Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

(4.37).

Построение этого уравнения, таким образом, сводится

следующему.

Пусть

у;, / =

О,

1, ...,

—

стационарная случайная последова-

тельность

ковариационной функцией Ку{т]. Подобным (4.22)

образом строятся функции

SHz)=

KYWZ-"^,

SY(Z) =

S^(Z)-^SHZ-^)-KYIO].

/и=0

После приведения

общему знаменателю функция

Sy(z)

при-

обретает

вид

Syiz)

—,

где A(z)

—

знаменатель функции

A(z)A(z

)

Sy^iz),

Q(z)

—

некоторый возвратный многочлен. Этот много-

член подвергается факторизации,

результате чего

его

удается

представить

виде

Q(z) =

B{z)B(z~^)

очевидным следствием

SY(Z)

Г"-

Функция

^(^)

= ~тгт, называемая часто ле;;е-

Aiz)A(z-b

^(^)

даточной, определяет разностное уравнение (4.32) формирующе-

го фильтра. Принцип

его

построения легко обнаруживается

из

сопоставления уравнения (4.32)

структуры многочленов

A(z)

Biz).

В иллюстративных целях рассмотрим следующий пример.

Пусть

Ку{т] =

aV^W.

Тогда

SHz)

(е'^-'Г--^^

т=о

z-e ^

что справедливо

при е ^\z \ < 1.

Далее находим

SY(Z) =

а2(1-^-2«)

iz-e-'^Kz-'-e-'^)

Zl—I^'

т.е. в

этом простейшем случае

Q(z) =

а^(1

- е

^")

и,

следовательно,

B{z)

ci4l-e^^,

A{z) ^ z- е ".

Это позволяет уравнение формирующего фильтра представить

виде

н1-^

">^,, =aVl-e ^"^х^.

Обратим внимание

на

одно очень важное обстоятельство.

Ра-

нее

уже

отмечалось,

что

выражения (4.31), (4.35) справедливы

по

истечении большого, теоретически бесконечного, промежутка

190

времени. При офаниченном времени процессы, порождаемые

уравнениями (4.28), (4.32), оказываются нестационарными. Что-

бы их сделать стационарными при любых значениях времени, не-

обходимо надлежащим образом подобрать начальные условия.

Это,

разумеется, касается и формирующих фильтров. В продол-

жение предьщущего примера покажем, как это можно осущест-

вить.

целях лаконичности перепишем уравнение формирующе-

го фильтра в виде

Уп^\-аУп-^Ьх^,

t? =

e-«,

aVl-e"2«. (4.38)

Для формирования последовательности}';,, л = О, 1, ..., обра-

зованной в соответствии с (4.38), предполагается, что с помощью

некоторого генератора создается последовательность х^,

= О, 1,

... как реализация дискретного белого шума единичной интенсив-

ности и при каждом п по правилу (4.38) вычисляется соответству-

ющее значение

д^л+1-

Но чтобы «запустить» алгоритм, необходимо

задать начальное условие

у^.

Попытаемся это сделать таким обра-

зом, чтобы процесс

Y^,

реализации которого образуются на осно-

вании (4.38), имел постоянную дисперсию а^ при всех п, С этой

целью положим, что

у^^

является реализацией случайной величи-

ны Уо) имеющей нулевое математическое ожидание m^Q] =

пока неизвестную дисперсию D^Q] =

DQ.

Найдем эту дисперсию.

Усредняя обе части рекуррентного выражения (4.38), получаем

т^п + 1] = ат^п] +

Ьт)^п\

О =>

т^п] =

при \/л,

т.е.

