Цивин М.Н. Конспект лекций по курсу Техническая механика жидкости. Курс с применением MATHCAD

Подождите немного. Документ загружается.

гидродинамический напор в каждом последующем сечении

H будет

больше гидродинамического напора в последующем сечении

H на вели-

чину потерь напора

. Соответственно с этим напорная плоскость или си-

ловая линия

О'О' оказывается наклонной .

Наклон напорной плоскости называется гидравлическим уклоном:

(

)

HHdH

ds ds ds

−+

==−=

(3.21)

где ds – элементарный путь.

Соединяя ординаты

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(Рис. 3.6), получаем пьезометрическую

линию

рр, уклон которой называется пьезометрическим уклоном

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.22)

Следует отметить, что пьезометрический уклон может быть направ-

лен как по движению струйки, так против ее движения, а гидравлический

уклон – только по движению.

3.5.2. Физическая интерпретация

Пусть частица невязкой (идеальной) жидкости с массой δm движется

по оси струйки

АВ внутри элементарной трубки тока (Рис. 3.5). Опреде-

лим величину полной, т.е. кинетической и потенциальной, энергии части-

цы в сечениях 1-1 и 2-2.

Кинетическая энергия частицы в сечении 1-1 равна

. Потенци-

альная энергия определяется из следующих соображений. Благодаря дав-

лению р

жидкость в пьезометрической трубке может подняться на высоту

. Следовательно, и данная частица жидкости может подняться под дав-

лением р

на такую же высоту над осью трубки, а над плоскостью сравне-

ния О-О на высоту

+ , чему соответствует потенциальная энергия,

равная произведению веса частицы на высоту подъема

gmz zgm gm

δδ

γγ

⎛⎞

+= +

⎜⎟

⎝⎠

(3.23)

Таким образом, потенциальная энергия состоит из двух частей: пер-

вая может быть названа энергией положения, вторая – энергией

давления.

Полная энергия частицы в сечении 1-1 (потенциальная плюс кинети-

ческая) равна:

E zgm gm m

δδδ

=+ + (3.24)

Разделив данное выражение на вес частицы жидкости gδm, получим

значение удельное значение энергии, т.е. энергию, отнесенную к единице

веса жидкости, протекающей через сечение 1-1:

Э z

=+ + (3.25)

Аналогичное выражение можно получить и для сечения 2-2.

Из общего уравнения Бернулли для идеальной жидкости следует, что

удельная энергия в первом сечении должна быть равна удельной энергии

во втором сечении, а, значит, в любом произвольном сечении струйки

Э z Const

=+ + = (3.26)

Таким образом, полная удельная энергия, несомая элементарной

струйкой невязкой жидкости, постоянна и состоит из трех частей:

 удельная энергия положения z, измеряемая высотой положения рас-

сматриваемой частицы над плоскостью сравнения О-О;

 удельная энергия давления, измеряемая пьезометрической высо-

той

;

 удельная кинетическая энергия, измеряемая скоростным напором

Как видим, физическая интерпретация уравнения Бернулли пред-

ставляет частный случай записи общего закона сохранения материи в при-

роде, предложенного еще М.Ломоносовым.

При движении вязкой (реальной) жидкости полная удельная энергия

вдоль струйки будет уменьшаться из-за наличия потерь по пути; вследст-

вие этого напорная плоскость будет наклонной

O’O'(Рис. 3.6). Линию, ха-

рактеризующую изменение полной энергии, называют линией удель-

ной энергии.

3.6. Коррективы скорости для расчета по уравнениям

количества движения и энергии

Рассмотрим две различные схемы потока, имеющего плоские живые

сечения. Схема а ) (Рис. 3.7), на которой изображен продольный разрез

действительного потока, характеризуемого неравномерным распределени-

ем скоростей по живому сечению, и схему б ) (Рис. 3.7), на которой изо-

бражен продольный разрез соответствующего условного потока, характе

ризуемого тем обстоятель-

ством, что все частицы

жидкости, проходят через

живое сечение с одинако-

вой скоростью, равной

средней скорости U.

Аналитическое ре-

шение задачи учета нерав-

номерности распределения

скоростей по живому се-

чению представляет боль-

шие трудности. Поэтому в

гидравлике обычно все расчеты ведутся по средним скоростям. Для приве-

дения

результатов расчетов по средней скорости в соответствии с действи-

тельными скоростями необходимо ввести поправочные коэффициенты. В

гидравлике при решении отдельных вопросов, наиболее часто употребля-

ют законы количества движения и энергии, применительно к которым и

следует рассматривать данные коэффициенты.

