Цивин М.Н. Конспект лекций по курсу Техническая механика жидкости. Курс с применением MATHCAD

Подождите немного. Документ загружается.

Жидкость γ, Н/м

ρ, кг/м

Глицерин безводный 12260 1250

Масло касторовое 9520 970

Масло минеральное 8000 – 8750 877 – 892

Нефть 8340 – 9320 850 – 950

Ртуть 132900 13547

Спирт этиловый безводный 7440 789,3

Хлористый натрий (раствор) 10690 1200

Эфир этиловый 7010 - 7050 715 – 719

Сжимаемость жидкости.

Определение 7.

Сжимаемость

свойство жидкости изменять свою

плотность при изменении давления

Жидкость, как и многие твердые тела, подчиняются закону Гука, ко-

торый в данном случае связывает относительное изменение объема жидко-

сти с интенсивностью равномерного всестороннего сжатия данного объе-

ма. При этом приходиться пользоваться известным понятием модуля объ-

емной упругости (модуля всестороннего сжатия) Е. Для воды при обычной

температуре (t=0 ÷20

)

Е≈1854 ÷ 1942 МПа.

Температурное расширение жидкости.

Определение 8.

Температурное

расширение

свойство жидкостного тела изменять

свой объем (следовательно, и плот-

ность) при изменении температуры

Коэффициент температурного расширения жидкости

, т.е. число,

выражающее относительное увеличение объема жидкости при повышении

температуры на 1

С, для воды при разных давлениях и температуры изме-

няется в пределах

000660000140

≈

Вязкость.

Определение 9.

Вязкость

свойство жидкости оказывать сопротивле-

ние действию внешних сил, вызывающих

перемещение ее частиц или слоев

Определение 10.

Динамическая

вязкость μ

характеризует собой силу внутреннего

трения, которая возникает на единице

площади поверхности двух переме-

щающихся друг относительно друга

слоев жидкости при градиенте скорости

равном единице

Определение 11.

Кинематическая

вязкость ν

Отношение динамической вязкости

жидкости к ее плотности

Для определения вязкости при различных температурах пользуются

эмпирическими формулами и графиками. Так, по зависимости Пуазейля,

можно оценить влияние температуры воды на ее кинематическую вязкость

где

t – температура,

С.

Сопротивление жидкости растягивающим усилиям.

Экс-

периментально было доказано, что при равномерном всестороннем растя-

жении покоящаяся жидкость ( в частности вода, ртуть) иногда способна

сопротивляться очень большим растягивающим усилиям; например, ртуть

в определенных условиях может выдерживать растяжение в интенсивно-

стью в 100

атм, не подвергаясь разрыву.

В обычных условиях растяжение жидкости будет отличаться от рав-

номерного всестороннего растяжения; поэтому в ней возникнут касатель-

ные напряжения, причем жидкость будет течь под действием растягиваю-

щих усилий.

Учитывая это, считают, что в обычной практике жидкость не сопро-

тивляется растягивающим усилиям.

Сопротивление движущейся жидкости касательным

усилиям.

Ранее отмечалось, что в движущейся реальной жидкости воз-

никают силы трения. Эти силы уравновешивают внутренние касательные

усилия, возникающие в жидкости под действием внешних сил. Величина

сил трения зависит как от рода жидкости, так и от скорости относительно-

го перемещения частиц.

1.5.

Силы, действующие на жидкость

Жидкость можно рассматривать как сплошную среду, которая нахо-

диться в состоянии покоя или движения и является совокупностью матери-

177,5 10

1 0,0337 0,000221

m cek

−



(1.4)

альных частиц. Все силы, действующие на эти частицы, можно условно

поделить на две группы: внутренние силы упругости и внешние силы.

Определение 12.

Внутренние

силы

Силы взаимодействия между матери-

альными точками (частицами) жидко-

сти

Определение 13.

