Цуркин А.П., Мосолов Д.Н. Учебное пособие по курсу электротехники и электроники
Подождите немного. Документ загружается.
31
Все комплексные величины можно записать в показательной форме.
В общем случае ток равен
İ = I e
jψ
,
Ψ – угол между током и вещественной осью.
В нашем примере направление тока совпадает с вещественной осью, угол ψ=0, тогда
İ = I.
Полное сопротивление Z = Ze
jφ
, где
22
)(
CL
XXRZ
,
R
XX
arctg
CL
.
Комплекс напряжения в показательной форме
Ů = z İ = z I e
jφ
.
Цепи с параллельным соединением ветвей.
Для расчета цепи с параллельным соединением ветвей применяется метод
проводимостей.
Рассмотрим применение этого метода на примере расчета цепи, показанной на рис.2.
Нужно определить общий ток I в неразветвленной цепи. Он равен векторной сумме токов
параллельных ветвей.
При построении векторных диаграмм в случае параллельного соединения элементов в
качестве исходного вектора используется вектор напряжения
U
, так как напряжение в этом
случае одно и то же для всех ветвей (см.рис.14).
Вектор тока Ī представляет собой сумму векторов тока Ī
R1
, который совпадает с
вектором напряжения
U
по фазе и вектора тока
1L
I
, отстающего от вектора напряжения
U
на угол π⁄2. Вектор тока
2
I
равен сумме векторов тока
2R
I
, совпадающего с
вектором напряжения
U
по фазе, и вектора
2c
I
, опережающего
U
на угол π/2. Вектор
тока Ī, совпадает с напряжением
U
по фазе, а вектор тока
4L
I
отстает от
U
на угол
π/2. Из векторной диаграммы на рис.14 видно, что активная составляющая тока всей цепи
равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:
I
a
= I
R1
+ I
R2
+ I
R3
Реактивная составляющая тока цепи равна алгебраической сумме реактивных
составляющих токов ветвей:
I
P
= I
C
– I
L1
– I
L4
(cкалярные величины).
Векторную диаграмму токов на рис.14 можно преобразовать к виду, изображенному
на рис.15.
32
Векторную диаграмму, показанную на рис.15, обычно называют треугольником
токов. Ток в цепи до разветвления равен
22
pa
III
Для нахождения активной, реактивной и полной проводимостей можно разделить
модуль каждого вектора тока на модуль вектора
U
, в результате чего получится
прямоугольный треугольник, подобный треугольнику тока, стороны которого равны
проводимостям g, b, у – так называемый треугольник проводимостей (рис.16).
g – активная проводимость;
b – реактивная проводимость;
у – полная проводимость.
В общем случае, если ветвь содержит не только одно сопротивление ( R или L или
C), но несколько (как ветви аб и гд на рис.2) значения проводимостей определяются
следующим образом:
2
1
2
1
1
2
1
1
1
L
XR
R
Z
R
g
;
2
1
2
1
1
2
1
1
1
L
LL
L
XR
X
Z
X
b
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
XR
R
Z
R
g
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
cc
c
XR
X
Z
X
b
;
3
3
1
R
g
;
4
4
1
L
L
X
b
;
2
412
2
321
)()(
LLc
bbbgggy
.
Считается, что емкостная проводимость b
c
положительна, так как ей соответствует
опережающий по фазе напряжение емкостный ток, а индуктивная b
L
- отрицательна, так
как ей соответствует индуктивный отстающий ток.
В общем случае активная проводимость разветвления в целом равна арифметической
сумме активных проводимостей ветвей:
n
i
i
a
gg
1
,
а реактивная проводимость равна алгебраической сумме реактивных проводимостей:
n
i
k
i
Lci
bbb
1
1
1
Условно можно принять, что угол φ>0, если ток опережает напряжение.
Следовательно, в общем виде закон Ома для параллельного соединения будет иметь
вид
I = уU,
33
n
i
m
i
k
i
LiCii
bbgI
1 1 1
22
)()(
U.
