Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Z\-

т^

—

= w^ + ^, где ^

—

подлежащая определению величи-

на, обеспечивающая условие (1.30).

Запишем равенство (1.30) в развернутом виде:

I J expHz-/w^)^/2a^}d^=l-a,

^|2nGl '«гЧ

или же, заменив переменную (z ~ yn^l^z.

1 ^ о

J exp{-5^/2}dy

l-a,

b =

^/c^.

I—

J ^

л12п~ь

Это соотношение, если учесть нормировку плотности вероят-

ностей, легко преобразуется к виду

1 ~ о I ~ь

-p=-Jexp{-5'^/2}dy

-T==-

J expf-^"^/2}d5 =

1 -^ 0

J exp{-5'^/2}dy,

л/2я

откуда следует ^ =

—G^Ua/i,

где

Wcc/2

есть a/2

—

квантиль стандарт-

ного гауссовского распределения N{0, 1). Следовательно, с веро-

ятностью

1 —

а имеем

^z + ^z^a/2 <1<т^-'

ajUa/2

Z + a^Woc/2 < m^ < г - а^^а/2.

с учетом определения w^ получим

г_ 1+^ л,

^ ' 1{п-Х) 1-^а 2(/2-1)

Найдем приближенное решение этого неравенства относи-

тельно

Гух,

заменив на границах неравенства величину

Гу^

ее оцен-

кой

ГууГ,

с<0,51п-^^<^, (1.31)

,^d^Q^5ln\^±^-^. (1.32)

^-fyx л1п-3 2(л-1)

Из левого неравенства (1.31) имеем

Гу^

(е^'

(е'

е^')

/ (/ + e'') =

с,

где

с —

гиперболический тангенс с.

Аналогично из правого неравенства

Гу^

Следовательно,

с вероятностью

1 —

lhc<ry^<thd,

(1.33)

что и будет доверительным интервалом для истинного коэффи-

циента корреляции

Гух,

Таким образом, для построения интерва-

ла (1.33) следует задаться доверительной вероятностью 1 - а,

найти по эмпирическим данным коэффициент

Гд^^с,

воспользовав-

шись определением (1.21), по соответствующим таблицам или

машинным программам выявить значение и^д, т. е. а/2-кванти-

ли стандартного гауссовского распределения N{0, 1), по форму-

лам (1.32) рассчитать величины с,

и, наконец, по таблицам для

гиперболического тангенса или машинным образом найти гра-

ницы интервала th с, th

Заметим, что величина (1.29), содержа-

щаяся в (1.32), также может быть найдена по таблицам обратного

гиперболического тангенса, так как

Z =

0,51п-—г—

= arc th

Я.^.

^ 'ух

1.5.5.

Критерий проверки гипотезы Щ при векторной

экзогенной переменной

заключение настоящего раздела остановимся еще на одном до-

статочно важном обстоятельстве. Ранее предполагалось, что эн-

догенная переменная определяется единственной экзогенной пе-

ременной

что выявляется степень связи

между

ними.

Во

многих

задачах экзогенных переменных

несколько.

Если по эксперимен-

тальным данным анализируется связь с одной из экзогенных пе-

ременных (говорят

— парная

связь), то оставшиеся экзогенные

переменные выступают в роли мешающих параметров и сущест-

венно влияют на результаты анализа. Поэтому эксперимент дол-

жен быть организован так, чтобы всем значениям исследуемой

экзогенной переменой соответствовали одни и

те

же неизменные

(постоянные) значения оставшихся экзогенных (мешающих) пе-

ременных. При этом не исключено, что результаты анализа будут

зависеть

от

того,

какие именно неизменные значения принимают

мешающие экзогенные переменные. Все это существенно услож-

няет анализ парных связей.

Есть условие, при выполнении которого отмеченные пробле-

мы практически себя не проявляют. Оно заключается в том, что

совместно эндогенная переменная Y

экзогенные переменные

Х^^\ Х^^\ ...,

Х^^^

подчинены (s + 1)-мерному гауссовскому рас-

пределению.

этом случае

частный

коэффициент корреляции

ро/

между эндогенной переменной Y

j-й экзогенной переменной

^(/)

(у

2,...,

s),

вычисленный в предположении, что остальные

зкзогенные переменные приняли некоторые фиксированные

значения, не зависит от уровней, принимаемых остальными (ме-

шающими) экзогенными переменными, и может быть рассчитан

по формуле [1]

Роу=- /^ i > (1.34)

i^o^M

где Ry

—

алгебраическое дополнение /у-го (/,у = О, 1...., 5) элемента корреля

ционной матрицы R случайных величин

У,Х^\Х

(1) V^r

...,X^'\T.Q.

