Чернов В.П. Операционный и производственный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

163

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Рис. 5.2. Граничные прямые по ресурсам Мука и Масло

Из двух возможных полуплоскостей опять следует выбрать ту, ко-

торая содержит начало координат.

Аналогично строятся границы по остальным ресурсам (рис. 5.3).

Границе по

Яйцу соответствует прямая C

, границе по Сахару прямая

, границе по Труду прямая E

, по Оборудованию 1 прямая F

, по

Оборудованию 2 прямая G

. Каждый раз следует выбрать ту полуплос-

кость, которая содержит начало координат.

Условия ограниченности недельного спроса (x

, x

ограничены ве-

личиной 3000) определяют горизонтальную и вертикальную границы чер-

тежа. Неотрицательность переменных x

и x

соответствует первой коор-

динатной четверти. Таким образом, четыре стороны квадрата соответст-

вуют ограничениям модели.

164

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Рис. 5.3. Граничные прямые по всем ресурсам

Пересечение всех полученных полуплоскостей определяет шести-

угольник, примыкающий к началу координат. Это и есть область допус-

тимых планов.

Любая точка данного шестиугольника удовлетворяет всем ограниче-

ниям задачи и соответствует допустимому плану. Если при этом точка ле-

жит на стороне шестиугольника, то ее координаты, подставленные в левую

часть ограничения-неравенства, обращают ограничение в равенство. Такое

ограничение называется

связанным. Данная ситуация означает, что реали-

зация плана требует полного использования соответствующего ресурса.

Точка, лежащая в вершине шестиугольника, обращает в равенство

сразу два ограничения и соответствует полному использованию сразу

двух ресурсов. Точек, лежащих на пересечении сразу трех или большего

числа ограничений, в нашей задаче не существует.

Точка, лежащая вне шестиугольника, не удовлетворяет хотя бы од-

ному ограничению. Графики позволяют не просто констатировать недо-

пустимость такой внешней точки, но и определить, каким именно ограни-

чениям она не удовлетворяет, каких именно ресурсов не хватает для реа-

лизации плана. Вся внешняя область разбивается на многоугольники, точ-

ки которых не удовлетворяют тем или иным ограничениям.

Точки, удовлетворяющие всем ограничениям – это точки нашего

шестиугольника. Его границы соответствуют сырьевым ресурсам.

Линии

Труда и Оборудования 1 и 2 (прямые E

, F

, G

) оказы-

ваются в стороне. Это означает, что при реализации любого допустимого

плана данной задачи трудовые ресурсы и производственные мощности не

165

будут, по существу, ограничивать наши возможности, так как они в более

жесткой форме ограничены запасами сырья. Следовательно, если у нас поя-

вится возможность изменить доступные объемы ресурсов, то ее следует на-

править в первую очередь на изменение запасов сырья.

Построение области допустимых планов использует лишь систему

ограничений. Для определения оптимального плана необходимо привлечь

целевую функцию. Однако кое-что про оптимальный план можно сказать

уже сейчас.

Во-первых, область допустимых планов непуста и ограничена. Сле-

довательно, оптимальный план существует.

Во-вторых, оптимальный планом наверняка окажется одна из вер-

шин шестиугольника. Если оптимальный план у нашей задачи единствен,

то этим планом будет одна вершина. Если же он не единствен, то этим оп-

тимальным планом окажутся две соседние вершины, а вместе с ними и все

точки стороны шестиугольника.

Построение градиента и определение оптимального плана

Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор (32; 27).

Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с на-

чалом в точке (0; 0) и концом в точке (32; 27).

Такая стрелка является короткой и поэтому плохо различимой на

чертеже. Однако длина этой стрелки не играет никакой роли при решении

задачи. Важно лишь ее направление. Если обе координаты точки (32; 27)

умножить или разделить на одно и то же положительное число, то изме-

нится лишь длина стрелки, но не ее направление. Поэтому на результате

решения задачи это не скажется.

Удлиним стрелку до границы нашего рисунка (рис. 5.4).

