Цивин М.Н. Конспект лекций по курсу Техническая механика жидкости. Курс с применением MATHCAD

Подождите немного. Документ загружается.

Режим движения,

Пределы

применимости

Расчетная фрмула

Номер

формулы

Автор формулы

2300 Re 56

(

)

2lg Re 0,8

=−

(3.50) И.Никурадзе

Турбулентный

режим

Доквадратичная

область

56 Re Re

гр

0,3

1, 5 10 1

−

⎛⎞

⋅

⎜⎟

⎝⎠

В случае стальных и чугунных

водопроводных труб, уже нахо-

дившихся в эксплуатации

(3.51) Ф.Шевелев

4, 25 4lg

(3.52) Зегжда

0, 25

3, 7d

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.53) Прандль

1, 74 2 lg

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.54) И.Никурадзе

Турбулентный

режим

Квадратичная

область Re>Re

гр

0,3

0,021 0,021

=≈

В случае стальных и чугунных

водопроводных труб, уже нахо-

дившихся в эксплуатации

(3.55) Ф.Шевелев

12,51

Re 3,7

λλ

⎛⎞

=− +

⎜⎟

⎝⎠

(3.56) Кольбрук и Уайт

Турбулентный

режим

Для всех трех

режимов

0,25

1, 46 100

0,1

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.57) А.Альтшуль

Среднее значение эквивалентной шероховатости Δ труб можно брать

по таблице

Таблица 3.3

Среднее значение эквивалентной шероховатости Δ

Вид трубы Состояние трубы

Δ, мм

Бесшовная стальная Новая и чистая 0,03

После нескольких лет эксплуатации 0,2

Стальная сварная Новая и чистая 0,05

Умеренно заржавленная 0,5

Старая заржавленная 1,0

Тянутая из цветных метал-

лов

Новая, технически гладкая 0,005

Рукава и шланги резино-

вые

0,03

Эквивалентная шероховатость зависит:

−

от материала и способа изготовления и соединения труб;

−

от продолжительности эксплуатации труб, в процессе которых мо-

жет возникнуть коррозия стенок труб.

Неновые стальные и чугунные трубы, т.е. бывшие в эксплуатации

при нормальных условиях, имеют повышенную шероховатость стенок,

оцениваемую в среднем высотой выступа условной равнозернистой шеро-

ховатостью Δ≈1.0÷1.5 мм.

Новые чугунные трубы характеризуются средним значением

Δ≈0.5мм; новые

стальные трубы имеют среднее значение Δ≈0.45мм.

Область гидравлически гладких труб.

(Андреевская Задачник))Для

гид

Переходная область сопротивления.

Если вычисленное значение числа

Рейнольдса находиться в интервале

27 Re 191 ,

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.58)

где Δ - средняя высота выступов шероховатости стенки или эквивалентная

шероховатость, зависящая от материала стенки и характера его обработки.

Область гидравлически шероховатых стенок или область квадратичного

сопротивления.

Если число Рейнольдса удовлетворяет условию

Re Re 191

кв

≥≈

(3.59)

или

Re Re 21,6 ,

кв

≥≈

(3.60)

то область сопротивления будет квадратичной.

Для определения коэффициента

для всех трех областей турбулент-

ной зоны может быть использована формула Кольбрука-Уайта (1939 г.).

Для облегчения расчета по этой формуле можно использовать программу -

функцию, приведенную ниже.

Листинг 3.2.

Расчет значения коэффициента гидравлического трения по формуле Кольбрука

Дано

Red:=40000; Δcp:=0.018

Реше-

ние

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅+=

1.0,006.0,,

7.3

dRe

5.2

log2

root:p

λλ

Результат:

λ=0.048

По этой программе можно определить коэффициент

в случае тех-

нических труб для всех трех областей турбулентной зоны.

В случае стальных и чугунных водопроводных труб, уже находив-

шихся в эксплуатации, величину

рекомендуют определять по эмпириче-

ским зависимостям Ф.А.Шевелева

При

e9,210≥⋅

(квадратичная область сопротивления)

0,3

0,021 0,021

=≈ (3.61)

При

Re 9, 2 10≤⋅

(доквадратичная область сопротивления)

0,3

1, 5 10 1

−

⎛⎞

⋅

⎜⎟

⎝⎠

(3.62)

где

d берется в метрах.

