Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Е.П.Чураков

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

ДАННЫХ

В ЭКОНОМИКЕ

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением

по образованию

области

математических методов в экономике

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности

061800 "Математические методы в экономике"

и другим экономическим специальностям

МОСКВА

"ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА"

2004

УДК 330.4(075.8)

ББК 65в6я73

Ч-93

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

кафедра экономической теории

Рязанской государственной радиотехнической академии;

Б.

А. Лагоша,

доктор экономических наук,

профессор, заведующий кафедрой

экономико-математического моделирования МЭСИ

Чураков Е. П.

Ч-93 Математические методы обработки экспериментальных

данных в экономике: Учеб. пособие.

—

М.: Финансы и статис-

тика, 2004. -240 с: ил.

ISBN

5-279-02745-6

Материал пособия базируется на результатах обработки разнообразной

информации, определяющей состояние экономических объектов. Большое

внимание уделено различным методам оценивания рефессионных парамет-

ров.

Известные алгоритмы прогнозирования стохастических рядов, основан-

ные на моделях типа

AR,

МА,

ARMA,

AR1MA,

обобщаются

форме матрично-

векторной модели в терминах стохастического вектора состояния, и на ее ос-

нове строится рекуррентный алгоритм прогнозирования калмановского вида.

Для студентов экономических специальностей вузов и аспирантов, вы-

полняющих научные исследования в области математических методов.

„ 1602090000-238 .^. _^^

УДК

330.4(075.8)

^ 010(01)-2004 •^"^-^""•* ББК65в6я73

ISBN

5-279-02745-6

Е.

П.

Чураков,

2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

Управленческое решение, как правило, опирается на анализ эм-

пирических сведений, почерпнутых и представленных тем или

иным образом и содержащих в себе информацию, необходимую

для его принятия. В простейших ситуациях анализ имеющихся в

распоряжении лица, принимающего решение, сведений может

быть

осуществлен непосредственно автором решения

соответст-

вии с его профессиональной подготовкой, опытом, интуицией,

даром предвидения и т.п. Однако сложные ситуации,

том числе

характеризуемые большим объемом данных, часто противоречи-

вых, с не всегда известной степенью взаимодействия, что харак-

терно для большинства реальных экономических явлений и про-

цессов, не позволяют достаточно глубоко проникнуть в их суть

только средствами не вооруженного современными математико-

вычислительными методами человеческого разума. Новые ин-

формационные технологии, базирующиеся на последних дости-

жениях в области вычислительных средств и мощном аппарате

прикладной математики, позволяют выработать глубоко обосно-

ванные формализованные рекомендации по принятию конкрет-

ного решения, создавая тем самым средства его поддержки.

общем виде процедура выработки рекомендаций по приня-

тию решения может быть сведена к следующей триаде:

1) разработке средствами математического моделирования

формализованной математической модели, с помощью которой

должно приниматься решение на основании содержательного су-

щества проблемы и с учетом всех существенных ограничений и

имеющихся эмпирических данных, создающих основу принима-

емого решения;

2) выбору из арсенала средств прикладной математики мето-

да обработки данных с использованием уже построенной их ма-

тематической модели и разработкой соответствующего алгорит-

мического обеспечения;

3) машинной реализации разработанных алгоритмов и пере-

дача получаемых рекомендаций заинтересованным лицам.

настоящем учебном пособии рассматриваются вопросы, ча-

стично касающиеся первого элемента этой триады и более фун-

даментально

—

второго: математических методов обработки экс-

периментальных данных. Пособие рассчитано прежде всего на

студентов специальности 061800 «Математические методы

эко-

номике». Поэтому предполагается, что подлежащие обработке

данные имеют «экономическое происхождение». Как следствие,

в пособии отражается основная проблематика задач, связанных с

обработкой экономических «измерений», и излагаются наиболее

характерные математические методы решения этих задач. Хотя

сами по себе математические методы носят универсальный ха-

рактер и применимы для обработки экспериментальных данных

практически любой природы, часто их адаптация к экономичес-

ким приложениям сопровождается определенными терминоло-

гическими построениями и специфической расстановкой акцен-

тов на приоритетах как самих методов, так и способов использу-

емых доказательств. Это обстоятельство учитывается в пособии,

что тем не менее не лишает книгу возможности быть полезной

студентам других специальностей и направлений, «сопричаст-

ных» проблемам обработки экспериментальных данных.

Традиционно включаемые

пособие материалы относят к на-

учной дисциплине, называемой

эконометрикой.

Лаконичное оп-

ределение этой дисциплины, как отмечается

курсе эконометри-

ки Я.Р. Мангуса, П.К. Катышева и А.А. Перецкого, дать трудно.

Тем не менее, следуя курсу прикладной статистики С.А. Айвазя-

на и B.C. Мхитаряна, условимся под эконометрикой понимать

самостоятельную экономико-математическую йаучную дисцип-

лину, П03В0ЛЯЮШ1УЮ на основе экономической теории и исход-

ных статистических данных и в соответствии с математико-ста-

тистическими методами придавать конкретное количественное

содержание общим (качественным) закономерностям, обуслов-

ленным экономической теорией. Традиционно математико-ста-

тистические методы эконометрики, как отмечается в указанных

курсах, включают в себя:

• классическую и обобщенную линейные модели множест-

венной регрессии;

• классический и обобщенный методы наименьших квадра-

тов;

• модели

методы статистического анализа временных рядов;

• системы одновременных эконометрических уравнений.