Все линии уровня целевой функции параллельны друг другу и пер-

пендикулярны градиенту. На рис. 5.4 пунктиром изображены линии, соот-

ветствующие различным значениям целевой функции, начиная от 10000 и

с шагом 16000. Разумеется, такие линии могут быть построены для любых

значений целевой функции, они параллельны и все вместе покрывают ко-

ординатную плоскость.

Градиент показывает направление роста целевой функции. Мы ре-

шаем задачу на максимум. Чем больше значение целевой функции, тем

лучше. Однако при слишком больших значениях пунктирная линия уров-

ня окажется за пределами области допустимых планов.

166

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Градиент

58000

90000

74000

42000

26000

10000

106000

122000

138000

154000

170000

Рис. 5.4. Градиент и линии уровня целевой функции

Необходимо найти крайнее положение линии уровня – такое, когда

она имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых планов –

шестиугольником OC

KLMB

(рис. 5.5), но при любом сдвиге в направле-

нии градиента выходит за пределы данной области.

В своем крайнем положении линия уровня проходит через точку L.

Таким образом, точка L является оптимальным планом задачи. Это един-

ственная точка, принадлежащая одновременно области допустимых пла-

нов и линии уровня в ее крайнем положении. Следовательно, наша задача

обладает единственным оптимальным планом.

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Градиент

Опт. план

Рис. 5.5. Построение оптимального плана

167

Найдем координаты оптимального плана. Приближенно их можно

определить по чертежу. Для точного расчета необходимо решить соответ-

ствующую систему уравнений. Точка L лежит на границе первого и чет-

вертого ограничений. Составляем систему уравнений:

0,5 x 0,3 x 825

0,2 x 0,3 x 450







Решив эту систему, получаем компоненты оптимального плана: x

1250 и x

= 667. Таким образом, оптимальный план X*

max

равен:

***

max 1 2

X (x , x ) (1250; 667)== .

Он предписывает выпустить 1250 кг Печенья и 667 (точнее,

666,667) кг

Бисквитов.

Для определения оптимума следует подставить компоненты опти-

мального плана в целевую функцию задачи. Оптимум Z*

max

определяется

равенством:

max

Z 32 1250 27 666,667 58000=× +× = .

Таким образом, реализация выпущенной продукции даст выручку

в размере 58000 руб. Задача решена. Теперь следует обратиться к эко-

номическому содержанию задачи и проанализировать полученный ре-

зультат.

Рассмотрим, для полноты картины, задачу, когда при той же систе-

ме ограничений и той же целевой функции требуется найти не макси-

мальное, а минимальное ее значение. В этой ситуации все рассуждения,

связанные с построением области допустимых планов и градиента полно-

стью сохраняются. Однако для нахождения оптимального плана следует

теперь смещать линию уровня до крайнего положения в направлении,

противоположном градиенту. Оптимальным планам для задачи на мини-

мум окажется точка О – начало координат. Оптимум будет равен 0.

В следующих заданиях изучаются различные модификации усло-

вий конкретной ситуации с производством

Печенья и Бисквитов.

168

Задание 5.1

Предположим, что спрос на печенье ограничен и составляет 1000 кг

за плановый период.

Введите это условие в математическую модель задачи.

Изобразите это условие на чертеже.

Определите новый оптимальный план и оптимум.

Задание 5.2

Предположим, что по заключенным ранее договорам фирма обяза-

лась произвести и продать 1000 кг бисквитов.

Введите это условие в математическую модель задачи.

Изобразите это условие на чертеже.

Определите новый оптимальный план и оптимум.

ЗАДАЧИ ПОСТОПТИМИЗАЦИОННОГО АНАЛИЗА

После математического решения задачи линейного программирова-

ния, расчета ее оптимального плана и оптимума, необходимо проанализиро-

вать полученные результаты. Такой анализ называют постоптимизацион-

ным.

Общая задача такого анализа – определить

устойчивость полу-

ченного решения к тому или иному изменению ситуации, к изменению

условий задачи, а также оценить

чувствительность решения к измене-

нию конкретных численных значений тех или иных параметров ситуации.

Обычно результаты анализа охватывают несколько разделов. Важ-

ность тех или иных разделов зависит от конкретной экономической си-

туации, описываемой в задаче.

