Цуркин А.П., Мосолов Д.Н. Учебное пособие по курсу электротехники и электроники

11

1. Разбиваем цепь на N независимых контуров (N=3): абе, бвде, вгд.

2. Выбираем произвольно направления контурных токов во всех контурах по часовой

стрелке, обозначив контурные токи:

1-й контур – I

11

,

2-й контур – I

22

,

3-й контур – I

33

.

3. Составляем для каждого контура уравнения по 2-му закону Кирхгофа, приняв обход

контура по направлению контурных токов.

1-й контур:

 

22511

51

2251151111

IRIRRIRIRIRE 

2-й контур:

336115226224225222

0 IRIRIRIRIRIR 

=

 

33611522

6452

IRIRIRRRR 

(1)

3-й контур:

 

22633

63

2263363332

IRIRRIRIRIRE 

4. Решая совместно полученную систему уравнений (1), находим значения контурных

токов I

11

, I

22

, I

33

.

5. Определяем значения и направления действительных токов в ветвях (рекомендуется

начертить схему рис.1 и указать действительное направление токов в ветвях). Если

значение контурного тока получится отрицательным, это означает, что

действительное направление тока противоположно выбранному. Действительные

токи схемы рис.1 будут иметь значения:

I

1

=I

11

, I

2

=I

22

, I

3

=I

33

, I

4

=I

22

, I

5

=I

11

-I

22

, I

6

=I

22

-I

33

.

Для решения системы уравнений, составленной по второму закону Кирхгофа,

целесообразно применить метод определителей. Тогда в общем виде эта система уравнений

записывается следующим образом:

...

33332232113133

33232222112122

33132212111111





IRIRIRE

(2)

и т.д.

Поясним смысл каждого члена уравнений.

a) В левой части каждого уравнения стоят суммарные значения э.д.с., входящие в

контур. Они имеют знак плюс, если направление обхода контура и направление

действия суммарной э.д.с. совпадают. Для цепи на рис.1:

E

11

=E

1

, E

22

=0, E

33

=-E

2

b) Сопротивление R

11

, R

22

, R

33

– собственные сопротивления I, II, III контуров

соответственно. Собственные

сопротивления контуров для цепи на рис.1:

R

11

=R

1

+R

5

,

R

22

=R

2

+R

5

+R

4

+R

6

,

R

33

=R

3

+R

6

c) Сопротивления R

12

, R

21

, R

13

, R

31

и т.п. – общие или смежные сопротивления

контуров. Смежное (общее) сопротивление представляет собой сопротивление ветви,

входящей в несколько контуров. Его обозначают с индексом, состоящим из номеров

контуров, в которые входит ветвь. Для цепи на рис.1 смежные сопротивления:

для I контура R

12

,

для II контура R

21

,

для II контура R

23

,

для III контура R

32

.

12

Если через общее сопротивление контурные токи смежных контуров протекают в

разных направлениях, в уравнение (2) такое общее сопротивление ставится со знаком минус.

В цепи на рис.1 через все смежные сопротивления токи текут в разных направлениях

и в этом случае принимают, что R

12

=R

21

=-R

5

; R

23

=R

23

=-R

6

.

Для составления определителя необходимо, чтобы все уравнения имели одинаковое

число членов. В правую часть каждого уравнения записываются произведения всех

контурных токов на соответствующие сопротивления, а в случае, если это сопротивление не

входит в рассматриваемый контур, его принимают равным нулю. Составим уравнения для 3-

х контуров на рис.1, учитывая сделанные замечания.

3333223233

33232222112122

2212111111

0

IRIRE

IRIRIRE

IRIRE



(3)

Если в эти уравнения поставить значения каждого члена и учесть сказанное о знаках,

получим уравнение (1).

Покажем, как решается система уравнений (2) методом определителей.