Если последнюю позицию этого перечня можно считать спе-

цифичным «детищем» эконометрики, то материалы, сосредото-

ченные в предшествующих трех позициях, активно развиваются

и используются во многих смежных научных направлениях,

ча-

стности

теории стохастических систем управления, в статисти-

ческой радиотехнике, при вторичной обработке траекторной ин-

формации о движущихся объектах, при обнаружении сигналов в

шумах, в задачах классификации ситуаций и др. Современный

специалист в области математических методов не может в своей

профессиональной деятельности ограничиваться только «эконо-

метрическими» наработками, но для него весьма полезна инфор-

мированность о методах и подходах к решению аналогичных за-

дач в смежных областях. Поэтому

данном пособии, не затраги-

вающем проблематики одновременных уравнений, традицион-

ные эконометрические подходы, широко и всесторонне освеща-

емые в прекрасных изданиях последнего времени, таких, как уже

упоминавшийся курс С.А. Айвазяна и B.C. Мхитаряна, «Введе-

ние в эконометрику» К. Доугерти, «Эконометрика» под редакци-

ей И.И. Елисеевой и других, пополняются некоторыми положе-

ниями, расширяющими кругозор будущего специалиста в облас-

ти математических методов и способствующими формированию

многоальтернативных подходов к решению задач. К элементам

новизны можно отнести такие методы оценивания регрессион-

ных параметров, как рекуррентный метод наименьших квадратов

(МНК), максимум апостериорной плотности вероятностей, бай-

есовский и минимаксный методы, проблему обусловленности

МНК-оценок, проблему стохастической сходимости, калманов-

ские методы прогнозирования временных рядов и

др.

Аналогич-

ные соображения определили необходимость включения в посо-

бие фрагментов функционального анализа, кратко затрагиваю-

щих понятия банаховых и гильбертовых пространств, ортого-

нальных систем непрерывных

дискретных функций, обобщен-

ных рядов Фурье

способствующих расширению класса моделей

трендов и их математической интерпретации. Ограниченное

внимание, уделяемое теории случайных процессов в таких дис-

циплинах, как «Теория вероятностей» и «Математическая стати-

стика», вынудило автора предпослать стохастическим времен-

нь1м

рядам элементы этой теории,

основном касающиеся той ее

части, которую принято называть корреляционной. В целом

представляется, что включенные

пособие материалы могут ока-

заться полезными при изучении таких «родственных» дисцип-

лин, как «Эконометрика», «Методы социально-экономического

прогнозирования», «Эконометрическое моделирование», преду-

смотренных Государственным образовательным стандартом спе-

циальности 061800 «Математические методы в экономике».

Материал книги изложен

двух частях, из которых первая по-

священа математическим методам восстановления зависимостей

по экспериментальным данным, а вторая

—

математическим ме-

тодам обработки временных рядов.

В последние годы наблюдается обширная экспансия (в хоро-

шем смысле этого слова) современных информационных техно-

логий в эконометрические методы и их проникновение во все

сферы человеческой деятельности. Эта несомненно плодотвор-

ная тенденция ярко проявляется и в экономических приложени-

ях. На вооружении экономистов-математиков оказались много-

численные пакеты прикладных программ (например, Statistica,

Mathcad, MatLab, Matematica и др.), средствами которых реша-

ются практически все эконометрические задачи. Однако крайне

важно, чтобы пользователь этих пакетов не оказался механичес-

ким приложением к ним, слепо использующим возможности со-

временных вычислительных систем без глубокого погружения и

проникновения в сущность соответствующих математических

проблем и их алгоритмического завершения. Творческий подход

к решению прикладных задач немыслим без фундаментальной

подготовки специалиста в области математико-статистических

методов, и самый совершенный вычислительный инструмента-

рий не в состоянии компенсировать пробел в образовании, если

таковой был заложен еще в вузовские времена.

Автор надеется, что настоящее пособие будет способствовать

уменьшению вероятности появления дискомфортных ситуаций в

общении исследователя и компьютера, порожденных недоста-

точной математической культурой первого. Успех будет сопро-

вождать тех, кто сможет эффективно сочетать глубокую теорети-

ческую подготовку с универсальными возможностями современ-

ных информационных технологий.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность

рецензентам книги

—

доктору экономических наук, профессору

Б.А. Лагоше и кафедре экономической теории Рязанской госу-

дарственной радиотехнической академии (заведующий кафедрой

доктор экономических наук, профессор В.И. Терехин). Все заме-

чания читателей автор примет с благодарностью.

