Цивин М.Н. Конспект лекций по курсу Техническая механика жидкости. Курс с применением MATHCAD

Подождите немного. Документ загружается.

;

= в этом случае

и тело будет находиться в жидкости

в состоянии безразличного равновесия;

;

< в этом случае

(

)

GP V

−

=−, т.е. сумма сил дает равно-

действующую, направленную вверх, которая заставит тело

всплыть на поверхность. Тело всплывет и частично выйдет

выше поверхности настолько, чтобы новое давление

(

V -объем погруженной части тела) уравновесилось весом тела

= .

Тогда для плавающего на поверхности тела будем иметь условие

равновесия

, отсюда

(2.42)

Данное соотношение является исходным при определении глубины

погружения (осадки) плавающих однородных тел.

Вопросы для повторения

1. Назовите два основные свойства гидростатического давления.

В чем заключается основное уравнение гидростатики?

Сформулируйте закон Паскаля.

Что такое эпюра гидростатического давления.

Как определяется суммарное давление жидкости на плоскую фигу-

ру?

Как определяется суммарное давление жидкости на криволинейную

стенку?

Сформулируйте закон Архимеда и случаи остойчивости плавающего

тела.

2.10. Список рекомендованной литературы

1. Альтшуль А.Д., Киселев П.Г. Гидравлика и аэродинамика (Основы

механики жидкости).Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е перераб. и

доп. М.: Стройиздат, 1975.- 323 с.

Чугаев Р.Р. Гидравлика (техническая механика жидкости) – 4-е изд.-

М.-Л.: Энергоиздат, 1982.-672 с.

Справочник по гидравлике /Под ред.. В.А.Большакова, - 2-е изд. пе-

рераб. и доп. – К.: Вища шк. Головное изд-во, 1984.-343 с.

Богомолов А.И., Михайлив К.А. Гидравлика.- 2-е изд. перераб. и

доп.- М.:Стройиздат, 1972.-648 с.

3. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И СОПРОТИВЛЕНИЕ

ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ

3.1. Основные понятия

Движение жидкости может быть разделено на установившееся и не-

установившееся.

Определение 28

Установившееся

движение

движение жидкости, при котором каждая непод-

вижная точка пространства, занятого движущейся

жидкостью, характеризуется определенной скоро-

стью течения, неизменной во времени по величине

и по направлению

Движение, не удовлетворяющее этому определению, называется не-

установившимся.

Примером установившегося движения может служить истечение

жидкости из отверстия в стенке резервуара под постоянным напором (H =

Const).

В данном разделе рассматривается только установившееся движение

жидкости. Но и в этом случае движение жидкости как сплошной, легко

деформируемой среды представляет собой сложный физический процесс,

точное

математическое описание которого связано с чрезвычайными труд-

ностями. Поэтому для облегчения теоретических решений обычно вводят-

ся различные схемы модели, заменяющие реальный поток жидкости. Су-

щественно важным является понятие о струйчатой структуре течения жид-

кости, в соответствии с которым поток представляется как совокупность

элементарных струек, вплотную прилегающих друг к другу и образующих

сплошную массу движущейся жидкости.

Изучив законы движения элементарной струйки, легче установить

основные законы движения всего потока в целом.

Линия тока и элементарная струйка.

Определение 29

Линия тока

(по Р.Р.Чугаеву)

неизменная во времени траектория, вдоль которой

одна за другой движутся частицы жидкости

Определение 30

Линия тока

(по

П.Г.Киселеву)

линия, проходящая через последовательно дви-

жущиеся одна за другой частицы жидкости, век-

торы скоростей которых направлены по касатель-

ной к этой линии

Две различных линии тока не пересекаются друг с другом.

Определение 31

В случае установившегося движения элементарная струйка обладает

следующими свойствами:

–

при установившемся движении жидкости элементарная струйка яв-

ляется неизменной по времени;

–

водообмен между элементарными струйками исключен, т.е. можно

считать, что элементарная струйка как бы заключена в жесткие, не

изменяющиеся во времени, водонепроницаемые стенки, не имеющие

толщины;

–

величины осредненной местной скорости и давления постоянны для

всех точек поперечного сечения струйки.

Движение жидкости может быть равномерным и неравномерным,

сплошным и прерывистым. При равномерном движении величина скоро-

сти не меняется по длине струйки, в противном случае движение называ-

ется неравномерным.