R =

1 ^01

По 1

(1.35)

Здесь

Гу —

коэффициент корреляции величин при-

чем принято

Х^^^

=У.В частности, при

= 2 получим:

Р01 =

^(1-П2)(1-4)

Р02 =

^20 "^21^10

12)0-1)1)

Дальнейшая технология практического применения этих со-

отношений сводится к следующему. Пусть получены экспери-

ментальные данные в объеме

д^/,

хР\ xf^\

..., х/'^^ /=1,2,..., п. По

формулам, подобным (1.21), находятся эмпирические коэффи-

циенты корреляции

Гу

величин Х^^\

Х^\ i =

О,

1, 2, ..., s - 1,

/'+ 1,

/ +

2, ..., 5. Из этих величин

учетом их симметрии со-

ставляется матрица

аналогичным (1.35) образом и

помощью

(1.34) рассчитываются эмпирические частные коэффициенты

корреляции,

роу,

= 1,

2,...,

Для истинного значения каждого из

них строится доверительный интервал, подобный (1.33), причем

границы интервала находятся подобным (1.32) образом, но

од-

ной существенной поправкой: величина п заменяется на «

где число

S — 1

представляет собой количество мешающих пара-

метров.

В связи со случаем многих экзогенных переменных полезно

остановиться на особенностях применения линейных регресси-

онных множеств вида (1.18), при которых модель (1.8) будет вы-

глядеть так:

Г= 00 + 0iA^<^>

02^^^^

...

0Д(^> + е. (1.36)

Для выявления факта зависимости эндогенной переменной

от совокупности экзогенных переменных Х^^\

Х^^\ ...,

Х^^"^

ис-

пользуется

множественный коэффициент корреляции

Ry^, опреде-

ляемый равенством [1]

Rl^=l-\R\/Roo,

(1.37)

где

\R\

определитель матрицы (1.35),

У?оо —

как и в (1.34), алгебраи-

ческое дополнение элемента

гоо

этой матрицы.

Пусть матрица (1.35) построена

по

эмпирическим данным.

Тогда доказывается, что выборочный коэффициент Ry^, вычис-

ленный

соответствии

(1.37), но по эмпирической матрице

Л,

оказывается таков, что величина

n-S-l

RyY

Y=—;

=~7~

(1-38)

l-R

в случае справедливости гипотезы

HQ:

Л^^

подчинена распреде-

лению Фишера с

(s,

— S —

I) степенями свободы, те.

F(s,

—

s—l)-

распределению. Последующий анализ проводится по схеме, по-

добной той, которая ранее привела нас к правилу (1.28). А имен-

но:

задаются вероятностью а ошибки первого рода

или,

что

экви-

валентно, доверительной вероятностью

1 —

а справедливости ги-

потезы Но; по соответствуюш;им справочным или программным

материалам находят величину

и^юоа»

т. е. 100а%-ную точку рас-

пределения Фишера с числом степеней свободы числителя s и

знаменателя п

—

1. Если окажется у >

W\QQ^,

ТО гипотеза Но

отвергается с вероятностью ошибиться а (уровень значимости

критерия). При противоположном неравенстве предпочтение от-

дается гипотезе Но с вероятностью

1 —

а правильности этого ре-

шения. Полезное свойство модели (1.36) проявляется также в

том, что изложенный алгоритм анализа ситуации сохраняет свои

свойства и при отклонении совместной плотности вероятностей

величин

У,

Х^^\ Х^^\ ...,

Х^^^

от гауссовской [1].

Глава 2

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ

ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

2.1.

Проблема оценивания

и общие характеристики точечных оценок.

Неравенство Рао - Крамера

Пусть, как и ранее,

Y—

единственная эндогенная переменная, за-

висящая от

экзогенных переменных Х^^\ Х^'^\ ..., Х^^\ Предпо-

лагается, что сам факт зависимости установлен на основе предва-

рительного анализа экспериментальных данных в соответствии с

вышеизложенными методами или является логическим следст-

вием содержательного существа изучаемого явления. Пусть да-

лее,

обоснована модель представления эндогенной переменной в

форме (1.8). Аппроксимирующая неизвестную регрессию функ-

ция/(Л", в) определена с точностью до вектора неизвестных пара-

метров в и принадлежит множествам вида (1-18), (1.19). Для оп-

ределенности будем руководствоваться более общим случаем

(1.19);

таким образом, связь эндогенной и экзогенных перемен-

ных определяется соотношением

Г =

е,л|/дх^^>,л^<2>,...,л^<^>)+£(х^^>,х(2\...,^^^>),

(2.1)

/=0

или,более лаконично,

y=\|f'^(A)e + e(A), (2.2)

где использованы естественные обозначения в = [0о, Эь •» ^т]\

Х= [Х^'\ Х^^\ ...,

X^'^f,

v^ = [i|/o, 1|/ь .^., V|/J.