Первая часть

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ

ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ

ДАННЫМ

Глава 1

ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Ы. Проблема восстановления зависимостей

по экспериментальным данным

Одной из важных проблем, возникающих при исследовании эко-

номических процессов, явлений, систем и т.п. (обобщенно

—

объектов исследования (ОИ)), выступает поиск и математичес-

кое описание зависимостей между различными величинами, тем

или иным образом взаимодействующими между собой и опреде-

ляющими состояние изучаемого объекта. Так, при исследовании

сельскохозяйственного процесса может представлять интерес за-

висимость урожайности некоторой культуры от количества вно-

симого удобрения; при решении социальных проблем исследова-

нию может быть подвергнута зависимость среднедушевых сбере-

жений от среднедушевых доходов семьи; при анализе технологи-

ческого процесса небезынтересной может оказаться зависимость

производительности технологической установки от некоторых

характеристик используемого сырья и

т.

п. В подобного рода си-

туациях все участвующие в формировании изучаемой проблемы

величины целесообразно разбить

на две

группы.

Входящие в пер-

вую

группу

величины непосредственно характеризуют состояние

объекта исследования, их количественные значения являются

отражением наших представлений о том, насколько хорошо или

плохо «выглядит» исследуемый объект. Эти величины изменяют-

ся под действием различного рода факторов, влияющих на них и

образующих

вторую группу

величин.

Так,

упомянутых примерах

первая группа будет соответственно включать в себя урожай-

ность, среднедушевые сбережения, производительность, вторая

—

количество удобрений, среднедушевые доходы, характеристи-

ки сырья. Механизм взаимодействия между величинами обеих

групп, вообще говоря, неизвестен. Поэтому исследуемый объект

можно представить как «черный ящик», причем величины пер-

вой группы удобно интерпретировать как своеобразные выходы

«ящика», а величины второй группы

—

как входы этого «ящика»

(рис.

1.1).

Вход

Объект

исследования

Выход

черный ящик

Рис.

1.1. Структура формирования эконометрических данных

Выходы, таким образом, определяются входами и внутренни-

ми свойствами ОИ, однако «заглянуть» внутрь «ящика» и вы-

явить механизм взаимодействия выходов и входов

большинстве

практических задач невозможно. Вместе с тем в подобных зада-

чах удается установить численное соответствие между входами и

выходами, понимаемое в следующем смысле: предполагается,

что при различных известных значениях всех или некоторых вхо-

дов можно измерить (зарегистрировать) соответствующие им

численные значения выходов. Полученные экспериментальные

данные теперь можно использовать для разработки математичес-

кой модели, связывающей входы и выходы «черного ящика» без

проникновения

существо последнего.

этом и заключается со-

держательный смысл проблемы восстановления зависимостей по

экспериментальным (эмпирическим

—

полученным из экс-

перимента) данным.

Прежде чем двигаться далее, полезно преодолеть барьер тер-

минологических особенностей, сопутствующих задаче восста-

новления зависимостей.

современном научном обиходе выход-

ные величины принято называть зависимыми переменными, от-

кликами,

эндогенными

(внутренними), результирующими, объяс-

няемыми переменными. Входные переменные принято подраз-

делять на две части. К первой из них относят те переменные, ко-

торые поддаются количественной оценке, т.е. в процессе прове-

дения исследования их можно «измерить» и указать их числен-

ные значения. Эту часть входных переменных называют незави-

симыми, факторами-аргументами, предикторами,

экзогенными

(внешними), объясняющими переменными. Вторая часть вход-

ных переменных не поддается экспериментальной регистрации,

существовании части из них

мы

можем

даже

не подозревать. В

совокупности их

нгiзывдiют латентными

(скрытыми) переменны-

ми и обычно интерпретируют как некие случайные величины с

известными или неизвестными вероятностными свойствами.

Обозначим символом ¥=

[Y^^^

Y^^^...

K^^^]^G

вектор эндо-

генных переменных, где, как обычно, R^

—

к-мерное

координат-

ное пространство. Аналогично А'=

[Х^^^

Х^^^...

Х^^^]^е

К^

- вектор

экзогенных переменных и Р=

[Р^^^

Р^^^...

Р^^^еR^-

вектор ла-

тентных переменных. Здесь и далее ^ ~ символ транспонирова-

ния. Как уже отмечалось, в результате проведения некоторого

(пассивного или активного) эксперимента можно зарегистриро-

вать ряд значений вектора А'и соответствующие значения векто-

ра К Так, можно указать количество вносимых удобрений

соот-

ветствующую урожайность за ряд

лет.

Можно путем опроса мно-

гих семей выявить их среднедушевые доходы и соответствующие

сбережения. При различных значениях характеристик сырья

можно зарегистрировать производительность технологической

установки и т.п.

Предположим, что эксперимент организуется так, что в про-

цессе его проведения экзогенные переменные принимают значе-

ния A:I,JC2,

...,jc^,

аэндогенные переменные —значения3^1,>;2,

.••,Д^«-

Запись Х=

дс/

будет

означать, что

вектор

А^при

/-м измерении при-

нял конкретное значение

дс/

[xf^^

хр\...

xf^^]^,

при этом хр^ -

численное значениеу-й компоненты

Х^^

вектора ЛГ при /-м изме-

рении (/ = 1,

2,...,

п).

Аналогична запись для вектора

У.

резуль-

тате проведения эксперимента получим две числовые матрицы: