Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

матрицу Фишера, воспользовавшись вторым определением из

(2.10).

Прежде всего необходимо найти условную плотность экс-

периментальных данных /.сив). Если в модели наблюдений (2.4)

вектор в зафиксирован, то природа «случайности» вектора у по-

рождена аналогичным качеством вектора е, так как иных источ-

ников случайности

этой модели

нет.

Поэтому вектор

при фик-

сированном в

будет также

гауссовским

ковариационной матри-

цей

о^Е

математическим ожиданием Ч'в, что непосредственно

следует из (2.4). Таким образом,

ПуЩ =

Nyi'VQ,

о^Е)

In 1(у\в) = const -

0,5а-^|1у

- Тв|р,

где через const обозначено независимое от в слагаемое. Дважды

продифференцировав последнюю функцию по в (см. (2.14)),

найдем

Но этот результат полностью совпадает с ковариационной

матрицей ошибки оценивания (2.27). Следовательно, при гаус-

совских некоррелированных экспериментальных ошибках нера-

венство Рао

—

Крамера вырождается в равенство, соответствую-

щее точной нижней фани неравенства, а это и является призна-

ком эффективности МНК-оценки в указанных условиях.

2.3.3. МНК-оценки параметров производственной

функции Кобба - Дугласа

В качестве своеобразной иллюстрации техники построения

МНК-оценок рассмотрим одну частную, но важную для многих

эконометрических приложений задачу.

Производственными функциями

принято называть соотноше-

ния между используемыми в производстве материальными и тру-

довыми ресурсами (обобщенно

—

производственными ресурса-

ми) и выпускаемой продукцией. Пусть некоторое предприятие

(отрасль, объединение, фирма и т.п.) в течение определенного

промежутка времени производит

наименований продукции со-

ответственно в количествах

wi,

W2,

...,

Ug,

представленных в нату-

ральных единицах измерения или в денежном эквиваленте. Что-

бы производить эту продукцию, необходимы

видов ресурсов со-

ответственно в количествах vi,

V2,

..., v^, также представленных в

определенных единицах измерения. Тогда неявная функция

F(u,v,A)^0,

связывающая вектор выпускаемой продукции

= [«j

... w^]^,

вектор используемых ресурсов v = [vi V2 ... vj и вектор

а =

[ai

ai...

йр]^

параметров, представляет собой производствен-

ную функцию. Причина

для

включения вектора параметров

со-

став производственной функции та же, что и в случае регресси-

онной

модели:

точно указать характер аналитической зависимос-

ти между векторами

невозможно; однако можно предвидеть

параметрический класс функций, которому принадлежит произ-

водственная функция; в последующем эти параметры можно

оценить

по

результатам надлежащим образом поставленного экс-

перимента. Суть последнего может заключаться

следующем:

ре-

гистрирз^отся объемы выпускаемой продукции при различных

объемах используемых ресурсов, что приводит к массиву экспе-

риментальных данных, подобному (1.1), (1.2); на основе этих

данных находятся, например, МНК-оценки вектора а.

В настоящее время наиболее часто производственные функ-

ции применяют при решении однопродуктовых экономических

задач \q- 1) с несколькими материальными и трудовыми ресур-

сами (^ > 1).

этом случае и = и

—

скалярная величина, и произ-

водственную функцию, разрешив относительно

представляют

в виде

и = Ду, а)

и часто называют

функцией

выпуска.

Вид функцииУ(.) не может быть совершенно произвольным.

Она должна удовлетворять определенным условиям. Вот некото-

рые из них.

Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного

из ресурсов, т.е.

ЛО,

V2,

V3,...,

v^,

а)

=y(vb

О»

^з,

...,v^,

а)

= ... =Дуь ...,v^_bO, л) = 0.

Заметим, что если некоторый

вид

ресурса может компенсиро-

ваться другими, записанные условия относительно этого ресурса

могут и не выполняться.

При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск

продукции не уменьшается, т.е. для дифференцируемой произ-

водственной функции ЧЛ^» л) ^ 0.