Параллельноструйное, плавно изменяющееся и резко-

изменяющееся движения.

Определение 32

Параллельнострйное

движение

движение, при котором линии тока яв-

ляются строго параллельными прямыми

Определение 33

Плавно

изменяющееся

движение

движение, близкое к параллельноструйно-

му и удовлетворяющее двум условиям: ра-

диус кривизны линий тока должен быть

весьма велик и угол между линиями тока

должен быть близок к нулю

При несоблюдении хотя бы одного условия движение будет резко

изменяющимся.

Живое сечение

Определение 34

Живое сечение

поверхность, нормальная к линиям тока и

лежащая внутри потока (поверхность АВ)

Элементарная

струйка

совокупность линий тока, проведенных

через все точки элементарной площадки

Выделим поток жидкости и выделим

внутри этого потока целый ряд линий тока.

Проведем нормальнок этим линиям тока по-

верхность АВ.

Величину площади АВ принято обозна-

чать через ω (ω – площадь живого сечения)

При параллельноструйном движении

живые сечения являются плоскими.

При плавно изменяющемся движении живые сечения должны быть

близкими к плоским.

При расчетах плавно изменяющихся по-

токов всегда действительные несколько ис-

кривленные живые сечения заменяют плоскими

расчетными живыми сечениями. (см. на черте-

же (Рис. 3.2) плоское живое сечение А'В'). Дей-

ствительная линия тока, проходящая через точ-

ку m живого сечения, будет ортогональна к дей-

ствительному живому сечению АВ. Разложим

действительную скорость

u, имеющуюся в точ-

ке m, на две составляющие: u

, нормальную к

сечению А'В', и u

, лежащую в плоскости сече-

ния А'В'. Можно считать, что плавно изменяю-

щемся движении есть такое движение, при ко-

тором величина составляющей скорости u

и величина составляющей ус-

корения ϖ

, направленной вдоль плоского расчетного сечения, можно пре-

небречь и считать, что

≈

где

– ускорение в точке m;

– составляющая его, нормальная к сечению А'В'.

Гидравлические элементы живого сечения потока

Различают три основных гидравлических элемента живого сечения:

–

площадь живого сечения ω;

–

смоченный периметр χ, представляющий собой периметр той части

поперечного сечения русла, которая смочена движущейся жидко-

стью;

–

гидравлический радиус R, равный

(3.1)

Величина R не имеет особого физического; при помощью этой вели-

чины пытаются приближенно учесть влияние формы, а также размеров

живого сечения потока, на движение жидкости.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Расход жидкости

Определение 35

Расход жидкости

объем жидкости, проходящий в единицу

времени через ее живое сечение.

Величину расхода принято обозначать буквой Q.

Если через dω обозначить элементарную часть площади живого се-

чения, которое в общем случае представляет собой криволинейную по-

верхность, то величина элементарного расхода проходящего через пло-

щадку dω, выразиться так

.dud

Q (3.2)

Поскольку скорости u в разных точках живого сечения различны, то

величину Q, исходя из выражения (3.2), можно представить в виде

,ud

∫

Q (3.3)

где интеграл берется по всей площади живого сечения ω(в общем случае

криволинейного)

Средняя скорость

Скорости течения u в различных точках сечения, как правило, раз-

личны (Рис. 3.1):

123

...uuu

≠

≠≠

Следует иметь ввиду, что для упрощения расчетов параллельностру-

ного и плавно изменяющегося вводят понятие средней для данного живого

сечения скорости течения. Эту скорость (фиктивную, в действительности

не существующую) принято обозначать через U.

Величина U определяться соотношением

∫

(3.4)

Отсюда, величина расхода

Q для данного живого сечения, согласно

(3.4), выражается формулой

Q (3.5)

Необходимо отметить, что понятием средней скорости пользуются

только в случаях параллельно струйного и плавно изменяющегося движения.

3.2. Уравнение неразрывности движущейся жидкости

(уравнение баланса расхода)

Случай резко изменяющегося движения

Рассмотрим поток жидкости и наметим два его живых сечения 1-1 и

2-2 (Рис. 3.3). Рассмотрим отсек abcd , заключенный между этими сече-

ниями и ограниченный с боков поверхностью АВ, образованной линиями

тока. Будем считать, что этот отсек при-

надлежит пространству и является непод-

вижным, жидкость же протекает через не-

го.