Теневая цена ресурса

Во-первых, необходимо выявить, на границах каких ограничений

находится оптимальная точка. Эти ограничения выполняются как равенства

(

связанные, или активные ограничения), остальные – как строгие неравен-

ства (

несвязанные, неактивные ограничения). Это важная информация.

Для задачи производственного планирования ограничения соответ-

ствуют ресурсам. Равенство левой и правой частей ограничения, его ак-

169

тивность означает полное использование данного ресурса. Строгое нера-

венство – неполное использование ресурса.

В нашем примере связанными являются ограничения по

Муке и Са-

хару

. Оптимальный план лежит на пересечении границ по этим ресурсам.

Эти два ресурса используются полностью. Остальные избыточны.

Знание того, какие ресурсы как используются, определяет узкие

места в обеспечении производственного процесса и возможность маневра.

Можно, например, продать излишки ресурсов для получения дополни-

тельного дохода. Можно, наоборот, докупить дополнительные объемы тех

ресурсов, которые используются полностью. Эти новые объемы вместе с

оставшимися излишками других ресурсов позволят выпустить дополни-

тельную продукцию и получить дополнительный доход. Для того, чтобы

оценить выгодность такого решения, следует оценить величину такого

дополнительного дохода, то есть величину предельной эффективности ре-

сурсов. Величина предельной эффективности называется также

теневой

ценой (или двойственной оценкой) ресурса.

Предположим, что доступный объем

Муки незначительно увели-

чился с 825 кг до 825 +

∆ (например, на 1 кг, так что ∆ = 1). Это соответст-

вует небольшому сдвигу прямой A

на рис. 5.5 вправо. Область допус-

тимых планов расширилась, производственные условия стали свободнее,

и это может привести разве лишь к увеличению выручки. Оптимальный

план, оставаясь на пересечении тех же границ по

Муке и Сахару (линий

и D

), сместится по прямой D

направо-вниз. Это соответствует

увеличению производства

Печенья (смещение направо) при одновремен-

ном уменьшении производства

Бисквитов (смещение вниз). В результате

несложных расчетов получим новый план, предписывающий производить

больше

Печенья на 3,333×∆ кг и меньше Бисквитов на 2,222×∆ кг. До-

полнительная выручка при этом равна 46,67

×∆ руб.

Таким образом, если запас

Муки изменится на величину ∆, то вы-

ручка изменится на величину 46,67

×∆ руб. Дополнительная единица ре-

сурса позволяет увеличить выручку на 46,67 руб. Эта величина 46,67 руб.

и есть теневая цена

Муки.

Аналогичный расчет показывает, что теневая цена

Сахара состав-

ляет 43,33 руб. Теневые цены всех остальных ресурсов равны 0. Действи-

тельно, остальные ресурсы в нашей ситуации избыточны, так что их при-

ращение не вызовет изменение оптимального плана и оптимума.

Отметим, что теневая цена является внутренней характеристикой

ресурса в сложившейся производственной ситуации и не отражает цен-

ность данного ресурса во внешней среде, его рыночную цену. Теневая це-

170

на определяет оценку чувствительности оптимума к изменению правых

частей ограничений.

Сопоставление теневой и рыночной цены может служить основани-

ем для принятия решения о закупке дополнительных объемов данного ре-

сурса (если теневая цена больше рыночной) или о продаже части ресурса

(если теневая цена меньше рыночной). В решениях такого рода важным

является вопрос о границах действия теневой цены, а тем самым и о ра-

зумных объемах купли-продажи ресурса.

Критические границы и допустимые изменения ресурса

Если в нашем примере постепенно увеличивать запас Муки, то оп-

тимальный план будет смещаться, оставаясь на пересечении границ по

Муке и Сахару (по линии D

на рис. 5.5). Так будет продолжаться до тех

пор, пока он не дойдет до точки N – точки пересечения границ по

Сахару

Маслу (линий D

и B

). В точке N пересекутся три границы: по Му-

ке

, Маслу и Сахару.

Этот момент является критическим. Дальнейшее увеличение запаса

Муки приведет к избыточности данного ресурса. Он станет несвязанным, его

теневая цена будет равна 0. Связанным станет

Масло. Таким образом, в набо-

ре связанных ресурсов, после прохождения критического положения грани-

цы, один ресурс будет заменен другим, два этих ресурса изменят свой статус.