По предложению Н.Н.Павловского, для выяснения значений попра-

вочных коэффициентов рассматриваются три

интеграла: расхода, количе-

ства движения и энергии. На основании результатов интегрирования уста-

навливаются зависимости для поправочных коэффициентов, а их числен-

ные значения определяют специально проводимыми экспериментальными

исследованиями.

3.6.1. Интеграл расхода

Выражение расхода в интегральной форме имеет вид

.ud

∫

Q (3.27)

Вместо местной осредненной скорости u под знак интеграла можно

подставить ее выражение через среднюю скорость U и отклонение от нее

(

)

.Uud U ud

ωω

=+ =+

∫∫

Q (3.28)

Значение U

в правой части уравнения выражает расход Q, поэтому

0.ud

∫

(3.29)

Следовательно, при определении расхода, местную осредненную

скорость u в интеграле можно заменить средней скоростью U.

3.6.2. Интеграл количества движения

Интеграл количества движения жидкости плотностью

за единицу

времени может быть записано следующим образом

дейст

КД ud u u d

ωρω

=⋅=

∫

(3.30)

Рис. 3.7

Заменяя при интегрировании местную скорость средней, как это бы-

ло сделано при рассмотрении интеграла расхода, получаем:

()

(

)

0200

дейст

КД Uu d U Uud ud

ρωρωωω

=+ = + + =

∫∫∫

(

)

,Uud

ωω

∫

(3.31)

где интеграл

∫

, согласно (3.29), равен нулю.

Уравнение (3.31) можно преобразовать следующим образом

дейст ср ск

КД U КД

ρω α

⎛⎞

⎜⎟

=+=

⎜⎟

⎝⎠

∫

(3.32)

Отсюда

дейст

ср ск

КД

U КД

=+ =

∫

(3.33)

Корректив скорости при расчете по количеству движения приводит в

соответствие количество движения

, определяемое по средней скорости,

с действительным количеством движения.

3.6.3. Интеграл энергии

Интеграл энергии при постоянной плотности

и замене средней

скорости по аналогии с уравнением (3.30) может быть записано следую-

щим образом:

()

10,5 0,5 .

дейст

Э ud u d U u d

ωρωρ ω

=⋅= = +

∫∫∫

(3.34)

Выполнив интегрирование, получаем

(

)

32 2 3

000

0,5 3 3 .

дейст

Э UUudUudud

ωωωω

=+++

∫∫∫

(3.35)

Из трех интегралов в круглых скобках первый, согласно (3.29), равен

нулю, а третий по сравнению с первым или вторым относительно мал (от-

клонения

u от средней скорости малы по величине и суммируются с про-

тивоположными знаками) и поэтому в последующих преобразованиях им

можно пренебречь. Тогда уравнение (3.35) приводиться к виду

0,5 1 3 0,5

дейст ср ск

Э UUЭ

ρω ραωα

⎛⎞

⎜⎟

=+==

⎜⎟

⎝⎠

∫

(3.36)

Отсюда

13 .

дейст

ср ск

U Э

=+ =

∫

(3.37)

Корректив скорости при расчете по энергии приводит в соответствие

количество движения

, определяемое по средней скорости, с действи-

тельной энергией.

Таким образом, коэффициенты

учитывают влияние неравно-

мерности распределения скорости по живому сечению при определении

количества движения и энергии и, по существу, исправляют те расчетные

зависимости, которые получены при использовании вместо действитель-

ных скоростей средней скорости.

При равномерном движении жидкости величины

, установлен-

ные на основании опытов (например, опытов Базена) оказываются равны-

ми

≈ 1.008 ÷ 1.049

≈ 1.025 ÷ 1.152

При неравномерном движении значения

могут иногда суще-

ственно отличаться от единицы. Вместе с тем очень часто в практике

встречаются такие случаи движения жидкости, когда величины

все

же достаточно близки к единице.

По предложению Р.Р.Чугаева данные коэффициенты следует имено-

вать следующим образом

– корректив количества движения потока;

– корректив кинетической энергии потока.

Рассмотрим целый поток жидкости, ограниченный с боков стенками

русла, а также в случае безнапорного движения и со свободной поверхно-

стью.

В связи с работой сил трения полная удельная энергия вдоль потока

(вниз по течению) уменьшается. Поэтому для реальной вязкой жидкости

можно записать

111 2 22

pU p U

zz h

αα

γγ

++ =++ + (3.38)

где

– потеря напора.