В схемах с параллельным соединением ветвей может преобладать емкостная или
индуктивная проводимость, но возможен и частный случай, когда
k
i
Li
m
i
Ci
bb
11
Это равенство является условием резонанса токов, при таком режиме реактивные
токи в ветвях могут значительно превышать общий ток I, поступающий от источника.
Векторную диаграмму токов можно изобразить на комплексной плоскости. Для цепи на
рис.2 она будет иметь такой вид, как на рис.14 (см.рис.17).
Общий ток цепи равен сумме токов ветвей İ = İ
1
+ İ
2
+ İ
3
+ İ
4
Uy
L
jbgU
Z
L
X
j
Z
R
U
L
jXR
U
Z
U
I
1
1
)
11
(
2
1
1
2
1
1
(
11
,
где
11
1
L
jbgy
.
UyjbgU
Z
X
j
Z
R
U
jXR
U
Z
U
I
C
C
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
, где
22
2
L
jbgy
Uy
R
U
Z
U
I
3
33
3
, где
33
3
3
1
gy
R
y
Uy
X
jU
jX
U
Z
U
I
LL
4
4
4
4
4
4
4
4
1
, где
4
4
4
1
L
L
jb
X
jy
Исходя из написанного выше, можно записать выражение для общего тока:
İ = (у
1
+ у
2
+ у
3
+у
4
) Ů ,
İ = (g
1
+ g
2
+ g
3
+ j b
C2
- j b
L1
- j b
L4
) Ů,
UbbjgI
m
i
Li
l
i
Ci
k
i
i
111
Это соотношение есть закон Ома для параллельной цепи, записанный в комплексном
виде.
Сомножитель перед - полная проводимость параллельной цепи в комплексной форме
Ток цепи
UyI
Все комплексные величины можно записать в показательной форме. В общем случае
34
Ψ – угол между напряжением и вещественной осью. У нас ψ = 0, . Комплекс
проводимости в показательной форме
j
yey
, где
2
1 1
2
1
2
l
i
m
i
ii
n
i
i
bbgy
,
i
k
i
Li
k
i
Ci
g
bb
arctg
11
Комплекс тока в показательной форме
j
yUeUyI
Резонанс в электрических цепях.
Рассмотренные выше электрические цепи представляют собой последовательный и
параллельный колебательные контуры соответственно. Цепь, в которой индуктивность,
емкость и активное сопротивление соединены последовательно, называется
последовательным колебательным контуром . Цепь, в которой индуктивность, емкость и
активное сопротивление соединены параллельно, называется параллельным колебательным
контуром.
В колебательных контурах при определенных условиях могут возникать особые
явления, которые называют резонансными. Резонанс в последовательном колебательном
контуре называют резонансом напряжений, резонанс в параллельном колебательном контуре
– резонансом токов.
В цепях переменного тока резонанс наступает тогда, когда частота источника
напряжения равна резонансной частоте контура (собственной частоте колебаний контура,
если
0
k
R
). При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол φ = 0.
Резонанс напряжений.
Закон Ома для последовательной цепи, состоящей из активного, индуктивного и емкостного
сопротивлений (си.рис.1), выражается формулой
2
2
CL
XXR
U
Z
U
I
где R – активное сопротивление контура;
X
L
и X
C
- индуктивное и емкостное сопротивления контура соответственно.
Угол сдвига фаз между током и напряжением
R
XX
arctg
CL
Резонанс наступает тогда, когда цепь ведет себя как чисто активная, т.е. когда ток и
напряжение совпадают по фазе, угол φ = 0.
Условием возникновения резонанса в последовательном колебательном контуре
является равенство реактивных сопротивлений контура
CL
XX
.
Тогда полное сопротивление цепи будет равно его активной составляющей:
RXXRZ
CL
2
2
Сдвига фаз между током и напряжением не будет, угол φ = 0, cos φ = 1.
Векторная диаграмма цепи при резонансе напряжений представлена рис. 18 (а и б).