Ток К-го контура равен





k

I

(4)

где



- главный определитель (детерминант);

k



- частный определитель К – го столбца

333231

232221

131211

RRR



(5)

Каждый частный определитель

k



получается путем замены в главном

определителе сопротивлений К – го столбца на соответствующие э.д.с.

Например, если определяется ток I – го контура, частный определитель будет иметь

вид

333233

232222

131211

RRE

k



(6)

При расчете цепи методом контурных токов можно не составлять уравнения по 2 –

ому закону Кирхгофа, а достаточно составить определители по уравнениям (5), (6) и по

уравнению (5) рассчитать контурные токи.

При составлении определителей нельзя забывать о знаках перед членами

определителя (перед э.д.с. ставят знак минус, если направление обхода и направление

действия э.д.с. не совпадают, перед общими сопротивлениями ставят знак минус, если

контурные токи тех контуров, в которые входят эти сопротивления, направлены в разные

стороны).

Метод наложения

Метод наложения основан на принципе независимости действия э.д.с. Согласно этому

принципу токи, протекающие в цепи при наличии нескольких э.д.с., можно представить как

алгебраическую сумму токов, создаваемых каждой из э.д.с. в отдельности.

Вначале определяются значения токов в ветвях, создаваемых действием только одного

источника (например, для рис.1 I

1

, I

2

, I

3

, I

4

, I

5

, I

6

от Е

1

, полагая Е

2

=0). Затем таким же образом

определяют токи в ветвях, создаваемые действием другого источника (например, для рис.1

13

токи I

1

//

, I

2

//

, I

3

//

, I

4

//

, I

5

//

, I

6

//

от Е

2

, полагая Е

1

=0). Затем находятся действительные токи в

ветвях, как алгебраические суммы токов, создаваемые в одних и тех же ветвях отдельными

источниками.

Рассмотрим порядок определения токов, создаваемых отдельными э.д.с. на примере

схемы рис.1. Вначале находятся токи в ветвях и их направления при действии только одной

э.д.с., например, Е

1

, когда Е

2

=0. Для этого определяется общее сопротивление цепи R

/

общ

(внутренним сопротивлением источника э.д.с. Е

2

пренебрегаем).

eобщ

RRR





1

/

;

 

вд

e

RRRR

R







425



;

63

64

RR

R

вд





После этого определяются токи в ветвях схемы рис.1 при действии только э.д.с. Е

1

, а

именно:

/

1

/

1

общ

R

E

I 

;

5

1

/

11

/

5

R

RIE

I





;

/

5

/

1

/

4

/

2

IIII 

;

63

3

/

4

/

6

RR

R

II





;

63

6

/

4

/

3

RR

R

II





.

Затем составляется схема рис.1 при действии Е

2

(Е

1

=0, внутреннее сопротивление

источника э.д.с. пренебрегаем) и наносятся направления токов I

1

//

, I

2

//

, I

3

//

, I

4

//

, I

5

//

, I

6

//

.

Аналогично вышеизложенному рассчитываются токи, создаваемые действием

источника Е

2

. Действительные токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма

составляющих токов, проходящих через соответствующие ветви:

//

1

/

11

III 

;

//

2

/

22

III 

и т.д.

Составляется третья схема, на которой наносится направления действительных токов.

Направление действительных токов в ветвях выбирается по большему составляющему току

в каждой цепи.

Пример расчета линейной цепи методом контурных токов.

Найти токи в схеме рис.2. Численные значения сопротивлений и э.д.с. указаны на

рисунке.

Решение.

14

В этой схеме два независимых контура I и II (N=3-2+1). Выбираем произвольно

направление контурных токов I

11

и II

22

по часовой стрелке.

Система уравнений согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи запишется в

следующем виде:

.

,

2222112122

2212111111

IRIRE



Определяем собственные сопротивления контуров:

54111

rrrR 

=4+10+6=20 Ом

43222

rrrR 

=8+2+10=20 Ом

Сопротивление смежной ветви R

12

=R

21

=-r

4

. Внутренними сопротивлениями

источников пренебрегаем. Контурные э.д.с. равны: E

11

=E

1

=21 B, E

22

=-E

2

=-15 B. Перед э.д.с.

