Цейтлин М.Б., Кац А.М. Лампа с бегущей волной

Подождите немного. Документ загружается.

и системе ВЧ электромагнитное поле как ё направлении

I моего движения, так и в обратном направлении. Это

Никазано в первой главе {см. формулу (.1.16)]. Интеграл

и пра-вой части (11.18) определяет величину обратного

мучения на входе участка 'взаимодействия.

Формулы (11.18), (11.19), (11.21) и (11.22) (позволяют

Мййти амплитуды парциальных волн Eh. Прежде чем

решать эту систему уравнений, преобразуем ее к более

удобному виду. Для этого шодставим © соотношения

(11.18) и (11.19) выражение для тока, (11.20). Подстав-

ляя затем в (11.18) — (11.21) вместо Г& и Го их 'выра-

жения

Iл =/Ре-РА

Го

= /?в + ЩвСг,

юлучаем следующую систему уравнении:

1 __

(2+Cr+jCb

) 2kN

1 _ С (1 +ЬС)

+/rC (1+ЬСУ

(*jl+i)@+Cr+jC9

)

1 __

(2+Cr+]Cb

) 2кМ

(Ь\ + q) (2+rC+jCd

)

Ek—E„

Ek——j

Eo,

k=\

Шя

= 0.

(IJ.23)

/ 505

Здесь N

=-j- yjj-

Из этой системы уравнений сле-

дует, что в общем случае амплитуды парциальных волн

зависят не только от входного сигнала, но и от длины

участка взаимодействия. Это обусловлено влиянием

обратного излучения электронного пучка на взаимодей-

ствие с волной системы. Решим эту систему уравнений

сначала в приближении малых С. В этом случае пол-

ное поле определяется суммой трех парциальных волн,

постоянные распространения которых вычисляются из

характеристического уравнения третьей степени. Пола-

гая в (11.20) С=0, получаем:

S Еъ — Е

k=\

£1

k=i

l+4

Sl+4

=0.

У 8

= -jrE

Ami

k=\

(11.24)

Из этой системы следует, что при малых С ампли-

туды .парциальных волн зависят только от 'входного сиг-

нала.

Легко показать, что последнее уравнение системы

(11.24) является следствием первых трех. Решая систе-

му трех уравнений относительно неизвестных E

на-

ходим:

(8,

) («,

2 +

0»

(»* - S

) (S

- «,)

О»

Ч +

(11.25)

Подставив E

из (11.25)

последнее уравнение (11.24)

и воспользовавшись соотношениями между корнями и

коэффициентами кубического уравнения (II.9), полу-

чаем тождество.

Зная амплитуды парциальных волн, можно опреде-

лить напряженность поля в любой точке лампы:

E(z) = E [

ы?) \ (8,-8,) (8, -с*,)

"Г

+ 17

1 +

2 vCN

(

2~б

)

(<5

—ao

2 «С1УЛ —J^^e

}

(11.26)

де — корни характеристического уравнения (II.9).

Коэффициент усиления по мощности определяется

формулой

' А

Е(г)

|ш

(«»-«.)

(»! — ».)

b\ + q

(«.— е.) («, - 3,):

ящ .

е 4

*з +

2 «CN

(в.-»|)(«.—е.)

(11.27)

Так как вещественная часть щ 'положительна, то на

достаточно 'большом расстоянии от входа в участок

нзаимодействия двумя последними слагаемыми в правой

части (11.27) можно пренебречь и получить асимптоти-

ческое выражение для коэффициента усиления ЛБВ

КМШ

+ q

(11.28)

где

Обычно коэффициент усиления выражают в децибелах:

G=lOlgK

=BCN

+ A [дб], ' (11.29)

£^=40rc(lge).x;

= 54,5;t

; (11.30)

A = 20lg

(д

- д

) (д, - *,)

(11.31)

На рис. 11.19 представлены кривые зависимости па-

раметра А от параметра пространственного заряда q для

&опт>

соответствующего максимальному значению Х\.

Как следует из формулы (11.29), параметр А харак-

теризует отличие закона возрастания поля в начальном

участке области взаимодействия от экспоненциального

6—1230 ' 65

-if

-5

-7

-9

Рис. 11.19. Зависимость параметра

начальных потерь от пространст-

венного заряда.

закона. Это отличие обу-

словлено тем, что в "на-

чальном участке элек-

тронный пучок еще слабо

промодулирован по плот-

ности и поэтому сгрушш-J

рованный пучок электро-

нов не обеспечивает экс-

поненциального возраста-

ния поля. В связи с этим

параметр А обычно назы-

вают ^параметром началь-

ных 'потерь.