Внешние силы

Силы, приложенные к частицам рас-

сматриваемого объема жидкости со

стороны других вещественных тел, в

частности и со стороны жидкости, ок-

ружающей рассматриваемый объем

Внешние силы, действующие на данный объем жидкости, в свою

очередь, могут быть разделены на две группы: силы массовые и силы по-

верхностные.

Определение 14.

Силы массовые

силы, действующие на все частицы,

составляющие рассматриваемый

объем жидкости: величина этих сил

пропорциональна массе жидкости

В случае однородной жидкости, т.е. жидкости, имеющей всюду оди-

наковую плотность, массовые силы называют также объемными. К числу

объемных сил относиться собственный вес, силы инерции.

Определение 15.

Силы

поверхностные

силы, приложенные к той или иной

поверхности, ограничивающей рас-

сматриваемый объем жидкости, вы-

деленной, например, внутри покоя-

щейся или движущейся жидкости.

К числу поверхностных сил относятся, например, атмосферное дав-

ление, силы трения, действующие по поверхности.

1.6. Список рекомендованной литературы

1. Чугаев Р.Р. Гидравлика (техническая механика жидкости) – 4-е изд.-

М.-Л.: Энергоиздат, 1982.-672 с.

Богомолов А.И., Михайлив К.А. Гидравлика. - 2-е изд.,перераб. и

доп. М.: Стройиздат, 1972.- 648 с.

Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов.-М.: Энергоатом-

издат, 1984.-640 с.

Агроскин И.И., Дмитриев Г.Т., Пикалов Ф.И. Гидравлика. 4-е изд.-

М.: Энергия, 1964.-351 с.

Справочник по гидравлике /Под ред.. В.А.Большакова, - 2-е изд. пе-

рераб. и доп. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1984.-343 с.

2. ГИДРОСТАТИКА

Определение 16.

Гидростатика

раздел гидравлики, изучающий

равновесие жидкостей и равнове-

сие твердых тел, полностью или

частично погруженных в жидкость

2.1. Гидростатическое давление

Основным понятием гидростатики является понятие гидростатиче-

ского давления. Для пояснения этого понятия рассмотрим произвольный

объем покоящейся жидкости.

Наметим внутри этого объема точку А и про-

ведем через нее произвольную поверхность ВС.

Такая поверхность рассечет данный объем жидко-

сти на два отсека: I и II. Выделим у точки А на по-

верхности ВС некоторую

площадь ω.

Через поверхность ВС будет передаваться

сила давления со стороны отсека I на отсек II.

Часть этой силы, обозначенной как Р, должна при-

ходиться на выделенную площадь ω.

Сила Р, действующая на всю рассматривае-

мую площадь ω, называется силой гидростатиче-

ского давления, или, просто, гидростатической

силой.

Определение 17.

Сила

гидростатического

давления

геометрическая сумма элементарных

сил гидростатического давления,

приложенных со стороны покоящей-

ся жидкости ко всем элементарным

площадкам, составляющим рассмат-

риваемую поверхность

Сила Р по отношению к отсеку II является внешней поверхностной

силой; по отношению же ко всему объему жидкости, состоящему из двух

отсеков (I и II), она является силой внутренней. Силе Р отвечает реакция

(той же величины, что и сила Р), действующая со стороны отсека II на от-

сек I. Поэтому внутреннюю силу Р следует рассматривать

как силу пар-

ную.

Разделив величину Р на ω, получим

Рис. 2.1

где величина р

ср

представляет ту силу, которая приходиться в среднем на

единицу рассматриваемой площади.

Если представить, что в приведенной формуле площадь ω стремить-

ся к нулю (так чтобы точка А всегда находилась внутри контура площади

ω), то величина р

ср

будет стремиться к определенному пределу, который

обозначим через р. Этот предел выражает давление в намеченной точке А.

Величину

называют гидростатическим давлением в точке, сокращенно: давле-

нием в точке» или «

гидростатическим давлением».