последовательность

является центрированной. Далее воз-

ведем обе части того же выражения в квадрат и усредним. В ре-

зультате получим:

Dy{n

+ 1] = a^D^n]

b^D^n]

=> Dy[\]

O^DQ

b^,

Dy{2]

O^DQ

+ aV + 6^ ...,

/=o a^-l

Так как a^

1, то при л

—>

«>, т.е. в установившемся режиме,

—Z—

а . Потребуем, чтобы это равенство выполнялось

а -1

при всех п\

191

И-^Ч-ьИ''-^^^-l)-^ =

-4^=^i)o--^

Таким образом, если начальное условие в (4.38) является не

произвольным, а представляет собой центрированную случайную

величину с дисперсией

= а^, то множество реализаций, полу-

ченных из белого шума

помощью формирующего фильтра (4.38),

образует последовательность с постоянной при всех

дисперсией

а^. Покажем,

что и

ковариационная функция этой последователь-

ности будет удовлетворять условиям стационарности. Для этого

п-\

«свернем» алгоритм (4.38), записав

У^

=^Vo+*5^ ^'^л-ь/'

и найдем '"^

/=0у=0

Так как

Xi —

дискретный белый шум, то

M{Xn-\-iXj^_\_j}

рав-

няется единице при n

—

k—jw

нулю в остальных

случаях.

По-

этому при п> к имеем i

—

к +j,j =

О,

1,..., к— 1и

Аналогичным образом при k> n выразим у = /:

—

л + /, / = О,

..., « -

у. 1

(=0

9 9

Последние два соотношения в совместной записи приобрета-

ют вид:

М{YnYk}

Ку{п

~к] =

c^J'^-^

а2е-«1'^-^,

192

т.е.

ковариационная функция последовательности

У},

/ = О, 1, ...,

построенной с помощью формирующего фильтра, определяется

только расстоянием между сечениями, и сама последователь-

ность действительно при всех / является стационарной с задан-

ной ковариационной функцией.

4.10.

Типовые модели стохастических

временных рядов эконометрики

традиционно в эконометрических приложениях используют оп-

ределенный класс моделей стохастических временных рядов, по-

лучивших широкое распространение в практике обработки вре-

менных рядов и включенных во многие пакеты прикладных про-

грамм. Все эти модели можно рассматривать как частные случаи

линейного разностного уравнения (4.32) при определенном вы-

боре параметров и порождающем дискретном белом шуме Х^,

= О, 1, ..., т.е. как своеобразные формирующие фильтры. Для

удобства запишем еще раз это уравнение:

аоУп^ахУп+\

+ а^п-¥2+'- +

акУп+к=^

,^ ^^,

(4.39)

Ь^Кп

+ *ix^+i +

Ь2Хпл-2

+ - +

ЬггРСп^гпу

к>т.

Конкретизацию этого уравнения удобно осуществить, перей-

дя к

операторному

представлению уравнения. Для этого введем в

рассмотрение

оператор сдвига

такой, что

qy^

= к+i,

q^y^

== Уп+2

т.д.

Тогда уравнение (4.39) примет вид (^о + ^i? +

^2S

•••

^1А}Уп "=

(bo

+ biq +

b2q^

+ ... +

Ьт^^)Хп

или же

что и будет операторной формой записи разностного уравнения.

Положим

= bi = ... =

bp_i

bp+2

= - =

О,

ap+i

= a^+2 = ... = 0

и обозначим С/=—^-^ (/= 1,

...,р),

~^. Тогда, возвратившись

к обычной форме записи уравнения и изменив нумерацию аргу-

ментов переменных переходом отп +ркп, получим уравнение

Уп

С1Уп-1

С2у„-2

+ ... +

СрУп-р

Ьх^,

* (4.40)

193

Соотношение (4.40) принято называть

авторегрессионной

р-то

порядка моделью стохастического временного ряда и обозначать

символом АР(р) или в зарубежном варианте AR(/?). Рассмотрен-

ную ранее модель (4.38) можно рассматривать как частный вари-

ант модели

АР(1).

Иногда в этой модели предусматривают еще од-

но слагаемое, моделирующее средний уровень ряда, и тогда мо-

дель записывают в форме:^;j =

^о "^

^гУп-!

"^ ^2V«-2

•••

с^^п-р

Ьх^.