Увеличение одного ресурса при неизменных значениях

других ресурсов должно приводить ко все меньшим приростам

выпускаемой продукции. Это достигается, если —r-/(v,a)<0,

/ = 1, 2, ...,

5",

что эквивалентно требованию положительной зна-

коопределенности матрицы -Vyf[y, а).

Одной из наиболее ранних производственных функций явля-

ется предложенная в 1928 г П. Дугласом и Д. Коббом функция

для определения влияния величины затрачиваемого капитала (vi)

и объема труда (v2) на объем выпускаемой продукции (и) в обра-

батывающей промышленности США. Эта функция была предло-

жена в форме

u=-avi^ v{, а>0, А>0,с>0,

+ с=1.

Здесь

терминах предьщущих обозначений а = [а

с]^

—

век-

тор параметров, оцениваемых по экспериментальным данным. В

качестве

этих

данных использовались зафиксированные

проме-

жутке с 1899 по 1922 г. объемы затрачиваемого капитала vi^\

труда

V2^^

и соответствующий им объем выпускаемой продукции

Ду=1,2,...,24.

Характерная особенность предложенной производственной

функции проявляется в нелинейной зависимости от параметров,

что существенно усложняет процедуру их последующего оцени-

вания по экспериментальным данным. Поэтому оказалось целе-

сообразным предварительное логарифмирование этой функции,

приводящее к очевидному результату:

~ In

= In а + 6(1П VI

—

In V2),

уже линейно зависящему от параметров \nawb. Тогда математи-

ческую модель экспериментальных данных можно отобразить

равенством

w^'^

- In

vs^"^

= In

й(1п

vi^"^

- In

V2^*^)

+ e^\y =1,2,..., 24,

в котором слагаемое e^^ моделирует неизбежные отклонения ре-

зультатов эксперимента от предполагаемых теоретических значе-

.(/•) ^ In V.W

НИИ. Если теперь ввести обозначения: vj = In

и^^

- In

V2^^,

©о =

= In а

Z>,

в = [©о

©,]'^,

xj = In

vi^^

^ In

V2^'^),

v'^(xy) =

xy],

= e^^ и положить

= 24, экспериментальные данные опишутся

соотношением

yj=yV^(xj)e

Бу

,У

= 1,

2,...,

л.

что полностью совпадает с регрессионной моделью (2.3). В тер-

минах этого совпадения величиныyj

и Xj,j

= 1,

2,...,

л, можно ин-

терпретировать как экспериментальную выборку соответственно

эндогенной и экзогенной переменных данной экономической

системы. МНК-оценка вектора параметров в находится с помо-

щью уже известного правила (2.24), которое с учетом введенных

обозначений и после проведения соответствующих матрично-

векторных операций может быть конкретизировано следующим

образом:

во=р-х01,

(хЪ-Зс^

где,

в свою

очередь,

использованы обозначения

\ п \ п in ~ I '^ л

-Xxj,

y=-^yj,

kxy=-llxjyj, (x)

-j,xj.

Зная оценки параметров

©о

и ©i, не представляет труда найти

оценки исходных параметров а,

Ь,

с производственной функции.

Следует заметить при этом, что исследование свойств этих оце-

нок может породить самостоятельную задачу. Обратим внимание

еще на одну особенность полученных оценок: они выражаются

не через отдельные компоненты

у\уУ2,

--',Уп

экспериментальных

данных,

через функции у,

к^у

этих

данных.

Поэтому найденные

оценки можно классифицировать как

достаточные,

а функции

У,

кху

рассматривать

как

достаточные

статистики.

2.3.4. Идемпотентные матрицы

Для последующего анализа нам потребуются матрицы, обладаю-

щие определенными специфическими свойствами. Одной из них

является идемпотентная.

Определение

2.2.

Матрица Ре

R^^^

называется

идемпотентной,

если выполняется условие

Р^

= РР = Р, т.е.квадрат идемпотент-

ной матрицы равен самой матрице.

Как следствие этого определения, очевидно, /^ = Рпри

V/:

Идемпотентные матрицы обладают рядом замечательных

свойств. Ограничим рассмотрение важным для нас случаем сим-

метрических матриц.

Утверждение 2.3. Собственные числа идемпотентной матри-

цы равны нулю или единице.

