Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

213

214

ПРИЛОЖЕНИЕ: БАЗОВЫЕ СВЕДЕНИЯ

I. Введение в статистику и теорию вероятностей

Описательная статистика дает количественное представление о

какой-нибудь совокупности (совокупность элементов, объединенных ка-

ким-то интересующим нас признаком). Наблюдение за совокупностью ве-

дется на основе выборки в каком-нибудь частном аспекте (свойство или

переменная могут представлять различные качества элементов). Эти на-

блюдения упорядочиваются в статистическом распределении рассматри-

ваемой переменной (для каждого качества признака или класса значений

переменной уточняется количественный состав, количество элементов,

принадлежащих этому классу, по возможности в относительных частотах)

и обобщаются в виде числовых характеристик:

• характеристики центральной тенденции (соответствующей «середине»

распределения); обычно используемые – это мода, медиана и средняя

величина, в частности среднее арифметическое

x:

∑

для числового ряда, имеющего n значений x

, x

, ..., x

, и

fx ⋅=

∑

для ряда классов, где

есть центр класса і, а f

– соответствующая отно-

сительная частота, при этом k есть число классов;

• характеристики рассеяния (оценивают колебания вокруг средней вели-

чины), обычно используемые – амплитуда и дисперсия σ

(σ – среднее

квадратичное, или стандартное отклонение):

)xx(

∑

−

=σ

для числового ряда, и

)x()xf()xx(f −⋅=−⋅=σ

∑∑

для ряда классов.

215

Как всякая математическая теория, теория вероятностей опирается

на систему аксиом. Некоторые из этих аксиом определены по аналогии со

свойствами статистических частот. Таким образом, понятия: случайная

величина, вероятность, вероятностное распределение являются, соответ-

ственно, аналогами понятий свойства или переменной, частоты и распре-

деления частот. Точно так же, аналогом средней величины и эмпириче-

ского рассеяния переменой будет математическое ожидание и дисперсия

случайной величины. Существует, тем не менее, принципиальная разница

между вероятностью и частотой. Частоту получают в результате экспери-

мента, тогда как вероятность получается на основе модели. Роль теории

вероятностей заключается в том, чтобы с помощью формальных построе-

ний понять, описать случайные явления, то есть такие феномены, эволю-

ция которых зависит от «случая».

Случайной вещественной переменной X называют переменную,

значения которой лежат в множестве вещественных чисел R или в его

подмножестве. Так как эти значения принадлежат бесконечному несчет-

ному множеству, рассуждают о вероятности наблюдения реализации пе-

ременной X в том или ином интервале. Вероятность Prob того, что реали-

зация X наблюдается между данными значениями a и b (a < b), определя-

ется следующим образом:

Prob (a < X ≤ b) = F(b) – F(a),

где F есть функция распределения X:

F(x) = Prob (X ≤ x).

Плотность вероятности случайной величины X есть неотрицатель-

ная функция f, удовлетворяющая условию:

∫

=−

dx)x(f)a(F)b(F .

Плотность вероятности автоматически удовлетворяет условию:

.1dx)x(f =

∫

+∞

∞−

Говорят, что вещественная случайная величина X с математиче-

ским ожиданием Е(X) = m и дисперсией Var(X) =

σ² распределена по нор-

мальному закону N(m,

σ), если ее плотность вероятности f имеет вид:

)

)mx(

exp(

)x(f

−

−⋅

π⋅σ

216

Пусть X – случайная величина, распределенная по нормальному за-

кону N(m,

σ). По X построим новую случайную величину T путем сдвига

на m и последующего деления на

σ, то есть по формуле:

T = (X – m) / σ.

Полученная величина T распределена по нормальному закону N(0,1)

с математическим ожиданием m = 0 и стандартным отклонением

σ = 1. О

таком нормальном законе говорят, что он имеет стандартную форму.

Закон нормального распределения N(0,1) сводится в таблицу поло-

жительных квантилей t

(a < 0,5) в соответствии с формулой:

Prob (T ≤ ta) = F(ta) = 1 – a.