3.7.3. Потери напора при равномерном движении

Выделим в трубе или от-

крытом канале отсек жидкости,

ограниченный двумя нормаль-

ными сечениями 1-1 и 2-2, на-

ходящимися на расстоянии

одно от другого. Рассмотрим

равномерное движение, при ко-

тором по всей длине потока ос-

таются постоянными площадь

живого сечения

и смоченный

периметр

. Приравняем рабо-

ту сил трения за единицу вре-

мени по боковой поверхности

выделенного отсека работе сил тяжести на преодоление сил трения. Если

обозначить удельную силу трения

, то сила трения по боковой поверхно-

сти отсека χl , будет равна

l, а работа сил трения на пути l составит

ll.

Обозначив потери по длине h

, работу сил тяжести на преодоление

сил трения можно выразить следующим образом

γω

Учитывая, что при равномерном движении работа сил тяжести равна

работе сил трения, запишем

llh

χγω

После очевидных преобразований имеем

Рис. 3.9

(3.63)

отсюда

(3.64)

Уравнение(3.64) носит название

основного уравнения равномерного

движения

Учитывая, что в области квадратичного сопротивления, сила трения

пропорциональна квадрату скорости, можно записать

τγ

= (3.65)

Совместное решение уравнений (3.64) и (3.64), позволяет получить

следующую зависимость для определения скорости

000000,

URiCRi

(3.66)

где индекс (0) соответствует равномерному движению.

Через С

обозначен коэффициент Шези, равный

= (3.67)

Уравнение (3.66) используется при расчете равномерного движения

воды в каналах и безнапорных трубах.

Значение коэффициента Шези С

, как правило определяется на осно-

ве экспериментальных данных. Как и коэффициент Дарси

(коэффициент

гидравлического трения), коэффициент Шези С

зависит от характера и со-

стояния граничных поверхностей и режима движения жидкости.

Пользуясь уравнением (3.66) (уравнением Шези) для определения

скорости, основное расчетное уравнение расхода при равномерном движе-

нии можно записать следующим образом

00 00

.CRi

=Q (3.68)

В дальнейшем, используя уравнение (3.68), индекс (0) будем опус-

кать.

3.7.4. Местные потери напора

На отдельных участках русла (трубопровода), где имеются повороты,

местные сужения и расширения русла и т.п., возникают местные потери

напора, обусловленные, так же как и потери по длине, работой сил трения.

Такие места потока в общем случае характеризуются:

–

местными искривлениями линий тока и живых сечений;

–

уменьшением или увеличением живых сечений вдоль потока;

–

возникновением местных отрывов транзитной струи от стенок русла,

а, следовательно, появлением водоворотных областей.

В пределах такого рода узлов, а также в пределах некоторого рас-

стояния за ними наблюдается:

 деформация эпюр осредненных скоростей вдоль потока;

 повышение пульсаций скоростей и давлений.

Перечисленные выше условия и вызывают возникновение местных

потерь напора.

Рассмотрим некоторые типичные случаи местных гидравлических

сопротивлений при турбулентном режиме и напорном движении:

 внезапное расширение трубы

вр

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

(3.69)

вр

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

(3.70)

где первый коэффициент местных сопротивлений относиться к скоростно-

му напору на подходном участке трубы, а второй коэффициент местных

сопротивлений – для скоростного напора на отводящем участке трубы;

– соответственно площади поперечного сечения трубы на подходном

и отводящем участке трубопровода;

 внезапное сужение

Листинг 3.3.

Определение коэффициента местных сопротивлений при внезапном сужении

(по А.Д.Альтшулю)

Дано

n0.

Решение

n() ε 0.57

0.043

1.1 n−

+←

−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

– отношение меньшей пло-

щади живого сечения к большей

Результат:

n( ) 0.364=

 выход из трубы в неподвижную жидкость

вых

=1;

 постепенное расширение трубы

1sin1,

8sin

диф

ζα

⎛⎞ ⎛⎞

=−+−

⎜⎟ ⎜⎟

⎛⎞

⎝⎠ ⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

(3.71)

где

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

- степень расширения диффузора;

α – угол расширения.