Обозначим через

и Q

расходы

соответственно для сечений 1-1 и 2-2. За

время dt в отсек abcd через живое сечение

1-1 поступит объем жидкости, равный

dt;

за это же время через живое сечение 2-2 из

отсека abcd выйдет объем жидкости рав-

ный

dt.

При рассмотрении данного явления, необходимо учитывать следую-

щие обстоятельства:

–

проникновение жидкости через боковую поверхности АВ отсека abcd

невозможно, так как эта поверхность образована линиями тока,

вдоль которых одна за другой движутся частицы жидкости;

–

жидкость является несжимаемой

–

жидкость движется сплошным потоком, без образования в ней раз-

рывов.

Имея ввиду эти три обстоятельства, можно утверждать, что объем

жидкости

dt должен быть равен объему жидкости Q

dt:

,dt dt

QQ (3.6)

или

(3.7)

Помимо сечений 1-1 и 2-2 можно наметить целый ряд других живых

сечений: 3-3, 4-4 и т.д. Рассматривая эти сечения так же как и сечения 1-1 и

2-2, можно прийти к выводу, что

123

... ,

Const=====QQQ Q (3.8)

или

(

)

.const вдоль потока=Q (3.9)

Следовательно, если жидкость движется без образования разрывов,

то при установившемся движении расход

Q для всех живых сечений пото-

ка (при отсутствии бокового притока или оттока жидкости) одинаков.

Случай плавно изменяющегося движения

В этом случае оперируют плоскими живыми сечениями, причем ве-

личину расхода

Q выражают зависимостью (3.5). Для плавно изменяюще-

гося и параллельноструйного движения уравнение неразрывности (3.9)

можно представить в следующем виде:

(

)

,UConst вдоль потока

(3.10)

откуда

Рис. 3.3

= (3.11)

т.е. средние скорости обратно пропорциональны площадям живых

сечений.

3.3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки

идеальной жидкости при установившемся движении

Для вывода уравнения Бернулли используют теорему об изменении

кинетической энергии.

Определение 36

Теорема об изменении

кинетической энергии

изменение кинетической энергии рассматри-

ваемого тела на некотором его перемещении

равно сумме работ всех сил, приложенных к

данному телу, на том же перемещении

Возьмем элемен-

тарную струйку потока

(Рис. 3.4). Выделим сече-

ниями 1-1 и 2-2 некото-

рый отсек струйки

АВ.

Обозначим через

и z

превышение сечений 1-1

и 2-2 над плоскостью

сравнения ОО, через

δω

площади живого се-

чения струйки в сечениях

1-1 и 2-2.

Будем считать, что

за время

t отсек АВ

струйки переместиться в

положение

А’В’; при этом

сечение 1-1 струйки переместиться на расстояние

и сечение 2-2 струй-

ки – на расстояние

. Отметим, что

= u

t, где u

и u

скоро-

сти в сечения 1-1 и 2-2.

Исходя из уравнения неразрывности (уравнения баланса расходов)

можно записать, что объемы элементарных отсеков струйки

АА’ и ВВ’

равны:

объем (

АА’)=объему (ВВ’)=

причем

W =

δω

где

Q - расход жидкости для струйки.

Обозначим массу элементарного объема

W через

Рис. 3.4

ρδ δ

== (3.12)

- плотность жидкости.

Найдем изменение кинетической энергии отсека

АВ при перемеще-

нии его в положение

А’В’.

Обозначим изменение кинетической энергии (

КЭ) через

(КЭ). Мож-

но записать:

(КЭ) = (КЭ)(А’В’) - (КЭ)(АВ) = (КЭ)(А’В+ВВ’) - (КЭ)(АА’+А’В) =

(КЭ)(ВВ’) - (КЭ)(АА’),

отсюда

()

uM uM

КЭ

δδ

=−

или, учитывая (3.12),

()

2222

2121

2222

uuuu

КЭ WW W

gg gg

γγ

δδ γδ

⎛⎞

=−=−

⎜⎟

⎝⎠

(3.13)

Оценим работу сил тяжести. Эффект действия сил тяжести

проявляется в том, что отсек

АА’ переместился в положение ВВ’ (а отсек

А’В остался на месте) Пользуясь такой условной схемой, работу силы тя-

жести (

РСТ) можно записать

(

)

.PCT z z W

=− (3.14)

Работа сил гидродинамического давления, действующе-

го на торцевые сечения 1-1 и 2-2 отсека

АВ, может быть описана так:

(

)

(

)

(

)

11 1 2 2 2 1 2

,PC

psp sppW

ωδ δωδ δ

=− =− (3.15)

где

и p

- гидродинамическое давление соответственно в сечениях

1-1 и 2-2.