1-a = 0,999 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,850 0,800 0,700 0,600 0,500

a = 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,150 0,200 0,300 0,400 0,500

= 3,10 2,58 2,33 1,96 1,65 1,28 1,04 0,84 0,53 0,26 0,00

Например, для значения t

0,025

, соответствующего 1 – a = 0,975, по

таблице получаем t

0,025

= 1,96.

В табличном процессоре Excel имеется ряд функций, связанных с

нормальным законом распределения. В частности, последняя строка при-

веденной выше таблицы вычисляется функцией НОРМСТОБР – обратная

функция стандартного нормального закона распределения N(0,1). Если

нормальный закон имеет общую форму N(m,

σ), то для аналогичных вы-

числений удобнее воспользоваться функцией НОРМОБР.

Замечание 1: Комбинация случайных нормально распределен-

ных величин

Сумма независимых случайных величин X

, . . . X

, распре-

деленных в соответствии с нормальным законом N(m

, σ

), есть случайная

величина, распределенная по нормальному закону N(m,

σ), где

∑∑

σ=σ=

,mm .

Аналогичное свойство можно сформулировать для линейной ком-

бинации нормально распределенных величин.

Замечание 2: Центральная предельная теорема

Пусть имеется n независимых случайных величин X

, . . . X

имеющих одинаковый закон распределения с математическим ожиданием

217

Е(X

) и дисперсией σ

). Пусть S

есть сумма этих n величин. Можно оп-

ределить новую величину Z

с помощью равенства:

)S(

)S(ES

−

= .

Центральная предельная теорема

гласит, что величина Z

сходится

с ростом n к величине Y, распределенной по стандартному нормальному

закону N(0,1). На практике, как правило, можно считать, что уже при

n > 30 величина Z

распределена по стандартному нормальному закону.

II. Экстраполяция временного ряда

Временной ряд состоит из ряда наблюдений за каким-нибудь явле-

нием во времени. Эти наблюдения проводятся, как правило, через опреде-

ленные промежутки времени (месяц, квартал . . .).

Экстраполяция временного ряда осуществляется путем сглажива-

ния по точкам ряда кривой простого математического выражения, с целью

выявить основные характеристики этого ряда и не учитывать «попутные

случайности».

Обычно выявляют несколько составляющих временного ряда типа

y(t):

− тенденционная или конъюнктурная составляющая (тренд), f(t), пред-

ставляет долгосрочное изменение и выражает общий вид ряда (тенден-

ция к повышению или к понижению);

− сезонная составляющая (вызванная сезонными колебаниями), s(t), пред-

ставлена в виде более или менее регулярных колебаний (периодом бу-

дет назван временной интервал К между двумя идентичными проявле-

ниями «сезонности»);

− случайная составляющая e(t) выражает непредвиденные или случайные

изменения (средняя величина случайностей должна быть равна нулю).

Существует два способа комбинирования этих трех составляющих:

− аддитивный способ: y(t) = f(t) + s(t) + e(t);

− мультипликативный способ: y(t)=f(t)*s(t)+e(t) или y(t)=f(t)*s(t)* [1+e(t)]

Поскольку распределение данных между трендовой и сезонной со-

ставляющей является неопределенным, вводится дополнительная гипоте-

за: принцип сохранения длительности периодов. Если период сезонности

будет равен одному году, мы получим:

− для аддитивного способа:

218

∑∑

1212

)t(f)t(y

, причем

0)t(s

∑

;

− для мультипликативного способа:

)t(s)t(f)t(y

1212

⋅=

∑

, причем на практике 12)t(s

∑

= .

Метод скользящей средней позволяет определить сезонную со-

ставляющую и получить ряд, скорректированный по сезонным колебани-

ям (десезонализированный, или обессезоненный ряд). Если применить по-

вторную скользящую среднюю 12-го порядка к месячному ряду для ис-

ключения сезонной составляющей за 12 периодов, то мы получим сле-

дующее выражение:

Z(t) = [y(t-6)+2*y(t-5)+2*y(t-4)+ ...+2*y(t+4)+2*y(t+5)+y(t+6)]/24,

где Z(t) – скользящая средняя для месяца t.