Следствием проведенного эксперимента является совокуп-

ность величин (1.1), (1.2) (для скалярной эндогенной перемен-

ной в (1.2) следует положить к = I), которая в терминах модели

(2.2) опишется соотношениями

yj = \|г'^(дс,)в +

Bj(xj),j

=1,2, ..., п, (2.3)

где символ

Ej(xj)

представляет собой ошибку ву-й точке эксперимен-

та (upHX=xj).

в матрично-векторных обозначениях п выражений (2.3) сво-

дятся к одному:

= Ye +

(2.4)

где

у -

Lvi,

У2,

...,

УпУ —

вектор значений эндогенной переменной и

>р =

V'^(X2)

^^ix„)

их(от+1)

\4''

!хР

.^\

е =

£2

.^«J

Последующая задача построения регрессионной модели (2.2)

сводится к определению вектора параметров в по результатам

эксперимента, представленного

апостериорной выборкой

у. Этот

вектор связан с параметрами в соотношением (2.4), в котором

матрица Y определена через экспериментально полученные зна-

чения экзогенных переменных и известна, а вектор е представля-

ет собой совокупность неизвестных величин, обобщенно тракту-

емых как

ошибки

эксперимента.

Если бы ошибок эксперимента не было, то для определения

величин во, 01, ..., 0;;j достаточно было бы провести т +

изме-

рений эндогенной переменной при надлежащем выборе такого

же количества значений вектора экзогенных переменных и из

т +

уравнений yj = \|Г^(дсу)в,У = 1,

2,...,

m + 1, найти интересую-

щие нас параметры (проблему разрешимости этих уравнений мы

здесь не обсуждаем). Однако каждое реальное наблюдение из

(2.3),

помимо неизвестных величин ©о, ©ь ...,

&пг^

содержит не-

известную ошибку эксперимента, поэтому сколько бы измере-

ний ни проводилось, точно определить параметры в невозмож-

но.

Но при достаточно большом числе измерений (п> m-h I) вли-

яние ошибок можно путем рациональных операций над экспери-

ментальными данными у уменьшить и найти по наблюдениям

(2.4) некоторые величины ©о, ©ь ..., ©^^ в определенном смысле

близкие к истинным, но неизвестным значениям параметров ©о,

..., ©^. Эти величины

Идiзыв2iю^

точенными

оценками параме-

тров е.

связи с поиском оценок возникают два вопроса: как форма-

лизовать понятие близости вектора оценок в = [©о, ©i,.--,

&т\^

оцениваемых параметров в (в каком смысле понимать близость)

и как найти оценки, наилучшие с позиции установленного смыс-

ла

близости.

Ответ на первый вопрос приводит к понятию

крите-

рия качества

оценивания.

Ответ на второй вопрос позволяет опре-

делить вычислительные операции, которые надо провести над

экспериментальными данными у, чтобы получить наилучшие в

смысле этого критерия оценки как функции экспериментальных

данных в/ = 0/ (уи

У2,

•••. Уп)

= ©/(у).

= 0. Ь •••, ^, т.е. получить

алгоритм оптимального

оценивания.

зависимости от объема и характера наших знаний о свойст-

вах оцениваемых параметров и ошибок эксперимента, предшест-

вующих самому эксперименту, применяют тот или иной метод

оценивания. Информацию, содержащуюся в вероятностных ха-

рактеристиках параметров

ошибок, которая может

быть

как из-

вестной, так и неизвестной до проведения эксперимента, назы-

вают

априорной.

Так, может быть известна априорная совместная

плотность вероятностей а)е(е) вектора ошибок

е.

Вектор парамет-

ров в может классифицироваться как

неизвестный

или как слу-

чайный.

первом случае

он

является неслучайным, но априори мы

о нем ничего не знаем и полагаем, что его компоненты могут при-

нимать любые значения

диапазоне от

—со

до

4-оо.

Во втором слу-

чае считается, что вектор в принимает значения в соответствии с

априорной плотностью вероятностей сое(в). В общем случае эта

плотность исследователю может

быть и

неизвестна, но объективно

существует. Неизвестный вектор в

часто

удобно интерпретировать

как случайный с бесконечно большими дисперсиями его компо-

нент

нулевым средним значением. Плотности

сое(е)

и сое(в) уста-

навливают на основании каких-либо аналитических расчетов или

специально организованных экспериментов, предшествующих

проведению основного эксперимента

исходными данными (2.4).

