Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Решение задачи начнем с вычисления математического ожида-

ния myit) процесса Y(t). По определению имеем myit) = M{Y(t)} =

= M{AX(t)}, Оператор усреднения М, как и оператор А, является

линейным, причем оба оператора действуют в одном и том же

функциональном пространстве случайных процессов. Поэтому,

хотя в общем случае линейные операторы не коммутативны, в

данном случае можно изменить последовательность их действия

и записать ту{0 =AM{X(t)}, что приводит к первому важному ре-

зультату:

myit)

-=Am;^t),

(4.24)

Ковариационную функцию Kyitj, tj) процесса Y(t) ищем, ис-

пользуя тот же принцип рассуждений. По определению

Ky{ti,

tj)

= М{Г°(//)Г°(/))}. Так как Г°(0 = Y{t) - mj{t) ^AX(t) -Amx{t) =

=-Ar{t), получаем ЛГ^//, tj) = М{ДТ°(//)4-ЛГ°(0}, где индексы у

операторов подчеркивают, по каким переменным (// или tj} они

действуют. Снова изменяя последовательность действия операто-

ров Л/, Ai и Ар получаем второй важный результат:

Ky{ti,tj)^AiAjK^ti,tj) (4.25)

и, как следствие, Dy{t) = Ky{t, t).

Поиск взаимных ковариационных функций не будем сопро-

вождать развернутыми комментариями:

Ку)({и.

tj)

= M{Y^{t,)X\tj)) = M{AiX\ti)X\tj)) =

AiKxiti,

tj),

(4.26)

KxYitb tj)

M{X%t,)Y^{tj)}

M{X%tdAjX^{tj))

AjKxiti,

tj).

(4.27)

Аналогичным образом решается задача поиска вероятност-

ных характеристик процесса У(/), полученного преобразованием

двух случайны^ процессов X{t) и Z{t) соответственно линейными

операторами Л^и 5 по правилу

У(0 =

AX{t)

+ BZ{t).

Прежняя методика преобразований позволяет установить, что:

my{t)^Am^t) + Bmz^t),

Kyitb

tj)

= AiAjK^ti,

tj)

+ ABjKxziti,

tj)

BiAjKzxiti,

tj)

+B^Kz(tb tj),

180

KY^U,

tj)

AiKxiU,

tj)

BiKz)({tb

tj),

Kyzktb tj)

AiKxz{ti,

tj)

BiKz^tb

tj),

Kxyitb tj)

AjKxiU,

tj)

BjKxzitb

tj),

KzM

tj)

AjKzx{tb tj)

BjKz{ti,

tj),

где символика обозначений не требует дополнительных поясне-

ний.

4.8. Преобразование случайного процесса

оператором свертки

Оператор свертки является частным сл^-чаем линейного операто-

ра, широко применяемым при исследовании самых разнообраз-

ных

динамических процессов и явлений, математическая модель

которых представлена линейным дифференциальным или разно-

стным уравнением с постоянными (для простоты) параметрами.

Природа оператора такова.

Пусть два случайных процесса

Y{t)

и ДО связаны друг с дру-

гом дифференциальным уравнением вида

aoy(t)

+ aiy^'\t) +

a,y^^\t)

+ ... + aj'\t)

= ^^ ^^^

box(t) +

bix^'\t)

...'^b^^^\t),

где

y^^^(t)

—

производная /-го порядка и n

т. Такие уравнения

принято называть

стохастическими.

Изучение современной тео-

рии стохастических уравнений требует высокой математической

культуры, и мы не будем в нее погружаться, ограничив рассмот-

рение стандартными приемами интегрирования дифференци-

альных уравнений в рамках операционного подхода (см. прило-

жение 1). Преобразовав это уравнение

по

Лапласу при отсутствии

искусственных ограничений на начальные условия, сведем его к

следующему алгебраическому соотношению:

y(s) =

lV(s)x(x),

W(s) =

^, (4.29)

A{s)

где s - комплексная переменная Лапласа, y(s)

—

изображение

функции y(t), x(s)

—

изображение функции x(t),

A(s)

^о

+ ais +

181

a2S^

+ ... + aj", B{s) =

Z>o

-+•

^i^^

+ bis^ + ... + bm^. Чтобы из (4.29)

выразить функцию y{i), необходимо это выражение подвергнуть

обратному преобразованию Лапласа, которое на основании од-

ного из свойств преобразования Лапласа можно представить в

виде

y{t)

\k{\i)x{t-yi)dvi, (4.30)

где k{t) - обратное преобразование Лапласа от функции W{s).

Выражение (4.30) и принято называть

оператором

свертки.

Таким

образом, оператор свертки является одной из форм представле-

ния решения дифференциального уравнения (4.28) при отсутст-

вии предварительных ограничений на начальные условия.

Итак, теперь предположим, что X{f) - случайный процесс с

известными числовыми характеристиками и связан с процессом

Y(t) оператором (4.30). Необходимо найти аналогичные характе-

ристики процесса Y{t) и установить статистическую связь между

обоими процессами. Поиск решения задачи проводим в соответ-

ствии с общими результатами (4.24)—(4.27):

mY(t)

\k(\i)mx{t-\xW\

Ку(ti,tj)

= Ai J

к{\х)Кх{tiJj

-\х)й\х =

= / / k(v)k(ix)Kx(ti -

tj -yOdiidv;

DY(t) =

]]k(v)k([i)Kx(t-v, /-^)d^dv;

KxY(ti, tj)=jk{ix)Kxiti, t-\x)dii;

Kyxiti, tj)

ik(v)Kx(ti-v, tj)dv.

Если процесс X(t) является стационарным, эти выражения

упрощаются:

182

mY{t) =

mx\k(\x)d\i\

KY{ti,tj)^\\k{y)k{Vi)Kx{x-'\i^v)d\idv, x

tj-ti;

Dy(t)

!fk(v)k(^)Kx(y''li)dlidv;

/:лт(//, 0)=/A:([x)i:x(T-fx)d^;

KYx(ti,tj)

lk(v)Kx(T-^v)dv.

Эти равенства показывают, что в общем случае процесс Y(t)

даже при стационарном процессе X(t) является нестационарным.

Однако существуют условия, при выполнении которых процесс

Y(t) при достаточно больших //,

становится стационарным.

Пусть процесс

X{t) —

стационарный и k(t)

—> О

при / -^

©о

таким

образом, что все интегралы в предьщущих выражениях сходятся

при t,

ti,

tj-^

оо.

Можно показать, что сходимость интегралов обес-

печивается, если все корни уравнения A(s) = О, называемого ха-

рактеристическим, имеют отрицательные вещественные части.

Тогда:

оо

ту (/)

тх /

k(\i)d\x = ту

^ const;

Kyiti, tj)^llk(v)k{ii)Kx(T-^^v)diidv

Ky(xy,

оооо

Dy(t)=jjk(v)k(\i)Kx(v~[i)d|Lidv

Dy= const;

Kxyiti, tj)^lk(ii)Kx(x-\x)dii

KxY('^);

Kyxit^, tj)

]k(v)KxiT-^v)dv

KxY(T).

183

Таким образом, при выполнении указанных условий процесс

Y{t),

будучи при малых t нестационарным, со временем «превра-

щается» в стационарный с перечисленными характеристиками. В

этом, как говорят, установившемся режиме можем дополнитель-

но определить его спектральную плотность

SY((O)=

k(v)k{\x)Kx(T -

|ы +

v)d|idv

•^•^dx.

Изменив последовательность операций интегрирования и

обозначив т

— |ы

dx = dy, получим

SY{co)=Jlk(vMii)\

J ^;i^(X-|Ll

v)e"-^''^Mx

djLidv

= Sx (CO)

k(v)e-^'^4v

^(^i)e^^^dfx.

Так как по определению

k(v)e

-^^^dv =

W^(yw),

k([i)e-^^^d[i =

= Щ—yco), окончательно находим

Syico)

= lV(j(oW(-J(o)Sx((^)

(4.31)

|^(усо)р^дг(со) =

ВОЪ)

Жусо)

Sx((^l

Таким образом, если эндогенная и экзогенная переменные

связаны друг с другом дифференциальным уравнением (4.28), эк-

зогенная переменная представляет собой стационарный случай-

ный процесс со спектральной плотностью

Sxi(i^)

и корни характе-

ристического уравнения имеют отрицательные вещественные ча-

сти,

то спектральная плотность эндогенной переменной в уста-

новившемся режиме достаточно просто выражается через спект-

ральную плотность экзогенной переменной и параметры уравне-

ния (4.28).

Аналогичные соотношения можно установить и для случай-

ных последовательностей 7^, А'^, « = О, 1, 2, ..., связанных друг с

184

другом линейным разностным уравнением

к-то

порядка с посто-

янными параметрами:

^аУ«

(2\Уп+1

«2У/1+2

+ - +

^кУп+к

= .^ 32)

ЬоХп

biXn+i

b2Xn+2

+ .- +

brrpcn+m.

к>т.