Располагая рядом скользящих средних, мы определяем цикличе-

ские (сезонные) характеристики s(j), подсчитав аддитивным способом се-

зонные разности y(t) – Z(t), или мультипликативным способом – сезонные

отношения y(t) / Z(t).

Средняя величина сезонных разностей или отношений, соответст-

вующая одному и тому же месяцу j (j от 1 до 12), дает промежуточные

средние сезонные характеристики s

′(j). Далее их следует нормировать.

Если:

a)t(s

∑

′

то мы, применяя принцип сохранения длительности периодов, получаем

нормированные характеристики сезонности по формуле:

s(j) = s

′(j) – a / 12 – для аддитивного способа;

s(j) = s

′(j)*12 / a – для мультипликативного способа.

Эти характеристики сезонности позволяют подсчитать ряд d(t),

скорректированный по сезонным колебаниям (обессезоненный ряд):

d(t) = y(t) – s(j)

при аддитивном способе;

d(t) = y(t)/ s(j)

при мультипликативном способе.

219

N.B. Говорят, что сглаживают временной ряд y(t) с помощью

скользящей средней, или применяют оператор «скользящих средних»,

если его преобразуют в другой временной ряд Z(t):

∑

−=

+⋅α=

)ht(y)t(Z ,

где весовые коэффициенты α

неотрицательны и в сумме равны 1.

Средняя величина является центрированной, если m = n. Она яв-

ляется равновзвешенной, если:

-m

= . . . = α

= 1 / (m+n+1).

На практике обычно используется центрированная и равновзве-

шенная скользящая средняя. Если число членов нечетно и равно 2m + 1,

то мы получаем:

)ht(y

)t(Z

∑

−=

Если число членов четно и равно 2m, то можно воспользоваться

общей формулой для (2m+1) членов, причем весовым коэффициентам

следует придать значения, пропорциональные 1/2 на двух концах периода,

и пропорциональные 1 в другие моменты. При этом получим:

)mt(y

)ht(y

)mt(y

)t(Z

1mh

∑

−

+−=

+++

−

Линейное выравнивание (с помощью метода наименьших квадра-

тов) позволяет рассчитать тенденционную составляющую f(t) ряда, скор-

ректированного по сезонным колебаниям на основе значений d(t) этого

ряда, t = [1,T], так чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной,

}))t(f)t(d({Min

∑

−

220

Таким образом, на десезонализированном временном ряде опреде-

ляют прямую f(t) = a * t + b так, что:

[

]

∑

−

−⋅−

]tt[

)d)t(d()tt(

⋅

−

где

)t(d

∑∑

== .

N.B. Пусть имеется пара переменных (x

, y

) при t = 1, ..., T. Рас-

смотрим две модели:

= ax

+ b + e

– истинная модель (где a и b – неизвестные величины) для

совокупности;

= a′x

+ b′ + e′

= y′

+ e′

– модель на основе выборки.

Речь идет о том, чтобы найти a

′ и b′, при оценке меры адекватности

модели реальности. Оценка с помощью метода наименьших квадратов оз-

начает, что нужно выбрать такие величины a

′ и b′, чтобы величина S(a′, b′):

∑∑∑

===

′

−⋅

′

−=

′

−=

′

′′

)bxay()yy()e()b,a(S

была минимальной. Это достигается при выполнении условий:

)b,a(S

′

∂

′

∂

′

∂

′

∂

(и при дополнительных условиях второго порядка).

Решение этой системы дает:

∑

−

−⋅−

′

)xx(

)yy()xx(

xayb

⋅

′

−

′

где x и y – средние величины x

и y

соответственно.

221

При дополнительных предположениях [переменные измерены без

ошибок; отсутствие систематического смещения: E(e

) = 0; отсутствие свя-

зи между отклонениями: COV(e

) = 0, гомоскедастичность: Var(e

) = σ

можно написать, что a

′ и b′ являются несмещенными оценками величин a

и b, и оценка

σ′

величины σ

есть:

−

′

=σ

′

∑

Полная модель, в линейном случае, будет выглядеть следующим

образом, для коэффициента сезонности s(j):

− для аддитивного метода: y(t) = at + b + s(j) + e(t);

− для мультипликативного метода: y(t) = (at + b)⋅s(j) + e(t).