Работа сил давления окружающей жидкости на боковую

поверхность отсека

АВ равна нулю, т.к. силы направлены перпендикуляр-

но к перемещениям жидких частиц, движущих вдоль боковой поверхности

отсека

АВ.

Поскольку рассматриваем идеальную жидкость, то работу сил

трения не учитываем (в случае такой жидкости силы трения равны ну-

лю).

Используя теорему изменения кинетической энергии, можно запи-

сать

() ( )

12 1 2

Wzz WppW

δγδ δ

−

=− + −

Разделив обе части этого уравнения на

γδ

t, т.е. относя его к

единице веса того объема жидкости, который проходит за время

t через

живое сечение струйки, представим уравнение в следующем виде

11 2 2

upu

γγ

++ =++

(3.16)

где

z – геометрическая высота, т.е.расстояние от произвольной горизон-

тальной плоскости сравнения до рассматриваемой точки в сечении. Индек-

сы относятся к номерам сечений, проведенным нормально линиям тока;

- пьезометрическая высота, соответствующая полному или ма-

нометрическому давлению;

- скоростной напор.

Так как сечения 1-1 и 2-2 были намечены произвольно, то уравне-

ние(3.16) можно переписать в таком виде

()

z H Const вдоль струйки

++ = =

(3.17)

Здесь через H

обозначен гидродинамический напор.

Уравнение (3.16) или (3.17) называется уравнением Бернулли. Оно

было получено Даниилом Бернулли в 1738 г. Это уравнение относиться

только к элементарной струйке идеальной жидкости.

3.4. Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

Уравнение Бернулли для невязкой жидкости представляет собой за-

кон сохранения энергии потока: напор в любом первом сечении всегда ра-

вен напору в любом последующем (втором) сечении:

(3.18)

Для реальной (вязкой) жидкости напор в любом первом сечении все-

гда будет больше напора в последующих (вторых) сечениях, т.к. часть

энергии затрачивается на преодоление сил сопротивления

12 12

dd ddf

HHили HHh>−= (3.19)

где

– удельные (отнесенные к единице веса) потери напора на пре-

одоление всех сопротивлений.

Соответственно уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

должно быть записано так

11 2 2

pu pu

zz h

γγ

++ =++ + (3.20)

Использование уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости

для решения отдельных задач гидравлики возможно только после установ-

ления на основе специального анализа вида зависимости для решения

3.5. Интерпретация уравнения Бернулли для струек

идеальной и реальной жидкости

3.5.1. Геометрическая интерпретация

Рассмотрим элементарную струйку идеальной (невязкой) жидкости с

осью

А-В (Рис. 3.5). Точки А и В, лежащие соответственно в сечениях 1-1

и 2-2, расположены на высоте

и z

над плоскостью сравнения О-О.

Отложим от точки

А вверх

по вертикали отрезок

АА

, равный

пьезометрической высоте

, а

затем от точки

по тому же на-

правлению отрезок

равный

, т.е. равный скоростному на-

пору. Аналогичное построение

выполним и для сечения 2-2. Та-

кое же построение можно повто-

рить и для остальных точек оси

элементарной струйки. Вершины

полученных вертикальных отрезков

АА

, ВВ

и т.д. должны находиться на

одинаковой высоте от плоскости сравнения, т.е. должны лежать в одной

горизонтальной плоскости

О’О’, т.к. сумма трех членов

++ , со-

гласно уравнению (3.17), вдоль

всей струйки невязкой жидкости

постоянна. Эта плоскость назы-

вается напорной плоскостью, а

геометрические линии вершин

указанных вертикальных отрез-

ков – напорной или силовой ли-

нией. Отсюда очевидно, что

уравнение Бернулли для элемен-

тарной струйки невязкой жидко-

сти можно толковать так: на-

порная плоскость гори-

зонтальна. Соединив точки

, В

, и т.д., получим кривую

рр, которая носит название

пьезометрической линии.

При рассмотрении движения струйки реальной (вязкой) жидкости

Рис. 3.5

Рис. 3.6