E

2

знак минус, так как направление обхода контура не совпадает с положительным

направлением действия э.д.с.

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа направление обхода

контуров принимаем совпадающим с направлением контурных токов.

В соответствии с численными значениями, полученными для R

11

, R

12

, R

21

, R

22

, E

11

и

E

22

, с учетом знаков уравнения перепишутся следующим образом:

2211

102021 II 

2211

201015 II 

Главный определитель системы



равен:







2010

1020

2221

1211

RR

300)10()10(2020

21122211

 RRRR

Контурные токи I

11

и I

22

будут равны:

A

RE

I 9,0

300

270

300

2015

1021

1222

1211

1

11















,

A

ER

I 3,0

300

90

300

1510

2120

2221

1111

2

22



















.

После подсчета контурных токов определяются действительные токи в ветвях:

I

1

=I

5

=I

11

=0,9A; I

2

=I

3

=I

22

=-0,3A; I

4

=I

11

-I

22

=1,2A

Значение контурного тока I

22

получилось отрицательным, поэтому истинное

направление его будет обратным принятому на рис.2.

Истинные направления токов во всех ветвях показаны стрелками на рис.3.

15

Пример расчета линейной цепи методом наложения. Найти этим методом токи в

ветвях схемы рис.2.

Решение. Исключаем из схемы э.д.с. E

2

. При действии в схеме рис.2 одной э.д.с. E

1

примем, что токи будут иметь направления, как указано на рис.4.

Для схемы рис.4 находим общее сопротивление цепи (внутреннее сопротивление

источников э.д.с. E

1

и E

2

принимаем равными нулю).

 

51

432

rr

rrr

R

общ







=

 

1564

1028







Ом

Затем находим токи в ветвях схемы рис.4 от действий только э.д.с. E

1

.

AIII

общ

4,1

//

5

/

1



;

A

rrr

rr

II 7,0

1028

28

4,1

432

32

/

5

/

4















;

A

rrr

r

III 7,0

1028

10

4,1

432

4

/

5

/

3

/

2











Полагая э.д.с. E

1

=0, находим направления и значения токов в ветвях схемы от

действия э.д.с. E

2

.

   

A

rr

rrr

E

R

E

I

общ

1

28

1064

15

32

451

2

//

2

//















;

AIII

общ

1

////

3

//

2



;

A

rrr

rr

II 5,0

1064

64

451

51

//

3

//

4















;

A

rrr

r

III 5,0

1064

10

1

451

4

3

//

5

//

1











.

16

Действительные токи в ветвях определяются алгебраическим сложением

составляющих токов ветвей. Направления действительных токов в ветвях определяются по

большей составляющей тока каждой ветви.

Итак, для схемы рис.2 действительные токи в ветвях будут равны:

AIII 9,05,04,1

1

/

11



;

AIII 3,07,00,1

/

2

//

22



;

AIII 3,07,00,1

/

3

//

33



;

AIII 2,15,07,0

//

4

/

44



;

AIII 9,05,04,1

//

5

/

55



.

Таким образом, накладывая схему рис.4 на схему рис.5 получим схему рис.6 с

действительными значениями и направлениями токов в ветвях при одновременном действии

двух источников э.д.с E

1

и E

2

.

Следует отметить, что при расчете более сложной электрической цепи, общее

сопротивление эквивалентной схеме более удобно определить, разбивая всю схему, начиная

со стороны противоположной действию источника э.д.с., на ряд участков, заключенных

между соответствующими узлами.

Решение.

В этой схеме два независимых контура I и II (N=3-2+1). Выбираем произвольно

направление контурных токов I

11

и II

22

по часовой стрелке.

Система уравнений согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи запишется в

следующем виде:

.