Чтобы обосновать соответствие модели рассматриваемому ряду,

нужно убедиться, что ошибки e(t), связанные со случайностью, имеют ну-

левую среднюю величину и слабую амплитуду. Для ее оценки можно ис-

пользовать отношение стандартного отклонения ошибок к значению

средней величины ряда: k =

e(t)

/ m

y(t)

Анализ ошибок прогнозирования (сравнение статистических зна-

чений с ожидаемыми путем разложения временного ряда с использовани-

ем «теоретических» тенденции и сезонности) позволяет обосновать вы-

бранную модель прогнозирования. Если последняя соответствует времен-

ному ряду, то среднее значение ошибки прогнозирования должно рав-

няться нулю, а амплитуда колебания должна быть невелика. Выбор моде-

ли прогнозирования (тенденция и сезонность) осуществляется с точки

зрения амплитуды ошибок прогнозирования, измеряемой стандартным

отклонением.

С целью упрощения связывают по умолчанию наблюдаемую оста-

точную переменную со средней величиной наблюдаемых значений (в

форме k =

σ /x = константа) так, чтобы упростить расчет прогнозируемо-

го стандартного отклонения, связывая его только с расчетом прогнози-

руемой средней.

N.B. Гипотеза, в соответствии с которой ошибки e

распределены по

нормальному закону N(0,

σ), позволяет получить оценку с помощью дове-

рительного интервала. Этот результат без труда обобщается (учитывая

сложность определения числа степеней свободы, используют нормальное

распределение вместо распределения Стьюдента). Единственная практи-

ческая проблема – это оценка

222

Могут быть использованы два метода. Оба исходят из разности ме-

жду наблюдаемой величиной и прогнозом на эту дату определенных со-

ставляющих (тенденционнной и сезонной). Это прямой подсчет остаточ-

ного отклонения или использование средней величины абсолютных от-

клонений. Для нормального закона распределения мы имеем:

| x –x |) = σ⋅(2/π)

0.5

Прогноз, производимый в момент t для момента (t+h), то есть ве-

личина y

′(t, t+h), строится, если номер месяца (t+h) есть j, следующим об-

разом:

′(t, t+h) = a⋅(t+h) + b + s(j) – при аддитивном способе;

′(t, t+h) = [a⋅(t+h) + b]⋅s(j) – при мультипликативном способе.

Стандартное отклонение ошибок

e(t)

может использоваться для оп-

ределения стандартного отклонения прогноза,

σ′(t, t+h), в форме, напри-

мер:

σ′(t, t+h) / y′(t, t+h) = k.

Статистически, реальное значение, которое получено для будущего

периода t+h, рассматривается как

частное проявление случайной нор-

мальной величины. Среднее значение m этой величины равно предпола-

гаемому значению для t+h в модели прогнозирования (тенденция, рассчи-

танная в периоде t+h, скорректированная на сезонность, наблюдаемую в

этом периоде). Стандартное отклонение s ошибок прогнозирования полу-

чено упрощением s/m=const, что позволяет объединить расчет предпола-

гаемых стандартных отклонений и прогнозируемой средней.

N.B. Метод Байеса-Балло также опирается на вышеперечисленные

принципы. В соответствии с этим методом сначала устраняется сезонная

составляющая в форме линейной регрессии, затем находятся сезонные ко-

эффициенты. Расчет этих коэффициентов производится вычислением

средних разностей временного ряда и расчетных значений тенденции.

Пусть n – количество полных лет, в течение которых производятся

месячные наблюдения. Предположим, что они подчиняются модели адди-

тивного типа с линейной тенденцией, y(t)=at+b+s(j)+e(t), с жесткой сезон-

ностью: s(j) = s(j + 12

⋅k), где k = 1, ..., n.

Тогда, вводя обозначение b + s(j) = b

, получаем y(t) = at + b

+ e(t) и,

следовательно,

b12bb)j(sb

∑∑∑

===

===+ ,