Определение 18.

Давление (в точке)

гидростатическое

величина этого давления равна пределу от-

ношения элементарной силы гидростатиче-

ского давления к величине соответствующей

элементарной площадке действия ω, при

стремлении ω к нулю.

2.2. Свойства гидростатического давления

Давление в точке обладает тремя основными свойствами.

Свойство 1. Гидростатическое давление в точке действует нор-

мально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено

внутрь того объема жидкости, давление на которое рассматривается.

Рассмотрим силу Р, приложенную в точке

В поверхности АВС объема жидкости, находя-

щегося в покое. (Рис. 2.2.) Эту силу

, являю-

щуюся равнодействующей всех сил, действую-

щих на поверхность АВС, можно разложить на

две составляющих: Р

, касательную к поверхно-

сти АВС, и Р

, нормальную к этой поверхности.

Так как жидкость не оказывает сопротивления

касательным и растягивающим усилиям, то при

наличии силы Р

, направленной не во внутрь

объема жидкости, и силы Р

, частицы ее будут

перемещаться., что противоречит принятому условию нахождения жидко-

сти в покое. Следовательно, сила Р

должна быть равна нулю, а сила Р

может быть направлена по нормали лишь во внутрь объема жидкости, так

(2.1)

lim

→∞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(2.2)

Рис. 2.2.

как только при таких условиях не будет касательных и растягивающих сил

и возможен покой жидкости.

Свойство 2. Величина давления в данной точке не зависит от

ориентировки, т.е. от угла наклона площадки действия.

Рассмотрим некоторый объ-

ем жидкости. Для этого примем

точку 0 объема жидкости за начало

прямоугольной системы координат

и на

осях этой системы выделим

бесконечно малый тетраэдр 0авс.

Всю жидкость вне тетраэдра от-

бросим, и будем рассматривать его

равновесие. Для сохранения рав-

новесия тетраэдра необходимо ка-

ждую грань подвергнуть нормаль-

ному давлению равному гидроста-

тическому давлению, заменяющему действие окружающей массы жидко-

сти. Кроме поверхностных сил на тетраэдр действует массовая сила – сила

тяжести

G (собственный вес тетраэдра).

Чтобы получить уравнение равновесия, необходимо определить со-

ставляющие сил гидростатического давления и собственного веса тетраэд-

ра по координатным осям. Обозначим гидростатическое давление в точке 0

тетраэдра через

р, а его составляющие по координатным осям x, y, z и нор-

мали к площадке

abc соответственно через p

, p

и p

. Силы гидростати-

ческого давления на грани будут равны произведениям среднего гидроста-

тического давления на площади соответствующей граней. Для определе-

ния среднего гидростатического давления внесем поправки к составляю-

щим гидростатического давления

, p

и p

в виде ε

, ε

и ε

, пред-

ставляющие собой отклонения среднего гидростатического давления по

соответствующим граням от заданного р (в начале координат 0). Тогда си-

лы гидростатического давления на грани тетраэдра будут равны

()

;

xxx

yyy

zzz

nnn

P p dydz

P p dzdx

P p dxdy

Pp пл abc

⎫

⎪

⎬

⎪

=+ Δ

⎪

⎭

Обозначим собственный вес тетраэдра через

G. Проекции силы тя-

жести на координатные оси

x, y, z и нормаль n равны:

Рис. 2.3.