,

2222112122

2212111111

IRIRE



Определяем собственные сопротивления контуров:

54111

rrrR 

=4+10+6=20 Ом

43222

rrrR 

=8+2+10=20 Ом

Сопротивление смежной ветви R

12

=R

21

=-r

4

. Внутренними сопротивлениями

источников пренебрегаем. Контурные э.д.с. равны: E

11

=E

1

=21 B, E

22

=-E

2

=-15 B. Перед э.д.с.

E

2

знак минус, так как направление обхода контура не совпадает с положительным

направлением действия э.д.с.

17

При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа направление обхода

контуров принимаем совпадающим с направлением контурных токов.

В соответствии с численными значениями, полученными для R

11

, R

12

, R

21

, R

22

, E

11

и

E

22

, с учетом знаков уравнения перепишутся следующим образом:

2211

102021 II 

2211

201015 II 

Главный определитель системы



равен:







2010

1020

2221

1211

RR

300)10()10(2020

21122211

 RRRR

Контурные токи I

11

и I

22

будут равны:

A

RE

I 9,0

300

270

300

2015

1021

1222

1211

1

11















,

A

ER

I 3,0

300

90

300

1510

2120

2221

1111

2

22



















.

После подсчета контурных токов определяются действительные токи в ветвях:

I

1

=I

5

=I

11

=0,9A; I

2

=I

3

=I

22

=-0,3A; I

4

=I

11

-I

22

=1,2A

Значение контурного тока I

22

получилось отрицательным, поэтому истинное

направление его будет обратным принятому на рис.2.

Истинные направления токов во всех ветвях показаны стрелками на рис.3.

Пример расчета линейной цепи методом наложения. Найти этим методом токи в

ветвях схемы рис.2.

Решение. Исключаем из схемы э.д.с. E

2

. При действии в схеме рис.2 одной э.д.с. E

1

примем, что токи будут иметь направления, как указано на рис.4.

Для схемы рис.4 находим общее сопротивление цепи (внутреннее сопротивление

источников э.д.с. E

1

и E

2

принимаем равными нулю).

18

 

51

432

rr

rrr

R

общ







=

 

1564

1028







Ом

Затем находим токи в ветвях схемы рис.4 от действий только э.д.с. E

1

.

AIII

общ

4,1

//

5

/

1



;

A

rrr

rr

II 7,0

1028

28

4,1

432

32

/

5

/

4















;

A

rrr

r

III 7,0

1028

10

4,1

432

4

/

5

/

3

/

2











Полагая э.д.с. E

1

=0, находим направления и значения токов в ветвях схемы от

действия э.д.с. E

2

.

   

A

rr

rrr

E

R

E

I

общ

1

28

1064

15

32

451

2

//

2

//















;

AIII

общ

1

////

3

//

2



;

A

rrr

rr

II 5,0

1064

64

451

51

//

3

//

4















;

A

rrr

r

III 5,0

1064

10

1

451

4

3

//

5

//

1











.

Действительные токи в ветвях определяются алгебраическим сложением

составляющих токов ветвей. Направления действительных токов в ветвях определяются по

большей составляющей тока каждой ветви.

Итак, для схемы рис.2 действительные токи в ветвях будут равны:

AIII 9,05,04,1

1

/

11



;

AIII 3,07,00,1

/

2

//

22



;

AIII 3,07,00,1

/

3

//

33



;

AIII 2,15,07,0

//

4

/

44



;

AIII 9,05,04,1

//

5

/

55



.

Таким образом, накладывая схему рис.4 на схему рис.5 получим схему рис.6 с

действительными значениями и направлениями токов в ветвях при одновременном действии

двух источников э.д.с E

1

и E

2

.

19

Следует отметить, что при расчете более сложной электрической цепи, общее

сопротивление эквивалентной схеме более удобно определить, разбивая всю схему, начиная

со стороны противоположной действию источника э.д.с., на ряд участков, заключенных

между соответствующими узлами.

Активные и пассивные двухполюсники.