3.7. Расчет потерь напора

3.7.1. Режимы движения

Наблюдения показывают, что в природе существует два различных

вида движения жидкости:

Определение 37

Упорядоченное

или ламинарное

движение

движение, при котором отдельные слои

жидкости скользят друг относительно дру-

га, не смешиваясь между собой

От латинского слова lamina – слой, пластинка.

Определение 38

Неупорядоченное

или турбулентное

движение

движение, когда частицы жидкости дви-

жутся по сложным, все время изменяю-

щимся траекториям и в жидкости проис-

ходит интенсивное перемешивание.

Ясность в вопрос о том, как именно будет происходить движение

жидкости в тех или иных условиях, была внесена в 1983 году в результате

опытов английского физика Рейнольда.

Рейнольдс установил общие условия, при которых возможны суще-

ствование ламинарного и турбулентного режима движения жидкости и пе-

реход отодного режима движения к другому.

Для

выяснения режима движения необходимо вычислить безразмер-

ное число Рейнольдса Re и сравнить его с величиной так называемого кри-

тического числа Рейнольдса Re

При движении жидкости в круглой напорной трубе число Рейнольд-

са определяется по зависимости

Re .

= (3.39)

Для безнапорных потоков

()

Re ,

= (3.40)

где

R – гидравлический радиус, равный отношению площади живого

сечения

ω к смоченному периметру χ . Значение ν – кинематической вяз-

кости жидкости, зависящего от температуры, можно посчитать по приве-

денному ниже программе-функции.

Листинг 3.1.

Определение значения кинематического коэффициента вязкости воды в зави-

симости от температуры

Дано t:=18

Решение

()

0000010000201080056330

010

ttt ⋅−⋅+⋅+

....

Результат:

ν=0.0106

Численное значение величины числа Рейнольдса Re по данным раз-

личных авторов, колеблется в достаточно широком диапазоне: по опытам

Хагена(1854 г.) - Re

=2100, Кольрауши (1914 г.) - Re

=1880; Сафа и Шоде-

ра(1903 г.) - 2000; Шиллера(1925 г.) - Re

=2320.

С некоторім запасом принимают, если

От латинского слова turbulentus – вихревой.

Re Re 2320

кр

<= ≈ (3.41)

или

()

Re Re 580,

кр

<= ≈ (3.42)

то режим движения будет устойчиво ламинарным.

Евреинов В.Н. (1946 г.) показал, что верхнее значение критического

числа Рейнольдса может зависеть, как от диаметра трубы, (для замкнутых

водоводов), так и от величины абсолютной шероховатости (для открытых

русел):

Таблица 3.1.

Численные значения верхнего предела критического числа Re

Трубопроводы

d (m) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

7000 7333 7667 8000 8333 8667 9000

Открытые русла

R, м

, мм

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

1 12000 12000 12000 12000 12000 12000

5 12000 11000 12000 12000 12000 12000

10 10000 10000 11000 11000 12000 12000

30 8000 8000 10000 10000 11000 12000

50 7000 7000 9000 10000 11000 12000

В гидротехнической практике движение жидкости обычно характе-

ризуется числами Рейнольдса, значительно превышающими вышеупомя-

нутые критические значения, а поэтому имеет место турбулентный режим

движения.

Для применения уравнения Бернулли необходимо численно опреде-

лить потери напора

. Общие потери напора условно считают равными

сумме потерь напора, вызываемых каждым сопротивлением в отдельности,

т.е. применяют так называемый принцип наложения потерь напора

тр lm

hhh=+

∑

(3.43)

где

∑

- сумма потерь напора по длине на отдельных участках трубо-

проводов или русла потока;

∑

h - сумма потерь напора на всех местных сопротивлениях на рас-

сматриваемом участке.

3.7.2. Потери напора по длине

Одним из основных вопросов, который интересует специалистов,

при рассмотрении турбулентного движения жидкости в трубах,- это опре-

деление потерь напора. В результате экспериментальных исследований

было установлено, что потери напора могут сильно изменяться в зависи-

мости от диаметра трубы, скорости движения, вязкости жидкости, и шеро-

ховатости стенок трубы. При этом шероховатость стенок в

свою очередь

определяется рядом факторов: материалом стенок; характером механиче-

ской обработки внутренней поверхности трубы, от чего зависят высота вы-

ступов шероховатости, их форма, густота и характер размещения на по-

верхности; наличием или отсутствием в трубе ржавчины, коррозии, отло-

жения осадков, защитных покрытий и т.д.