Р ассмотрим теперь

усиление при больших

значениях параметра уси-

ления С. Для определе-

ния амплитуд четырех

парциальных волн следу-

ет решить систему урав-

нений (11.23). Расчет

дает следующие выраже-

ния для амплитуд пар-

циальных волн:

Е.

где

W'= —

(h + Jr)'Wо Т

*.) (*.

—

*.) (*i

—

*t)

(11.32)

2 vCNjbi

(*»

+ № (*. + № (*. + jr) 2 + С (г + /а

)

(«1—».) —

2%CN

(*i + jr) (*. + jr)

(а

+ jr) 2 + С (г +

]Ь

)

2ъСЫ

(

i+in ттщ ШЩ

'(».-».) К -л) шШЙ

2 + С(г + /8

)

2%CN.l

(». + Я («. + ES

(«4

+ jr) 2 + С (г + ня '

(11.33)

—

2 + С(г + /3

)

2nCN

—

i —

2кСЫ

2 + С (г + /9.)

2ЩШ

(11.34)

.66

Неличины W2, W3 и W4 получаются из (11.34) цикли-

ческой перестановкой индексов при б.

Прежде чем исследовать выражения для пока-

жем, что для малых значений параметра усиления С они

совпадают с (11.25). Для этого воспользуемся форму-

лой (11.11) для постоянной распространения четвертой

полны 64. Подставляя это значение в (11.32)—(11.34) и

полагая С 0, после несложных преобразований по-

лучаем:

р (

2 + />) (^3 + jr) р

(«1

Р _(*з +

/>)

($i + jr) р лто^

2 —

— д

) (д

[U.OOJ

р _

(*1

+ /Г) (*, + И р

Таким образом, в приближении малых С амплитуда

четвертой парциальной волны (фазовая скорость кото-

рой противоположна скорости электронного пучка) всег-

да равна нулю. Для доказательства тождественности

выражений (11.25) и (11.35) воспользуемся соотношения-

ми между корнями и коэффициентами уравнения третьей

степени (II.9):

(8,+8.)=-О'г+\),

Тогда

р __

(^2

+ /г)(5

+/г) _

— 5

§з —

jr (S

—

)

р _

— а

— ^о —

_ /(1+?Г)+/Г*Г 17 _ Z7 /ТТОДЧ

"а, (*, -

)

(^-Л)

с0

— (a

- a

) -а

)

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что

ftj удовлетворяет уравнению (II.9).

Тождественность уравнений (11.25) и (11.35) -показы*

нает, что в приближении малых С обратное излучение

электронного потока отсутствует.

Исследуем более подробно выражения (11.32) —

(11,34) для амплитуд парциальных волн.

15* 67

Для этого запишем выражения для W

и W

следую-

щим образом:

±;^<+A

±k*+A

Щ e

9!a

-j-/1

Ш е

\ 1

•Wi

мш Ш

£3

JHf

• ^+А

1Я

(11.37)

ДИ

;

£3

§|||

£3

"Ь ^32

— Л

гвя

б52

+Л

\ (11.38)

где

= 2тсСЛ^, a ^4

являются функциями 8

, г и С.

При С 0 величины A

остаются конечными и не рав-

ными нулю.

Напомним, что 63 и

164

— чисто мнимые величины,

а 61 и

— комплексные числа с положительной и отри-

цательной вещественной частью соответственно. Из

(11.37) следует, что при малых длинах участка взаимо-

действия (т. е. при малых значениях в) в выражениях

для W

и Ws следует сохранить только первое

слагаемое, так как оно обратно пропорционально С

(Обычно в реальных лампах параметр усиления не пре-

вышает значения С=0,2.)

Из (11.37) и (11.38) получаем следующие выражения

для амплитуд парциальных -волн при малых длинах

участков взаимодействия:

' F _

и F _(*« + /

Н*» + /

) р

Л*

(«1

+ т щшШШ-Ш^^Щ

р _ -424 р _(** + jr)(ti+jr) р

опч

Г"

Л04

(«. +

/Г) ($2

-Л) (д. -

«»)'

1 ;

/7 Л

р _ + />) + /Г) Г7

_ Лзв

е5

* + Л

*° + С*

А e

< ( ^ с

j(2 + jCr-j -j-)

.68

/I КИМ

образом, при малых длинах участка взаимо-

Й»'1Ь гния амплитуда четвертой волны пропорциональ-

Мм а 'выражения для амплитуд остальных парциаль-

ммн волн аналогичны выражениям (11.35); следует толь-

•0 учесть, что 6ь определяются из уравнения (11.12).

Следовательно, лри малых длинах участка взаимодей-

I гни>i обратное излучение не влияет на взаимодействие

IflPKTpoiiHoro потока с бегущей электромагнитной

ПОЛНОЙ.