При составлении уравнения равновесия сил, действующих на тетра-

эдр, проекциями массовой силы можно пренебречь (ввиду их малости с

проекциями сил давления) Тогда уравнения равновесия будут иметь сле-

дующий вид:

()()

()

.cos(,);

xx nn

yy nn

zz nn

pdydzp пл abc x n

pdzdxp пл abc y n

pdxdyp пл abc y n

εε

⎫

+=+Δ

⎪

+=+Δ

⎬

⎪

+=+Δ

⎪

⎭

(2.3)

В правой части приведенной системы уравнений даны косинусы уг-

лов между направлениями гидростатического давления p

и соответст-

вующими осями x, y и z. Величины проекций площадки авс на координат-

ные плоскости, т.е. произведения площади треугольника авс на косинусы

углов площадки авс с координатными плоскостями, равны площадям соот-

ветствующих граней тетраэдра:

11 1

22 2

dydz dzdx и dxdy

Подставляя эти проекции площадки авс в правую часть приведенной

системы уравнений и деля каждое уравнение соответственно на

11 1

22 2

dydz dzdx и dxdy , получим

;

xnn

yy nn

znn

+=+

(2.4)

или

;

G dxdydzX

GdxdydzY

GdxdydzZ

G dxdydzN

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

;

xnnx

ynny

znnz

−

=−

⎫

⎪

−=−

⎬

⎪

−=−

⎭

(2.5)

Если допустить, что элементарный тетраэдр 0авс уменьшается и в

пределе превращается в точку, то правая часть системы уравнений (2.5)

соответственно становиться равной нулю и из системы уравнения (2.5)

может быть получено следующее равенство:

Это равенство выражает второе свойство гидростатического давле-

ния.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее ко-

ординат в пространстве. Это положение не требует доказательства, так как

ясно, что по мере погружения точки под уровень давление в ней будет воз-

растать и, наоборот, по мере уменьшения погружения – уменьшаться.

2.3. Дифференциальные уравнения покоя жидкости

(Уравнение Эйлера)

Выберем внутри по-

коящейся жидкости паралле-

лепипед с ребрами, располо-

женными параллельно коор-

динатным осям 0x, 0y и 0z и

равными соответственно dx,

dy и dz (Рис.2). Составим

уравнение равновесия этого

параллелепипеда в виде урав-

нений проекций сил:

Проектируя силы на ось 0x, имеем

Определим каждое из слагаемых.

Поверхностные силы равны:

,dP pdydz dP p dydz

′

где

p и p’ – средние гидростатические давления на площадки ABCDA

и A’B’C’D’A’.

Так как гидростатическое давление является функцией координат,

среднее гидростатическое давление на площадке A’B’C’D’A’ будет равно:

pdx

∂

′

∂

потому что при переходе от площадки ABCDA к площадке

A’B’C’D’A’ изменяется только координата х. Следовательно, сила

Рис. 2.4.

0, 0, 0.XYZ===

∑∑∑

(2.6)

cos 0XdPdPdF

=−+ =

∑

(2.7)

dP p dx dydz

∂

⎛⎞

⎜⎟

∂

⎝⎠

Объемная сила для массы dm=ρdxdydz равна:

Подставляя в уравнение(2.4) значения слагаемых, запишем

Раскрывая скобки и (после приведения побобных членов) сокращая

на dx dy dz,получим уравнение проекций сил на ось 0х в виде

Аналогично можно получить и уравнение проекции сил на оси 0y и

0z, в результате

чего система трех уравнений равновесия жидкости (урав-

нения Эйлера) запишется в виде

Для вывода основного уравнения гидростатики перепишем данную

систему уравнений в следующем виде

Умножив каждое из приведенных уравнений соответственно на dx,

dy и dz и произведя сложение правых и левых частей уравнений, получим

ppp

dx dy dz Xdx Ydy Zdz

xyz

ρρρ

∂∂∂

++=++

∂∂∂

cosdF dmX dxdydzX

dydz p dx dydz Xdxdydz

ρρ

∂

⎛⎞

−+ + =

⎜⎟

∂

⎝⎠

∂

−

∂

⎫

∂

−+ =

⎪

∂

⎪

∂

⎪

−+ =

⎬

∂

⎪

∂

−+ =

⎪

∂

⎭

(2.8)

;

⎫

∂

⎪

∂

⎪

∂

⎪

⎬

∂

⎪

∂

⎪

∂

⎭

(2.9)