Для приближенной оценки шероховатости вводят

понятие о средней

высоте выступов (бугорков) шероховатости. Эту высоту, измеряемую в

линейных единицах, называют абсолютной шероховатостью и обозначают

буквой k. Опыты показывают, что при одной и той же величине абсолют-

ной шероховатости влияние ее на величину гидравлических сопротивле-

ний, а, следовательно, и на величину потерь напора, различно в зависимо-

сти от

диаметра трубы. Поэтому вводится понятие об относительной ше-

роховатости, измеряемой отношением абсолютной шероховатости к диа-

метру трубы, т.е. величиной

Коэффициент гидравлического трения

в формуле Вейсбаха - Дарси

(3.44)

где

R – гидравлический радиус;

l – длина участка между двумя рассматриваемыми сечениями,

может зависеть от двух безразмерных параметров: Re и

, а следователь-

но:

Re;

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(3.45)

Первые систематические исследования для выявления влияния ха-

рактера зависимости λ от Re и

были проведены в 1933 г. И.Никурадзе в

гладких латунных трубах и в трубах с искусственной равномерно-

зернистой шероховатостью из кварцевого песка. Песок с различной высо-

той бугорков шероховатости k наносился на внутреннюю поверхность труб

разного диаметра: при этом были получены различные значения относи-

тельной шероховатости (от

=0,00197 до

=0,066).

Результаты опытов Никурадзе представлены в виде графика, приве-

денного ниже (Рис. 3.8), где по горизонтальной оси отложены величины

lg Re

, а по вертикальной – величины

(

)

lg 100

Рис. 3.8. График Никурадзе: I – линия ламинарного

движения; II - линия гидравлически гладких труб; III –

линии вполне шероховатых труб

Из рассмотрения этого графика можно сделать следующие выводы.

При ламинарном движении (Re< 2000 или lgRe<3,3) все опытные

точки, независимо от шероховатости стенок, ложатся на прямую линию I.

Эта линия отображает зависимость

(3.47) для ламинарного режима.

Таким образом, подтверждается, что при ламинарном движении ше-

роховатость не оказывает влияние на величину гидравлического сопротив-

ления.

При турбулентном режиме (Re > 2000 или lgRe > 3,6) опытные точки

до некоторых чисел Рейнольдса Re совпадают с линией II, полученной при

испытании гладких труб без искусственной шероховатости, а затем откло-

няются от нее в

сторону больших значений λ; чем меньше шероховатость,

тем при больших числах Рейнольдса начинается это отклонение. Таким

образом, при некоторых условиях (малые числа Re, малые значения

)

шероховатость не оказывает влияние на сопротивление при турбулентном

движении жидкости.

Линия II на графике Никурадзе (Рис. 3.8) отображает зависи-

мость

(3.50).

При больших числах Рейнольдса коэффициент гидравлического тре-

ния зависит только от относительной шероховатости и не зависит от Re.

В зависимости от режима протекания жидкости в трубе, трубы могут

разделяться на вполне шероховатые и гидравлически гладкие.

Определение 39.

Вполне

шероховатые

трубы

трубы, в которых коэффициент

гидравлического трения λ не зави-

сит от вязкости жидкости, а зави-

сит только от относительной ше-

роховатости

Определение 40.

Гидравлически

гладкие трубы

трубы, в которых коэффициент

гидравлического трения λ зависит

только от вязкости жидкости и не

зависит от относительной шерохо-

ватости

Из графика Никурадзе видно, что одна и та же труба в одних услови-

ях может быть гидравлически гладкой, а в других условиях - вполне шеро-

ховатой

Для круглых труб при напорном движении формулу (3.44) обычно

применяют в следующем виде

(3.46)

где

d – диаметр трубопровода.

Потери напора h

существенно зависят от режима движения (турбу-

лентный режим или ламинарный).

При турбулентном режиме трудно привести единую формулу для

определения

, которая давала бы удовлетворительные результаты для

различных значений чисел Рейнольдса. Это объясняется тем, что при тур-

булентном движении возможны следующие основные области сопротив-

ления, для которых значения

будут различными:

Таблица 3.2

Режим движения,

Пределы

применимости

Расчетная фрмула

Номер

формулы

Автор формулы

Ламинарный режим,

Re<23000

(3.47) Пуазель

0,25

0,3164

(3.48) Блазиус

Турбулентный

Режим

Гидравлически

гладкие трубы

()

1, 8 lg Re 1, 5

−

(3.49) П.Конаков