Оптимальное значение угла расширения подсчитывают по формуле

arcsin .

опт

−

(3.72)

На практике значение величины рекомендуется брать в пределах 7-9

 вход в трубу. При острой кромке ζ

вх

= 0.5; при слегка закругленной

кромке ζ

вх

= 0.20 ÷0.25, а при плавном очертании входной кромки -

вх

= 0.05 ÷0.10. Если труба подсоединена под углом θ к горизонту

(кромка острая), то

0,500 0,303sin 0,266sin ;

вх

θθ

=+ + (3.73)

 постепенное сужение (конфузор)

8sin

конф

−

= (3.74)

где

n - отношение площади живого сечения на подходном участке к

площади живого сечения на отводящем участке;

λ - среднее значение коэффициента гидравлического трения для под-

ходного и отводящего участка труб;

θ - угол конусности;

 поворот без скругления

Листинг 3.4.

Определение коэффициента местных сопротивлений при повороте трубы без

скругления

Дано

α 3

Решение

ζα

()

100

←

0.5288 α⋅ 0.1436 α

⋅− 1.6913 α

⋅+ 0.6994 α

⋅−

Результат

ζα

(

)

0.186=

где угол поворота трубы

берется в градусах

 плавный поворот круглой трубы

Листинг 3.5.

Определение коэффициента местных сопротивлений при плавном повороте

трубы (по А.Д.Альтшулю, А.Я.Миловичу и Б.Б.Некрасову)

Дано

λ:=0.02 α:=30 d/R=0.5

Решение

αr π

180

⋅:=

ζλd, R, αr,

()

ζ90 2000 λ

2.5

⋅ 0.106

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2.5

⋅+←

ζα ζ90 sin αr

()

⋅ αr

<if

ζ90 0.7 0.35

αr2⋅

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

otherwise

←

Результат

ζ 0.02 1, 2, αr,

(

)

0.066=

где

- коэффициент гидравлического трения трубы; R – радиус за-

кругления;

d – диаметр трубы;

- угол поворота в градусах;

r –

угол поворота в радианах;

 диафрагма

ωε

⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

(3.75)

где

0,043

0,570 ,

1,100

−

– площадь поперечного сечения отверстия диафрагмы;

 кран;

численные значения коэффициента местных сопротивлений для по-

воротного (пробочного) крана зависят от угла поворота запорного

элемента

Листинг 3.6.

Определение коэффициента местных сопротивлений для крана

Дано t:=42

Решение

X 510203040506065

()

Y 0.05 0.29 1.56 5.47 17.3 52.6 216 486

()

s cspline X Y

():=

At( ) interp s X

():=

t – угол поворота

крана при закрытии

Результат:

ζ=A(t)=21.987

3.8. Расчет трубопроводов и водопроводных сетей

Расчет трубопроводов осуществляют с помощью уравнения Бернул-

ли с учетом местных потерь напора и потерь напора по длине. Трубопро-

вод может состоять из нескольких участков состоящих из труб различных

диаметров, или из труб, выполненных из различных материалов, а также

иметь различные местные сопротивления. В этом случае в правую часть

уравнения Бернулли

следует вводить сумму потерь напора по длине на

различных участках и сумму местных потерь напора:

2222

111 2 22

2222

UpUlUU

ggdgg

αα

λς

γγ

++ =++ + +

∑∑

(3.76)

В случае гидравлически длинных (или просто длинных) тру-

бопроводов величиной

∑

пренебрегают, а потери напора по дли-

не увеличивают на 5-10%. Такие трубопроводы называются гидравлически

длинными.

В гидравлически коротких трубопроводах потери напора

по длине и местные потери напора сопоставимы по значению. При гидрав-

лическом расчете коротких трубопроводов учитываются как местные по-

тери, так и потери напора по длине, а в балансе напоров

учитываются и

скоростные напоры в сечениях потока.

По определяемым величинам и методике расчета простых трубопро-

водов

задачи делятся на три группы:

 определение расхода Q при заданном напоре H, известной длине

трубы

l и шероховатости стенок трубы, а также плотности ρ и вязко-

сти жидкости γ;

 определение напора H при заданном расходе Q и при известных

длине, диаметре и шероховатости трубы, а также плотности и вязко-

сти жидкости;

 определение необходимого диаметра d трубы при заданных расходе

Q и напоре H и известных длине и шероховатости трубы, а также

плотности и вязкости жидкости.