Это слагаемое можно интерпретировать как ненулевое математи-

ческое ожидание порождающего шума х^.

Второй не менее распространенной в эконометрических при-

ложениях моделью является так называемая модель

скользящего

среднего.

Ее также можно получить, исходя из уравнения (4.32), ес-

ли положить ^0 =

= ... =

Gg^i

Qg+i

= ... = ajt = о,

6^4-1

= V2 ""

=... =

Л;;,

= 0. Обозначая «/ = »/ =

О,

1,..., q, и заменяя в нуме-

рации переменных л + ^ на «, получаем модель скользящего сред-

него порядка q\

Уп

= d^n +

dxXn-x

+ ... +

dqXn_,g,

(4.41)

которую в литературе часто сокращенно обозначают как CC{q)

или МА(^).

Если в уравнении (4.32) положить

йр^х

= ^^+2 = ... =

flf;t

~ 0>

6о =

Ьх

= ... =

Ьр_д_х

= О,

Ьр^х "^ Ьр+2

= •••

^т

"= О»

ввести обозна-

чения С;=—-р-(/=1,2,

...,/7),

rf =-2L±^/=0,

1,...,/7-^)И0ПЯТЬ

же изменить нумерацию аргументов переменных, заменив п

на п, получим модель, известную под названием смешанной мо-

дели

авторегрессии — скользящего

среднего порядка р, q (сокра-

щенно АРСС(/7, q) или ARMA(/?, q)) и имеющую, таким образом,

вид

Уп

СхУп-\

С'2Уп-2

+ ... +

СрУп-р

doX^

dxXn-X

+ ••• + dgX^-g. (4.42)

Модель (4.32) определяет как стационарные, так и нестацио-

нарные временные стохастические ряды. Можно показать, что

если все корни алгебраического уравнения

A(z) = ло + ^\Z +

a2Z^

+ ... +

a^z!"

О,

(4.43)

194

называемого, как и в аналогичном непрерывном случае, харак-

теристическим,

находятся в комплексной плоскости строго вну-

три окружности единичного радиуса,

т.е.

по модулю меньше еди-

ницы, то определяемый уравнением (4.39) процесс в установив-

шемся режиме оказывается стационарным. Если

же

хотя бы один

из корней этого уравнения находится за пределами единичной

окружности или принадлежит ей, последовательность

будет

нестационарной. Проиллюстрируем эту мысль на примере урав-

нения (4.38). Соответствующее ему характеристическое уравне-

ние

Z —

л =

имеет единственный корень

а.

Дисперсия

Dy{n\

определяемого этим уравнением временного ряда Y^, как бы-

ло показано выше, имеет вид

Ву[п\

а^''В^

+Z>2'l

a'^^

^a^^'Do

+(а^''

-1)-^—.

Легко обнаружить, что при а

> 1

дисперсия

D}{n]

оказывается

возрастающей функцией п, и это является признаком нестацио-

нарности ряда. При а = 1 получаем

Оу{п]

/>о

Ь^п,

что также

свидетельствует о нестационарности ряда. И только при а < 1

дисперсия стремится к установившемуся значению, а ковариаци-

онная функция, что также было

уже

показано, перестает зависеть

от «адресов» сечений, т.е. последовательность

Y„

становится ста-

ционарной. Подобное свойство проявляется и при многочленах

A(z)

произвольной структуры, если только корни многочлена ^(г)

не компенсируются аналогичными корнями многочлена

B{z).

эконометрических приложениях среди всех возможных вариан-

тов расположения корней характеристического уравнения особо

выделяют случай, когда небольшая часть корней (один, два) ока-

зывается равной единице, а остальные корни

—

внутри единич-

ной окружности. Эта ситуация приводит к нестационарному ря-

ду

Yn,

но

такому,

что

разность некоторого порядка этого ряда ока-

зывается стационарной. Покажем это.