35
При резонансе напряжений действующие значения реактивных составляющих
напряжения U
L
и U
C
равны по величине, мгновенные значения равны и противоположны по
знаку, векторы
L
U
и
C
U
равны и противоположны по знаку.
Результирующее напряжение при резонансе равно его активной составляющей
U =U
a
.
Следовательно, мощность, развиваемая источником, является активной мощностью,
она поддерживает в цепи R, L, C незатухающие колебания, несмотря на то, что в цепи есть
активное сопротивление. Энергия магнитного поля при резонансе полностью переходит в
энергию электрического поля и наоборот:
22
22
mm
LICU
Частота, при которой в контуре наступает резонанс, называется резонансной.
Значение резонансной частоты можно определить из условия резонанса X
L
=X
C
.
Т.к.
fLLX
L
2
и
fCC
X
C
2
11
,
то резонансная частота контура
LC
f
рез
2
1
Резонанс напряжений можно получить изменяя в цепи индуктивность, емкость или
частоту напряжения источника питания контура, всего, если хотят настроить контур в
резонанс, используют конденсатор переменной емкости. С этого конденсатора снимают
выходное напряжение.
Если X
L
=X
C
>=R, напряжение на индуктивности U
L
и емкости U
C
могут достигать
значительной величины и во много раз превышать общее напряжение U, приложенное к
цепи. Ток в цепи I также значительно возрастает:
R
U
I
рез
.
Для исключения перегрузки источника питания в схему иногда вводят ограничивающее
сопротивление R
орг
. Поскольку резонанс сопровождается значительными перенапряжениями
и сверхтоками, в мощных установках он является аварийным. Свойства колебательного
контура характеризуются рядом величин:
а) Характеристическое сопротивление контура (или волновое)
C
L
.
Эта величина имеет размерность сопротивления (величину ρ можно получить из
уравнения (х)
C
L
I
U
m
m
).
).
б) Добротность контура
R
S
Q
36
Добротность контура служит характеристикой реального контура, когда
0R
.
При резонансе добротность контура равна отношению напряжения на емкости или
индуктивности к напряжению на активном сопротивлении.
Покажем это:
IR
IS
R
S
Q
, но
C
LC
LC
L
C
L
1
Т.к.
LC
рез
1
, то
Lрез
XLS
и
C
рез
X
C
1
Отсюда
a
LL
U
U
R
X
Q
и
a
CC
U
U
R
X
Q
Добротность радиотехнических контуров обычно составляет 50-200.
в) Затухание контура
Q
d
1
г) Резонансные кривые – это графическое изображение зависимости напряжений
на емкости, индуктивности и активном сопротивлении, а также тока от частоты (см.рис.19).
Чаще всего резонансные кривые стоят в зависимости от относительной частоты
резрез
f
f
fA
где А – значение напряжения или тока;
w, f - текущее значение угловой частоты и частоты соответственно;
резрез
f,
- значения угловой частоты и частоты при резонансе.
Построенные таким образом зависимости обладают наибольшей общностью.
Вид резонансных кривых, построенных в функции относительной частоты, целиком
определяется добротностью контура Q. На рис.20 показано семейство резонансных кривых
рез
I
I
max
для различных значений добротности контура.
37
Из рис.20 видно, что с увеличением добротности контура резонансная кривая
становится острее.
д) Полоса пропускания контура (или ширина резонансной кривой) – это полоса
частот вблизи резонанса, на границах которой выходная величина А (напряжение, ток)
составляет
707,0
2
1
от резонансного (максимального) значения (см.рис.21).
Резонанс токов.
Как указывалось выше, резонанс токов наблюдается в параллельных колебательных
контурах, содержащих элементы L, C и R (см.рис.22). Параллельные контуры могут быть и
другого вида.
38
Примечание: R
огр
включают для исключения перегрузки источника питания.
Закон Ома для параллельного соединения активного сопротивления, емкости,
индуктивности в общем случае выражается формулой:
2
2
Lc
bbgUyUI
,
где g - активная проводимость;
b
L
и b
c
- реактивные проводимости, индуктивная и емкостная соответственно.
Угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи I и приложенным
напряжением равен
g
bb
arctg
Lc
Если b
L
= b
c
, цепь будет вести себя так, будто она содержит только активное
сопротивление. В этом случае в неразветвленной части цепи ток I будет совпадать по фазе с
приложенным к контуру напряжением, φ = 0, cosφ = 1.Такое состояние цепи называется
резонансом токов.
Резонансная частота контура определяется следующим образом
2
2
1
22
1
LR
L
XR
X
b
L
L
L
2
2
2
22
2
1
1
C
R
C
XR
X
b
C
c
c
Т.к. при резонансе
Lc
bb
,
2
2
2
2
2
1
1
1
C
R
C
LR
L
Отсюда
2
2
2
1
1
R
C
L
R
C
L
LC
рез
39
Или
2
2
2
1
2
1
R
C
L
R
C
L
LC
f
рез
При малых значениях активных сопротивлений R
1
и R
2
выражение для f
рез
для
последовательного колебательного контура
LC
f
рез
2
1
Векторная диаграмма цепи для случая, когда
Lc
bb
показана на рис.23 (значения
величин взяты произвольно).
Общий реактивный ток, равный разности реактивных токов ветвей, при резонансе
токов равен 0. Общий ток цепи имеет только активную составляющую, таким образом, его
величина в момент резонанса имеет наименьшее значение. В идеальном случае, если R
1
= R
2
= 0, резонанс токов эквивалентен размыканию цепи.
Рассмотрим, какое значение имеют токи в ветвях и индуктивностью и емкостью при
резонансе, если активное сопротивление ветвей контура R
1
и R
2
малы, по сравнению с
реактивными сопротивлениями. Ток Ī
1
отстает, а ток Ī
2
опережает напряжение
аб
U
и
ток Ī на угол, близкий к π⁄
2
(см.рис.24).
В этом случае токи Ī
1
и Ī
2
между собой сдвинуты по фазе на угол, близкий к π, а
амплитуды их будут практически равны, т.к. Х
L
= Х
c
, и во много раз больше амплитуды
тока в неразветвленной ветви. Поэтому резонанс в параллельных контурах называют
резонансом токов.
Поскольку токи ветвей сдвинуты по фазе на угол ≈ π при малых R
1
и R
2
и равны по
величине, можно считать, что при резонансе они образуют как бы один контурный ток I
r
,
замыкающийся в колебательном контуре. Зависимость тока I
к
от частоты ƒ показана на
рис.25 (резонансная кривая).
40
Свойства параллельного колебательного контура характеризуются теми же
величинами, что и последовательный колебательный контур.
Добротность Q = ρ ⁄ R для параллельного контура равна отношению тока в
индуктивности I
l
или емкости I
с
к току в неразветвленной части цепи при резонансе
I
I
I
I
Q
LC
Резонансные кривые для параллельного колебательного контура показаны на рис.26.
(R≈0).
Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений не является опасным для
электрических установок, поскольку в реальных условиях реактивные проводимости редко
бывают высокими.
Явления резонанса напряжений и токов широко используются в технике связи,
автоматике и телемеханике, для улучшения cosφ в промышленных установках.
Путем настройки колебательного контура в резонанс с частотой передаваемого
сигнала можно выделить полезный сигнал.
Анализ и расчёт цепей sin-идального переменного тока символическим методом.
Величины постоянного тока исчерпывающе определяются одним числом.
Для определения величин переменного тока одного числа уже не достаточно, здесь
необходимо два числа: амплитуда и начальная фаза.
Однако и переменный ток может быть определён не 2-мя величинами, а одним
комплексным числом, если воспользоваться символичным методом.
При его использовании для расчёта цепей переменная тока воспользуемся законами,
методами и приёмами, рассмотренными ранее для цепей постоянного тока символический
метод удобен и тем, что позволяет избежать построения векторных диаграмм. Он основан на
использовании комплексных чисел.
Комплексное число состоит из 2-х частей действительной и мнимой, и может
изображаться вектором на комплексной плоскости.