Действительно, пусть v и z

—

собственное число и соответст-

вующий ему собственный вектор матрицы Р. Тогда по определе-

нию

VZ =>

P^z

= vPz

=> Pz =

v\ т.е.

= v^, что выполняется

при

или

= 1.

Утверждение 2.4. Ранг симметрической идемпотентной мат-

рицы Р

равен

ее следу: rank P=Sp Р.

Так как Р

—

симметрическая матрица, то существует ортого-

нальная матрица

диагонализирующая матрицу

Р,

т.е.

обладаю-

щая свойствами Г J= Е, JFPT== V, где v = diag

[V/],

i= 1,2,

...,q,

- диагональная матрица из собственных чисел матрицы

Р.

Отсю-

да, учитывая, что 'Г =

Т~^,

получаем Р = IVJ^. Так как Г- невы-

рожденная матрица, то rank Р = rank

Но

ранг

диагональной ма-

трицы

равен числу ее ненулевых строк. Число же таких строк

совпадает

количеством собственных

чисел,

равных

единице,

т.е.

со следом матрицы v: rank v = Sp v. В свою очередь, Sp Р =

= Sp (IS^'f) = Sp(IT^v) =

Sp V

и, следовательно, rank P = Sp P.

Заметим, что здесь и далее используются свойства следа

матрицы: Sp

(АВ)

= Sp

(ВА);

(А)

= Sp {А\ Sp (^ + J?) =

^ +

+ Sp

В;

(АА^)

= Sp

(А^А)

А^А,

где

Ае

К"".

Обратим внимание еще на одну особенность идемпотентной

матрицы, по существу являющуюся следствием доказанного ут-

верждения: так как ранг ненулевой матрицы является целым по-

ложительным числом, сумма диагональных элементов симметри-

ческой идемпотентной матрицы представляет собой положитель-

ное целое число.

Утверждение 2.5. Пусть 8GR^— стандартный гауссовский век-

тор

{М{г}

= 0^,

М{ег^} ==

а^Е) и Р

—

идемпотентная ^-матрица.

Тогда случайная величина

\х

= е^Рв подчинена j^{r) распределе-

нию,

где г = rank Р.

Действительно, г^Ре = e'^TVT^e = (J^e)'^v(

J^e).

Так как J- ор-

тогональная матрица, то

Т^е

Л^(0^,

с^Е), т.е. также стандартный

гауссовский вектор. Но тогда случайная величина е РЕ =

= (J^e)^v(r^8) представляет собой сумму

г квадратов

стандартных

гауссовских величин и распределена, следовательно, по закону

xV).

2.3.5. Несмещенная оценка дисперсии

экспериментальных ошибок

ее свойства

Выше было получено выражение (2.27), определяющее точность

МНК-оценок, и одновременно отмечена ограниченность его

применения, обусловленная неизвестностью дисперсии а^ экс-

периментальных ошибок в большинстве реальных эконометри-

ческих

задач.

Поэтому оказывается целесообразным оценивание

параметров в рефессионной модели совместить с оцениванием

дисперсии экспериментальных ошибок, чтобы в последующем

иметь возможность аргументированно анализировать свойства

МНК-оценок регрессионных параметров.

С целью получения оценки дисперсии найдем минимальное

значение целевой функции (2.20), соответствующее МНК-оцен-

ке регрессионных параметров, т.е.

mmJ =

mmj;,lyf-'\^'^(Xi)ef=mm\\y--Wef=\\y-^^f'

(2.32)

в у=1 в

Легко устанавливается

\\у

- те

|р

~ "Vef

(у

"¥&) =

у^(у

- Тв) -e^4f^(y ~ ^в).

Так как в силу необходимого условия (2.23) оптимальности

МНК-оценки вычитаемое справа в этом выражении представля-

ет собой нуль, то получаем

Ь-Ч^в|р=/(>;-Тв).

В свою очередь, если учтем модель экспериментальных дан-

ных (2.4) и выражение МНК-оценки (2.24), получим

(у

Ч?в)

(Еп

Ч'СР^ЧГ}-^Ч^^)г,

(2.33)

где,

как

обычно,

£„

- единичная л-матрица.