Двухполюсником называется часть сложной электрической цепи, которая имеет два

зажима (входной и выходной), называемых полюсами. Двухполюсники бывают пассивные и

активные.

Двухполюсник, не содержащий источника энергии, называется пассивным.

Линейным пассивный двухполюсник будет и тогда, когда в нем будут содержаться

источники энергии, э. д. с. которых взаимно компенсируются, т. е. направлены навстречу

друг другу и равны по значению. Двухполюсники условно изображают в виде

прямоугольника, при этом для обозначения пассивного двухполюсника в прямоугольнике

либо ставят букву П, либо не ставят никакой буквы (рис.).

В схеме некомпенсированные двухполюсники, в которых содержатся источники

электрической энергии, называются активными (рис.). В этом случае при обозначении

двухполюсника в прямоугольнике ставят букву А.

При анализе электрической цепи, в которую входит пассивный двухполюсник,

достаточно знать его характеристику. Так как пассивный двухполюсник является

потребителем энергии, то в качестве характеристики можно взять его сопротивление,

которое в этом случае называется внутренним или входным. Следовательно, на схеме

замещения пассивный двухполюсник можно представить в виде одного элемента с

сопротивлением, равным входному сопротивлению двухполюсника. Для активного

двухполюсника наряду с сопротивлением важной характеристикой является внешняя, или

вольт-амперная, характеристика, которая полностью определяет его свойства.

Электрическая энергия и работа. Мощность электрической цепи.

Работа источника электрического тока определяется по формуле:

EItA

ист



(1.34)

Так как

q

А

U 

,

Itq

,

tRIA

внвн

2



, то

внист

AAA 

(1.35)

Работа и энергия – понятия равноценные. Энергия – способность источника

совершать работу. Чтобы измерить энергию источника, надо измерить работу, которую он

совершает, расходуя эту энергию. Измеряется энергия и работа в Джоулях (Дж).

На практике за единицу энергии принимают 1 кВт·ч = 3600000 Дж.

20

Электрическая мощность – это физическая величина, характеризующая быстроту

передачи или преобразования электрической энергии:

IЕ

t

A

P

ист



(1.36)

Измеряется мощность в ваттах (Вт).

Мощность, отдаваемая (полезная) источником энергии потребителю (приемнику)

R

U

gU

g

I

RIIUP

2



(1.37)

Потери мощности во внутреннем сопротивлении

вн

2

RIP

вн



(1.38)

Условие передачи в нагрузку максимальной мощности.

Отношение мощности приемника (полезной мощности) к мощности источника

энергии

ист

P

называется его коэффициентом полезного действия (КПД):

г вн вн

.

P UI U IR R

P EI E IR IR R R



    



(1.39)

Источник ЭДС развивает максимальную полезную мощность, когда внешнее

сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника:

2

max

вн

4

E

P

R



(1.40)

Такой режим является невыгодным, так как 50 % энергии теряется во внутреннем

сопротивлении источника

вн

0,5.

2

RR

R

RR



  



Режим цепи, при котором внешнее сопротивление цепи равно внутреннему

сопротивлению источника энергии, называется режимом согласованной нагрузки.

При согласованном режиме



согл

= 0,5, при холостом ходе

R

=



, а при коротком

замыкании

R

= 0



к

= 0. Таким образом, более высокие значения к. п. д. достигаются при

R

>

вн

R

.

Закон Джоуля-Ленца.

При протекании электрического тока по проводникам происходит преобразование

электрической энергии в тепловую. Эта зависимость выражается формулой получившей

название закон Джоуля-Ленца:

RtIQ

2



(1.41)

Q— количество тепла, выделенного в проводнике.

Количество тепла Q измеряется иногда внесистемной единицей — калорией. 1 кал =

4,187 Дж. Отсюда, 1 Дж = 0,24кал.

Цуркин А.П., Мосолов Д.Н. Учебное пособие по курсу электротехники и электроники

Подождите немного. Документ загружается.