Независимо от способа вычисления оценки

&(у)

по результа-

там

у проведенного эксперимента с ней связывают ряд определе-

ний.

Оценку в называют

условной,

если априорная информация,

используемая при ее вычислении, ограничена условной плотнос-

тью вероятностей

L(y\&)

экспериментальных данных, найденной

в предположении, что вектор параметров в принял некоторое

фиксированное значение. Условные оценки обычно применяют

при решении задач с неслучайными параметрами.

Оценку в называют

безусловной,

если априорная информа-

ция, используемая при ее вычислении, сводится к безусловной

совместной плотности вероятностей со(у, в) экспериментальных

данных и оцениваемых параметров. Безусловные оценки ищутся

в задачах со случайными параметрами, априорные свойства кото-

рых в объеме их совместной плотности вероятностей сое(в) долж-

ны быть известны.

Заметим, что условная оценка может относиться и к случай-

ному параметру, если априорная информация о нем неизвестна

или не используется из-за существенного усложнения алгоритма

оценивания. Для таких ситуаций безусловная оценка может быть

найдена путем усреднения условной оценки по всем возможным

значениям вектора параметров в.

Условную

оценку в называют

состоятельной,

если при нео-

граниченном объеме выборки (п ->

оо)

каждый ее компонент схо-

дится по вероятности к соответствующему компоненту вектора

в,

т.е. если при V6 >

Иш

Р{|ё/ -

0/1

при « -^

оо,

/ = о, 1, ..., т.

Безусловную оценку в называют

состоятельной,

если при

неограниченном увеличении объема выборки каждый ее компо-

нент по вероятности сходится к среднему значению соответству-

ющего компонента вектора в, т.е. если при V5 >

lim

P{\Qi

M{ei}\

при л ->

оо,

/ =

О,

1,..., т.

Условную оценку в называют несмещенной, если среднее

значение этой оценки, полученное ее усреднением по возмож-

ным значениям вектора у при фиксированном векторе 9, равно

самому оцениваемому параметру:

Myiemy)}

1 e(y)L(y

e)d>;

= в. (2.5)

—со

Здесь

Му^^{.,.} —

символ условного усреднения.

6. Безусловную оценку в называют

несмещенной,

если среднее

значение этой оценки, полученное ее усреднением по возмож-

ным значениям вектора

при всех возможных значениях вектора

в,

равно среднему значению оцениваемого параметра:

с»

Му{ё{у)}= J e(y)(ayiy)dy=-M[e}. (2.6)

—оо

Здесь

Му{...} —

символ безусловного усреднения,

(Оу(у)

- безус-

ловная плотность вероятностей вектора данных у и интегралы

понимаются как многомерные [как и в

(2.5)]:

оо оо оо оо

dy= j i ...f

йу1йу2..Лу^.

—оо —оо —оо —оо

Условную оценку вэ называют эффективной, если среднее

значение квадрата отклонения каждого ее компонента от соот-

ветствующего компонента вектора в не больше среднего квадра-

та отклонения для любой другой оценки:

^>1в{(ё/э - е/)2} = min0M^|e{(e, -

0,)2},

/ =

О,

1,..., т.

Здесь усреднение проводится по всем значениям вектора у

при фиксированном векторе в, т.е. понимается в смысле (2.5).

8. Аналогичным образом определяется

эффективная

безуслов-

ная оценка, однако усреднение проводится по всем возможным

значениям векторов

и в, т.е. понимается в смысле (2.6).

9. Оценку называют

достаточной,

если для ее вычисления нет

необходимости знать каждый компонент>'i,

>^2?

•••»

З^л

апостериор-

ной выборки у, а достаточно иметь одну или несколько функций

от выборки, через которые и выражается оценка. Эти функции

называют

достаточными

статистиками.

В настоящее время теория статистических решений и матема-

тическая статистика рекомендуют много способов вычисления

оценок. Эти способы отличаются объемом используемой априор-

ной информации, критериями оценивания, сложностью вычис-

ления оценок, соответствующих различным критериям, и т.д.

Однако как бы ни был совершенен метод оценивания, принци-

пиально при конечном числе п экспериментальных данных не

удается добиться полного совпадения оценок в и оцениваемых

параметров в. Чтобы судить о степени приближения к оценивае-

мым параметрам, в рассмотрение вводят понятие ошибки оцени-

ваниях], определяемой естественным образом: г\(у, в) = в (у) - в.

Так как вектор наблюдений у случаен и вектор параметров в так-

же может быть случайным, то вектор ошибок всегда случаен и по-

этому не может быть надежной мерой качества оценивания. Для

описания точности оценивания используют неслучайные пока-

затели, построенные на основе случайной ошибки. Для условной