Если теперь еще раз воспользоваться моделью (2.4) и учесть

то обстоятельство, что матрица ^^(Е^

—

Y(Y^Y)~^4'^) является

нулевой, то установим окончательно

min / = г^(Е^ - 4f(W^Wr^4f^)E. (2.34)

Величина (2.34) является случайной. Найдем ее среднее зна-

чение М{тт J). Пусть Е^ - ^(^т^)-1^т _

j^,,.j^

.j ^ j 2^ _^ п.

Тогда

z^{E^-4{4f^wr^W^)z= i i aytitj.

Усредняя это выражение, с учетом (2.19) получаем

M{mmJ}

a^^aii=G^Sp(E„-'¥{W^^)^^).

/=1

Используя свойства следа матрицы, находим

М{тт

= a\SpEn - Sp

W(4f^4^)-^4?^)

(2.35)

о\п - Sp

СР^Ч?(Ч?^ЧГ}-^))

= с\п - Sp

JF^

i) = с\п

-m-l).

Рассмотрим случайную величину

^9 1

о^= -min/. (2.36)

п-т~1

Из сопоставления с (2.35) следует, что среднее значение этой

величины

M{G^}

= а^. Но это означает, что величина а^ может

быть принята в качестве

несмещенной

оценки дисперсии а экспе-

риментальных ошибок. Таким образом, окончательно

= ^—; i

(У!

-y\f^(xj)ef = Ц-11

j;-Wef

n-m-\j:=l ^ п-т-1

п-т-1

(2.37)

Оценка (2.37) позволяет конкретизировать точностные свой-

ства МНК-оценки регрессионных параметров, если в подвергав-

шемся критическим комментариям выражении (2.27) дисперсию

а^ заменить ее оценкой (2.37). Так как эта оценка является слу-

чайной величиной, при обширном ее использовании в процеду-

рах эконометрических исследований недостаточно знания толь-

ко ее математического ожидания, но необходим более обширный

спектр вероятностных характеристик. Установим одну из них.

Для этого воспользуемся определением (2.36) и откорректируем

его в соответствии с (2.34):

а^ =

^—-e'^iE^

-W(W^wr^W^)e. (2.38)

Утверждение 2.6. Матрица

Е^

Y(Y^M[')~*Т^

является идемпо-

тентной с рангом rank

(Е„

- Y(Y'^T)~^T'^) = п-т-\.

Справедливость утверждения проверяется непосредственно:

{Еп

- Т(Ч'^^-^Ч^^)2 =

(Еп

- Y(Y^40"^Y^)(^« - Ч'(Т^Т)-^^^) =

= £^-Т(Т^Ч')"^Ч^^;

rank

{En

- Y(Y'^Y)-^4P'^) = Sp

{En

- Т(Т'^ЧО~^Ч''^) =

- w - 1.

Ориентируясь на перспективу применения этого утвержде-

ния, следующим образом подкорректируем выражение (2.38):

Ъ^{п-т--\)

(г^

а^ \^J

т /л

(^^-v(v^v)~^v^i-

I о

(2.39)

Так как вектор е/а представляет собой стандартный гауссов-

ский вектор, стоящая справа в (2.39) случайная величина в соот-

ветствии с утверждением 2.5 подчинена х^-распределению с

—

\ степенями свободы. Таким образом, получен следую-

щий важный результат.

^^ ^ . a^(At-Aw-l)

Утверждение 2.7. Случайная величина ^ подчине-

на х^-распределению сп

—

т— I степенями свободы, т.е. распре-

делению

х"'{п —

т— 1).

Оценки а^ и в обладают еще одним любопытным свойством.

Обе они являются функциями вектора наблюдений у. И тем не

менее справедлив следующий результат.

Утверждение

2.8.

Оценки а (у) и В(у) некоррелированы, а при

гауссовских экспериментальных ошибках е независимы.

Для доказательства МНК-оценку (2.24), используя модель

данных (2.4), представим в виде

в = в +

(4f^4r}-^4f^B.