Подвергнув это уравнение при отсутствии умышленных огра-

ничений на начальные условия ^-преобразованию (см. приложе-

ние 1), получим, подобно (4.29),

y(z)

W(z)x(z), mz)

^, (4.33)

A{z)

где y{z), x(z)

—

изображения соответственно функций

у„,

х^ и Aiz)

= «о + aiz +

a2Z^

+ ... + д^^, B(z) =

6о

+ biz +

Z^2^

+ ... +

b^z!^.

Пе-

реходя от (4.33) в область оригиналов, получаем

Уг,=

Y.kiX^-i.

(4.34)

/=0

что является оператором свертки, отождествляемым с решением

разностного уравнения (4.33). Решетчатая функция ki в (4.34) яв-

ляется оригиналом изображения W{z)- Последующая работа с

оператором (4.34) проводится точно так же, как и с оператором

(4.30),

но в конечных соотношениях интегральные операции сле-

дует заменить суммированием. Так как соответствующее редак-

тирование сложностей не порождает, приведем окончательные

результаты для случая стационарной случайной последователь-

ности X/, / = О, 1, 2, ... при дополнительном ограничении: корни

характеристического уравнения A{z) =

по модулю меньше еди-

ницы, что обеспечивает сходимость соответствующих рядов и

позволяет представить:

оо

ту=тх 1 kji

/=0

оо оо

Ку1т]=

1 lk,k^Kx[T-[i

v];

у=Оц=0

DY=1

1 k^k^Kx[v-\x];

у=Оц=0

185

v=0

Эти соотношения, как

и их

непрерывные

аналоги,

напомним,

относятся к установившемуся режиму, в котором процесс 1/

можно рассматривать как стационарный.

предшествующем пе-

реходном режиме последовательность

У^

является нестационар-

ной. Подвергнув ковариационную функцию

К}{т]

двустороннему

^-преобразованию, найдем спектральную плотность процесса 1/,

относящуюся к установившемуся режиму:

5yU)= I

Z 1 kyk^KxlT-ii-^v]\z

v=:On=o '

Снова, изменив последовательность операций суммирования

и обозначив

X —

ц +

получим

ц=0 v=0

(4.35)

.-Ь

A(z)A(z-^)

Соотношение (4.35), таким образом, позволяет найти спект-

ральную плотность случайной последовательности }^, если зада-

но разностное уравнение (4.32) и известна спектральная плот-

ность Sxiz) последовательности Х^.

4.9. Формирующие фильтры

При разработке математических моделей стохастических процес-

сов важную роль играет понятие формирующего фильтра. С ма-

тематической точки зрения под формирующим фильтром пони-

мают некоторое стохастическое уравнение, решение которого,

будучи обусловленным порождающим белым шумом, представ-

186

ляет собой случайный процесс с заданными вероятностными

свойствами. Универсального отработанного способа построения

такого уравнения нет,

однако для

процессов

дробно-рациональ-

ными спектральными плотностями соответствующая методоло-

гия известна. Рассмотрим вначале случай непрерывного случай-

ного процесса.

Пусть

Y(t) —

стационарный случайный процесс со спектраль-

ной плотностью iSj^co). Ранее уже отмечалось, что эта плотность

является четной функцией частоты

со

и для большинства имею-

щих практическую значимость процессов аппроксимируется

дробно-рациональным выражением

ДсоЪ

'4+

где

С((о^)

Со

cico^

сгсо'*

+ ... +

с^со^"^,

Дсо^)

= do + dxix?

^/20'

+ ...+ 4co^^A2>w.

Характерная особенность многочленов, зависящих от четных

степеней аргумента

со,

проявляется в том, что их можно предста-

вить

виде произведения

двух

одинаковых многочленов, но один

из которых зависит

отусо,

а второй

—

от

(—усо).

Например, а^ +

со^

= (а + усо)(а + (—/со)). Это позволяет представить С(со^) =

= 5(/со)5(~усо), Дсо ) =

^(/co)v4(-yco),

где 5(/со)

и Л(/со)

- многочле-

ны поусо соответственно порядков тип. Подобную операцию

принято называть

факторизацией.

В случае ее проведения полу-

чим факторизованную спектральную плотность

^' ЖУсоМ(-усо)

виъ)

A(M

(4.36)

Сопоставим это выражение и ранее полученное выражение

(4.31).

Если в (4.31) положить

-5';^<со)

то оба выражения совпа-

дают, причем соотношение (4.31) получено на основе уравне-

ния (4.28) при предположении,

что X(t)

является случайным про-

цессом со спектральной плотностью i^j^co). Следовательно, и

(4.36) можно считать результатом, порожденным уравнением

(4.28),

но при условии, что процесс

X(t)

имеет единичную спект-

ральную плотность

5Y(CO)

Как

уже

отмечалось, таким процес-

187

COM

является белый шум с единичной интенсивностью. Но тогда

процесс Y(t) можно интерпретировать как решение уравнения

(4.28),

в котором левая и правая части построены по результатам

факторизации (4.36), при порождающем белом шуме ДО с еди-

ничной интенсивностью. Это уравнение при такой его содержа-

тельности и принято называть

формирующим

фильтром.

