с этого значения.

Например, при включении цепи с индуктивностью на постоянное напряжение ток в

начальный момент времени равен нулю. Если допустить, что в такой цепи в момент

коммутации будет наблюдаться скачок тока, то напряжение на индуктивности

0t

будет равно бесконечности, что противоречит второму закону Кирхгофа.

Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет то значение, которое оно имело до коммутации и начинает

изменяться именно с этого значения.

Например, если включается цепь с конденсатором, который до этого не был заряжен,

в момент коммутации напряжение на конденсаторе будет равно нулю.

Если предположить, что в момент коммутации напряжение на конденсаторе может

измениться скачком, то ток будет равен бесконечности

 0)0( t

и в цепи, всегда имеющей сопротивление, не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа.

С энергетической точки зрения ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе

не могут измениться скачком, так как энергия магнитного поля емкости

W 

энергия магнитного поля индуктивности

W 

не могут изменяться скачком, поскольку

для этого потребовалось бы наличие бесконечно большой мощности, что лишено

физического смысла.

Рассмотрим переходный процесс при включении цепи RC на постоянное напряжение

Е (см.рис.6.1, ключ К в положении I).

Рис.6.1

Для любого момента времени для цепи на рис.2, когда ключ К в положении I, можно

составить по второму закону Кирхгофа уравнение:

+ U

= E (6.1)

Так как



, можно записать



(6.2)

Всякий переходный режим представляют состоящим из принужденного

(установившегося), который как бы наступил сразу, и свободного режима, наблюдаемого

только во время переходного режима.

Учитывая это, запишем напряжение на емкости в виде

+ U

´´

(6.3)

где U

- составляющая напряжения принужденного режима (или принужденная

составляющая напряжения);

´´

- составляющая напряжения свободного режима (или свободная

составляющая напряжения).

Уравнение (2) с учетом (3) будет иметь вид

EUU

UUd

















)(

(6.4)

Для принужденного (установившегося) режима, когда переходный процесс

закончился, уравнение цепи









(6.5)

тогда уравнение свободного режима, если из (6.4) вычесть (6.5), запишется следующим

образом