(2.40)

Воспользовавшись (2.33), построим величину

(у

Ч?в)в^

= {Е-

4fCr^4r}-^4f^)e(B^4f(4f^Wr^

+ в^)

и найдем ее среднее значение

М{(у

- Ув)в'^} = (£-

WC¥^4ri-^4'^)M{eB^}4'(W^W)'^

Опх(т -f

i),

где

Опх{т +1) ""

нулевая

пх{т

+ 1)-матрица. Здесь учитывается, что

М{г}

и М{8е

}

= с^£. Следовательно, векторы у - YO и в не

коррелированы. Но тогда не коррелированы случайная величина

\\у

- 4fB\f

случайный вектор в,

это влечет за собой некоррели-

рованность самих оценок

Ъ^

и в, так как первая из них непосред-

ственно выражается через

\\у

- Тв

|р.

Если дополнительно вектор

е экспериментальных ошибок является гауссовским, то векторы

J? - Y ^ и в также гауссовские и из их некоррелированности

следует независимость, порождающая независимость

оценок

а^

ив.

Зная оценку д^ и учитывая то обстоятельство, что при гаус-

совском векторе

оценка в

N(B, a^(Y^Y)"'^), можно построить

доверительные интервалы для компонентов вектора в. Действи-

тельно, приближенно примем в - N{B, a^(Y^Y)"' ), заменив ис-

тинное, но неизвестное значение дисперсии ее оценкой, и зада-

димся

доверительной вероятностью

~ а. Для /-го компонента Э/

вектора в имеем

Э/

\i///

—

/-й диагональный эле-

мент матрицы (Y^Y)~^ Найдем такую величину

Л,

при которой

Р(в/

< ё/

0/ +

Л)

- а, т.е.

1 ®'+'' 1 - -,

• J ехр -^я.-йл2

2ла?в,-А [ 2а,-

J ехр---—(0,-0,)2 dei=l-a,

где

Ъ,^

ст^\|//,.

После замены переменной а, ' (в,

—

Q,) =

Zi это

ра-

венство преобразуется к виду

L- _« ^.-^.;,-\

exp-^

-тг,- [dz/

==—,

Л =

hdj

=> A =

-djUa/2,

где

Wa/2

есть а/2-квантиль стандартного гауссовского распределе-

ния. Таким образом, с вероятностью

1 —

а выполняется неравен-

ство 0/ +

a/Woc/2

^ 0/ < 0/-

&/"а/2»

из которого следует в/ +

сг/М(х/2

< 0/ < 0/ -

a/Wcx/2,

/ =

О,

2,...,

m. Это и будут доверительные ин-

тервалы для регрессионных параметров. Далее эти неравенства

будут уточнены.

2.3.6. Проблема обусловленности МНК-оценок.

Векторные

матричные нормы

Выражение (2.24) для вычисления МНК-оценки внешне подку-

пает своей простотой и математической изящностью. Однако

присутствие в нем операции обращения матрицы представляет

собой тот айсберг, встреча с которым может привести к непредви-

денным последствиям, если к этой встрече не подготовиться

предварительно. Природа опасения заключается в следующем.

Матрица (Ч'^^)" в (2.24) преобразует вектор W^y в оценку

&(у).

В практических задачах вектор у отображает результаты

определенного эксперимента, которому сопутствуют неизбеж-

ные ошибки и неточности, обусловленные несовершенством из-

мерительных технологий, методологии организации экспери-

мента и др. Все это приводит к тому, что реально вместо вектора

у*

= ^в, объективно отражающего состояние исследуемого явле-

ния, придется оперировать вектором у

у*, который после его

подстановки в (2.24) приведет к величине Q(y) = (Y^Y)"^Y^>?

в(У*)

aV^^y^^^y^. Это неравенство порождает крайне сущест-

венный вопрос: если ^^(у*

—

у) - Av, где Ду - некоторое откло-

нение, то к каким последствиям в смысле величины изменения

6в = вСк*) - %(у) МНК-оценки отклонение Ьу приведет? Есте-

ственным является желание иметь при малых в некотором смыс-

ле отклонениях Ду малые изменения 5в. Однако это пожелание

далеко не всегда достигается. Поэтому нужно выявить механизм,

определяющий характер взаимодействия величин 8в и Ду, с тем

чтобы, раскрыв этот механизм, суметь достичь желаемого резуль-

тата. Сформулируем ряд основополагающих в данной проблеме

положений.