3.8.1. Расчет гидравлически коротких трубопроводов

Задача 1. Какой расход можно пропустить по трубопроводу диамет-

ром

d = 100мм и длиной l = 50 метров при напоре H

= 4 метра, если вы-

ходное отверстие будет ниже входного отверстия на 2 м. Угол открытия

крана составляет

= 30

температура воды равна

(Рис. 3.10).

Решение. Записав

уравнение Бернулли для

сечений

1-1 и 2-2 относи-

тельно плоскости сравне-

ния

О-О можно записать

;

= и H=H

Тогда после несложных

Простым трубопроводом называется трубопровод, не имеющий боковых от-

ветвлений (определение Р.Р.Чугаева)

Рис. 3.10

преобразований запишем

вх кран

λςς

⎛⎞

+= + + +

⎜⎟

⎝⎠

(3.77)

Отсюда

()

вх кран

QgHz

λςς

⎛⎞

++ +

⎜⎟

⎝⎠

(3.78)

В общем случае, данная задача решается путем подбора, т.к. для оп-

ределения коэффициента гидравлического трении

необходимо знать

число Рейнольдса, который в свою очередь, зависит от величины пропус-

каемого расхода. Если допустить, что коэффициент

не зависит от числа

Рейнольдса, тогда задача решается напрямую, с помощью уравнения (3.78)

Листинг программы, реализующий решение данного примера приве-

ден ниже(

Листинг 3.8.) В программе учитывается изменение коэффициента

местных сопротивлений на входе в трубу с учетом наклона трубы к гори-

зонту

Листинг 3.7.

Определение расхода воды в гидравлически коротком простом трубопроводе

Дано

d 0.1:=

ν 0.00000131:=

ζ10.

ζ2 5.4

Решение

180

acos

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅:=

ζ1 ζ1 0.303 sin α

(

)

⋅+ 0.266 sin α

(

)

⋅ sin α

(

)

⋅+:=

Q root H1 z1+()U

⋅

π d

⋅

←

Re U

⋅←

0.0000015

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.3

Re 920000≤if

0.021

0.3

Re> 920000>

←

⋅ ζ1+ ζ2+ 1+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2 9.81⋅

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

− Q, 0.001, 0.1,

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

Результат:

Q 0.032

где ζ1 – коэффициент местных сопротивлений при входе в трубу и

принятый равным 0.5; ζ2 – коэффициент местных сопротивлений для

крана. Значение 5.47 рассчитано по программе (

Листинг 3.5.). λ- ко-

эффициент гидравлического трения, рассчитанный по формулам

Ф.А.Шевелева (3.61),(3.62).

Задача 2. Определить напор

, который необходимо поддерживать в

резервуаре, что бы расход воды, пропускаемый по горизонтальному тру-

бопроводу диаметром

d =

100мм, равнялся

Q = 15.7

л/сек. (Рис. 3.11). Угол от-

крытия крана

= 30

, дли-

на трубы

l = 50 метров.

Температура воды равна

Решение. Записав

уравнение Бернулли для

сечений 1-1 и 2-2 можно

принять, что

- z

= 0: p

= p

;

= Тогда после очевидного преобразования получим

вх кран

λςς

⎛⎞

=+++

⎜⎟

⎝⎠

(3.79)

Листинг 3.8.

Определение напора воды в гидравлически коротком простом трубопроводе

Дано

Q 0.015

d 0.1:=

ν 0.00000131:=

ζ10.

ζ2 5.4

Решение

⋅

π d

⋅

0.0000015

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.3

Re 920000≤if

0.021

0.3

Re 920000>if

H λ

⋅ ζ1+ ζ2+ 1+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

2 9.81⋅

⋅:=

Результат:

H 5.474=

где ζ1 – коэффициент местных сопротивлений при входе в трубу и

принятый равным 0.5; ζ2 – коэффициент местных сопротивлений для

крана. Значение 5.47 рассчитано по программе (

Листинг 3.5.). λ- ко-

Рис. 3.11