Прежде всего воспользуемся введенным оператором сдвига

С,

и дополнительно определим оператор

первой разности

Ау^ =

= Уп+1 —Уп

(С —

^)Уп-

^^алогично второй разностью

Д^>'^

назовем

первую разность первых разностей А^л = AVw+i -

Ау^

Уп^2 —

— 2уп+х •*"

>^л

(С —

Уп-

Подобным образом можно ввести разно-

сти произвольных порядков, функцию

назовем

первообразной

функции>^я, если выполняется условие

AF^

Y^+x

Y^-yn-

Спра-

195

-1 ""'^

ведливо легко проверяемое условие ^и

= А

Уп= ^

У!-

Поэтому

/=0

операцию суммирования часто интерпретируют как обратную по

отношению к операции взятия разности (подобно соотношению

между операциями дифференцирования и интегрирования). В

алгебраизированном виде уравнение (4.32) можно записать так:

А(<;)Уп

В(с)Хп.

где A(q) = ^о + a^q + ^2?^ + ••. +

^к^!",

B{Q = йо +

bi<;

+ />2? + •••

"*"

^w?'"-

Пусть теперь характеристическое уравне-

ние (4.43) имеет

flf

равных единице корней и, следовательно, мож-

но представить A(z) = Ai(z)(z

—

1)^, причем все корни многочлена

(к

—

^-го порядка^!(г) находятся внутри окружности единичного

радиуса. Но этому представлению многочлена A(z) соответствует

запись уравнения (4.32) в виде

^4]((;)((;

—

1)^у^ =

В(с)Хп.

Теперь чис-

В(0

то формально запишем Уп- ~~ j^n и обозначим

(/^^

= 5(с;)х,„

^i(Q(C-l)

что соответствует модели скользящего среднего;

A\(c)Vn

= q^, что

1 .-d

соответствует модели авторегрессии;

Ул

= т^л=Д ^/i» что

(С-1)

соответствует оператору ^-кратного суммирования. Из последне-

го равенства следует

А^у^

v^^.

Но последовательность

в устано-

вившемся режиме является стационарной, так как корни много-

члена A\(z) расположены внутри окружности единичного радиу-

са. Следовательно, и d-я разность временного ряда

также обра-

зует стационарный процесс. Нестационарные временные ряды,

порожденные стохастическим разностным уравнением (4.32), ха-

рактеристическое уравнение которого имеет d равных единице

корней, а остальные корни по модулю меньше единицы, приня-

то называть процессами авторегрессии — проинтегрированного

скользящего среднего

(АРПСС) порядка (к, d, т) или ARIMA (к, d,

т).

Важная особенность модели, таким образом, проявляется в

том, что она задает процесс нестационарный, но со стационар-

ной разностью

d-TO

порядка. Названия всех перечисленных мо-

делей не очень благозвучны для русского восприятия и не явля-

ются безупречно содержательными, но они устоялись и подвер-

гать их ревизии нецелесообразно.

Проведенный формальный переход от уравнения (4.32) к ча-

стным моделям AR(p) (4.40), МА(^) (4.41), ARMA (4.42), ARIMA

196

упростится, если предварительно провести следующее измене-

ние в уравнении (4.32): обозначим п + к = in перепишем уравне-

ние в виде

С10У!-к

«\У1-к+1

+ «2У/-А:+2 + •

• •

^AJ^/

boXi_k

+ *I^/-yt+l + hXi-k+2 + .- +

bfrPCi^k+rn,

^ ^

ИЛИ

же, в целях унификации символики обозначив i = пи поло-

жив к = т,в виде

^кУп

+ ^к-1Уп-\ + ^к-2Уп-2 + - + ^ОУ/1-yt =

bkXn + ijt-l^Ai-l + bk-2Xn~2 + ••• + *O^Ai-)t-

Тогда легко обнаруживается, что это уравнение превращается

в уравнение AR{p) (4.40), если положить

ао

= ai = ... =

а/с-р-\

= О,

Ьг\

Ь\ = ... = Ьк-\ =

и обозначить ^\ -—:;—» ^2 -—~—» -J

с« = -, Ь--^. Если

В ЭТОМ

же уравнении принять а^

—

а\ =

^ ^к Ч

= ... = а^_1 = Q, Ь^ — Ьх = ... = bi^_q_\ = о и обозначить

й?о

=—, di =-^^, ..., rf^ =——, то получим модель МА(^) (4.41).