На рис. 5.5 укрупненно представлен фрагмент рис. 5.5 (изменены

шкалы значений по горизонтальной и вертикальной оси, но сохранены

обозначения A

, B

…, соответствующие ресурсам). Смещенная ли-

ния A

по ресурсу Мука, в своем верхнем критическом положении изо-

бражена штрих-пунктирной линией, проходящей через точку N.

Расчет критической границы по

Муке можно провести следующим

образом. Сначала определим координаты точки пересечения границ по

Сахару и Маслу. Для этого следует решить соответствующую систему

уравнений:

0,3x 0,06x 480

0,2x 0,3x 450







В результате получим:

= 1500, x

= 500.

Подставим эти значения в левую часть неравенства, определяюще-

го ограничение по

Муке:

171

0,5×1500 + 0,3×500 = 900.

Полученная величина 900 и является

верхней критической грани-

цей по ресурсу Мука. Таким образом, исходный объем Муки, равный 825

кг, можно увеличить на 75 кг без изменения статуса ограничений и без

изменения теневой цены ресурса. Величина 75 кг в этом примере является

допустимым увеличением Муки.

200

700

1200

700 1200 1700

Градиент

Опт. план

Рис. 5.6. Критические границы ресурса

Нижняя критическая граница и, соответственно, допустимое

уменьшение вычисляются аналогично. В нашем примере при уменьшении

объема

Муки оптимальный план будет смещаться по налево-вверх по гра-

нице

Сахара (линия D

на рис. 5.6). Критическим будет такая величина

объема ресурса

Мука, при которой линия Муки пройдет через точку пере-

сечения K границ по

Сахару и Яйцу (линии C

и D

). Это нижнее кри-

тическое положение границы изображено на рис. 5.6 штрих-пунктирной

линией, проходящей через точку K.

При дальнейшем уменьшении доступного объема

Муки произойдет

изменение статуса некоторых ограничений. Именно, связанными ресурса-

ми станут

Мука и Яйцо, а Сахар станет несвязанным, и его теневая цена

будет равна 0.

Для вычисления координат точки K решим соответствующую сис-

тему уравнений:

0,18x 0,6x 720

0,2x 0,3x 450







В результате получим:

172

= 818,182, x

= 954,545.

Подставим эти значения в левую часть неравенства, определяюще-

го ограничение по

Муке:

0,5

×818,182 + 0,3×954,545 = 695,455.

Величина 695,455 есть

нижняя критическая граница ресурса Му-

ка.

Допустимое уменьшение данного ресурса определяется разностью:

825 – 695,455 = 129,545.

Таким образом, при изменении доступного объема

Муки теневые

цены и статус ресурсов сохраняются, если объем

Муки остается между

вычисленными критическими границами. При переходе через одну из

границ происходит изменение статуса и теневых цен ресурсов.

Аналогично могут быть определены критические границы по ос-

тальным ограничениям. Для избыточных ресурсов (их теневая цена рав-

на 0) верхней границы не существует, такой ресурс при любом увеличе-

нии объема остается избыточным.

Напомним, что координатные оси являются граничными прямыми

ограничений x

≥ 0, x

≥ 0. Таким образом, в некоторых ситуациях прохо-

ждение через критическую границу может привести к тому, что производ-

ство одного из продуктов прекратится (оптимальное значение одной из

переменных x

, x

станет равным 0), или возобновится (оптимальное зна-

чение одной из переменных x

, x

станет больше 0).

Критические границы ресурсов соответствуют границам устойчи-

вости статуса ограничений при изменении их правых частей.

Ценовой анализ

Изменение оптимального плана может быть связано с изменением

цен на продукцию (коэффициентов при переменных в целевой функции).

В рассматриваемой модели цены считаются неизменными. При неболь-

ших изменениях цен оптимальный план обычно сохраняет свою опти-

мальность. При существенных изменениях цен оптимальным становится

другой план. Важно разобраться в этом, рассчитать критические ценовые

границы. Такое изучение воздействия ценовых изменений на оптималь-

ный план и оптимум относят к ценовому постоптимизационному анализу.