Процеду-

ра его построения, таким образом, сводится к следующему. Про-

водится факторизация заданной спектральной плотности ^^со),

следствием чего являются многочлены

.4(/со)

и 5(/со). Технология

этой операции отработана, содержится, например, в [7] и может

быть усовершенствована с привлечением современных вычисли-

тельных возможностей. Полезно обратить внимание на то, что

при правильно выполненной факторизации корни многочленов

A(s)

B(s)

имеют отрицательные вещественные

части.

По резуль-

татам факторизации составляется уравнение A(p)y(t) =

B(p)x(t),

где

/^ = 77

- оператор дифференцирования.

Если X(t)

белый шум с единичной интенсивностью, то это уравнение и бу-

дет представлять собой формирующий

фильтр.

Заметим, что если

природа уравнения (4.28) не связана с результатами факториза-

ции,

но X{t) —

белый шум, то это уравнение позволяет белый шум

преобразовать в процесс

Y{t),

не обязательно стационарный, со

свойствами, определяемыми операторами

А(р)

и В(р).

Подобная идея построения формирующего фильтра распро-

страняется и на случайные последовательности, но здесь форми-

рующий фильтр отождествляется не с дифференциальным, а с

разностным стохастическим уравнением и дискретным белым

шумом.

основе соответствующего подхода лежит соотношение

(4.35),

вытекающее из разностного уравнения (4.32). Итак, пусть

рассматривается случайная последовательность J^, / = 1, 2, ... с

известной спектральной плотностью Syiz), построенной в соот-

ветствии с (4.22). Функции Sy^iz) и SY^(Z~^) обычно являются

дробно-рациональными функциями аргументов zn z"^ соответ-

ственно, причем нули и полюсы функции Sy^iz) лежат внутри ок-

ружности единичного радиуса. Если правую часть в выражении

функции Syiz), соответствующем определению (4.22), привести к

общему знаменателю, то снова получим дробно-рациональное

выражение. Его знаменатель представляет собой произведение

двух одинаковых многочленов, но один из них зависит

от^,

а вто-

рой

—

от г~^ В числителе же окажется так называемый

возврат-

188

ный

многочлен вида

qoz"^

Q\Z~^^^

+ ..• +

Qk-iz"^

Qk-\Z

+ ... +

+ ^i^~^ +

QQZ!^.

Особенность таких многочленов проявляется в

том, что их можно представить в виде произведения двух одина-

ковых многочленов, из которых один зависит от z, а второй - от

z~^ Для этого достаточно вычислить корни многочлена, разло-

жить его на элементарные сомножители, сгруппировать сомно-

жители, содержащие корни, по модулю меньшие единицы, и со-

множители с большими по модулю корнями и затем преобразо-

вать к требующемуся виду. Например: Iz"^ + 5 + 2г = 2z~ (г^ +

+ 1^+1) = 2z^\z + ^ )(z + 2) = 2(z + I )(1 + 2z-^) = 2(z +

+ - )2(г"^

"*"

7 )' искомые сомножители 2(z + Ч ) ^ 2(z~^

"*"

^•

С использованием современных вычислительных средств подоб-

ную процедуру несложно реализовать для возвратных многочле-

нов произвольного порядка.

результате этой процедуры, кото-

рую также называют факторизацией, спектральную плотность

Sy(z)

удается представить в виде

A{z)A{z-'^)

где A{z) —

знаменатель функции Sy^iz),

B(z) —

результат факториза-

ции ее числителя.

Из сопоставления выражений (4.37) и (4.35) следует, что при

S)^z) =

оба выражения совпадают. Но соотношение (4.35) полу-

чено на основе разностного уравнения (4.32), в котором последо-

вательность Xi принималась случайной стационарной со спект-

ральной плотностью

S]^z).

Тогда выражение (4.37) можно также

считать следствием уравнения (4.32), но для последовательности

Jf/, имеющей единичную спектральную плотность. Такой после-

довательностью является дискретный белый шум

ковариацион-

ной функцией К^т\ = 5^^

и» *^^к следствие, со спектральной

плотностью S^z) ~ 1. Стохастическое разностное уравнение

(4.32),

в котором последовательность Jf/ принимается дискрет-

ным белым шумом с единичной интенсивностью, принято назы-

вать

дискретным формирующим фильтром

для стационарной

случайной последовательности со спектральной плотностью

189