(^к

<^к ^к

Наконец, при а^ = ai=^... =

Лу^-/?-1

йо

*i = •••

^А:-^-! =

сохранении введенных обозначений для параметров с/, dj полу-

чим модель

ARMA(/?,

^) (4.42). Если дополнительно среди корней

уравнения

а^

cik-\Z~^

%-2^~^

+ ... +

cik-pC^

«предусмотреть»

flf корней, равных 1, получим модель ARIMA(/?, ^f, ^).

При выборе модели стохастического временного ряда возни-

кают те же проблемы, что и при построении квазидетерминиро-

ванной модели: какой вид модели обоснованно предпочесть, как

определить наилучший порядок модели, как по эксперименталь-

ным данным оценить параметры модели. Ответы на эти вопросы

частично созвучны ранее найденным применительно к задачам

регрессионного анализа и достаточно полно освещены в литера-

туре по исследованию типовых моделей стохастических рядов

(например, [2, 4]).

197

4Л L Стохастический вектор состояния.

Обобщенная матрично-векторная модель

временного ряда

Характерная особенность современных методов обработки слу-

чайных последовательностей проявляется в широком примене-

нии рекуррентных алгоритмов, подобных ранее рассмотренному

рекуррентному методу наименьших квадратов. Поэтому попыта-

емся все ранее рассмотренные модели стохастических

рядов,

на-

званные нами типовыми, представить

форме одной модели, со-

ответствующей основным принципам построения рекуррентных

алгоритмов обработки экспериментальных данных.

Обратимся к разностному уравнению (4.32) и перепишем его

в форме

^кУп+к

Ьк^п-\-к ••"

^к-\Уп+к-\

*А:-1^л+А:-1 + .•• +

а\Уп+\

- hXn^x + аоУ« - 6^^ =

ИЛИ

же, используя оператор сдвига,

^\а^Уп

hxn)

^^~\а^-\Уп

Ьк-\Хп)

+ ... +

(ахУп

Ь\Хп)

(аоУп

- Мл) = 0.

Введем новые переменные

Zi,n'='^kyn-bkKn,

^2,

л = ^1,/!+1 + «А:-

1Уп

- bk-

\Хп,

Z3,

^2,л+1 +

ЛА:-2У«

~ bk-^i^m

Zk,

п = Zk-\,n+\ +

С1\Уп

ЬхХп,

Из первого уравнения выразим

1 Ьь

yn=—zu-^'^x„ (4.44)

^к

и, подставив это значение в оставшиеся уравнения, найдем:

198

<^к

(ljc-2

Z2,n+\ = :;—Zin

+^3,/7

Of,

4-\h

+ *i

'k-\

«,

h-iW

"k \ ^^k

(4.45)

(

^\ к ^k

в результате проведенной операции единственное разностное

уравнение (4.32) ^-го порядка заменяется системой из к разност-

ных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно новых

переменных в момент « + 1. Решение исходного уравнения (4.32)

выражается через решение системы (4.45) в соответствии с (4.44).

Уравнения (4.44), (4.45) удобно переписать в матрично-век-

торной форме:

(4.46)

Zn+\

AZf^-^

ВХп,

(4.47)

где использованы естественным образом следующие из представ-

лений (4.44), (4.45) обозначения:

^к

Z2,n

Zk-ln

Zk,n

£t±

Ч-2

Ок-Ъ

-fL

.fo.

0 .

1 .

0 .

.. 0

. 0

. 1

. 0

(4.48)

199