Плйдем усиление в точке z—l при достаточно боль-

шой длине участка взаимодействия. Анализ выражений

(1132) — (11.34) и (11.36) показывает, что в этом случае

мегми слагаемыми, не содержащими множителя е

05l

Можно пренебречь. (Это эквивалентно рассмотрению

Асимптотического усиления для малых значений С, когда

1НЧ1МИ парциальными волнами, кроме возрастающей,

Можно пренебречь.) В Зтом случае выражение для на-

пряженности поля в точке 2=/ может быть записано

следующим образом:

+ F)

С2

+F) +

см

е65э

С2А

j f 2 +

2Cr

—

Ео_

(11.40)

Из этого соотношения следует, что при достаточно

Оольшой длине участка взаимодействия амплитуда чет-

нертой парциальной волны пропорциональна С

. Из со-

отношения (11.40) следует также, что при достаточно

Оольшой длине лампы может иметь место режим огра-

ничения усиления: с увеличением длины коэффициент

усиления не возрастает, а пульсирует около некоторого

среднего значения. Этот результат впервые был получен

И Т. Овчаровым. Ограничение усиления обусловлено

обратным излучением электронного потока. Можно по-

мп,чть, что при большой длине участка взаимодействия

инпряженность поля обратного излучения пропорцио-

нальна величине Как было показано выше, напря-

.69

женность поля обратного излучения определяется инте-

гралом

leifc^ I

k=l

Вычислим максимальное значение толя обратного

излучения при z=0. Воспользовавшись соотношением]

(11.20)7 связывающим амплитуды парциальных волн'-|

напряженности поля и тока, в результате интегрирова-!

ния получаем.

Е~ (0) =

С(1

+ гС)

X) йШ — —X

;

и^Ш

+ rC+jCd

)

[1-е-

(г

^г . J

Это выражение можно упростить, если воспользо-

ваться первым соотношением (11.23). В результате no- i

лучим

k=\

Заметим, что эта формула получается непосредствен-

(11.32) — (11.34), запишем выражение для напряженности

поля обратного излучения при z=0 в виде

(П-41)

где

W==

(Г, + г

) (г

+ Г

) (Г, + Г

) (Г

+ г

) X

X Р

i- Й (Г

1 Г

)(Г

- Г

) е~

г,/

- (Г, - Г,) (Г

-1'

) (Г

- Г,) +

+ (Г

Щ 1\) (Г

- Г

) (Г

- Г,) о'

- .

If Шр-i-(Г, -Щ(Г

-Г,)ЩЖГа)е-

]

(11.42)

АоРо

.70

Диализ соотношений (11.41) и (11.42) показывает, что

при больших длинах участка взаимодействия, когда в

И' и Г

можно пренебречь всеми слагаемыми по сравне-

нии) с членами, содержащими е®

, напряженность поля

опрятного излучения пропорциональна величине и не

|йиисит от длины участка взаимодействия. Этим объяс-

няется ограничение усиления при большой длине участка

шимодействия. Оценим длину участка взаимодействия,

нрн которой имеет место ограничение усиления. Из (11.37)

нидио, что ограничение усиления наступает при выпол-

нении условий

К. A

e^ > ^ Щ /г=.0, 1,2, 3, 4.

Так как

— мнимая величина, а коэффициенты А\

одного порядка, то это'неравенство приближенно может

Аыть записано следующим образом:

BCN> — A0\gC

CiV>-^lgC. (11.43)

Например, для С=0,2, q=d=0, л:1=0,'8)67имеем CN >

• 0,6. Этот пример показывает, что вообще говоря, при

С»0,2 и обычных значениях CN^ 1,5 может иметь место

режим ограничения усиления при малых амплитудах.

Однако следует иметь в виду, что наличие пространствен^

ного заряда уменьшает значение Х\. В следующем пара-

графе будет показано, что распределенное затухание так-

же уменьшает вещественную часть корня характеристи-

ческого уравнения, соответствующего возрастающей

иолне. Все это приводит к увеличению значения CN

upn

котором -имеет место ограничение усиления. Однако наи-

большее влияние на величину обратного излучения ока-

зывает локальное затухание. Наличие локального зату-

хания приводит к тому, что напряженность поля обрат-

ного излучения на входе лампы намного меньше вход-

ного сигнала и поэтому ею можно всегда пренебречь.

откуда

ил и

Это означает,- что можно пренебречь интегралами в npa-j

вых частях соотношений (11.18) и (11.19).

В этом случае амплитуды парциальных волн Е& опре-|

деляются «соотношениями (11.39). Так как амплитуда!

четвертой волны пропорциональна С

, то ею можно пре-,

небречь.

Таким образом, формула для асимптотического уси-

ления при больших значениях параметра С имеет такой

же вид, как и для малых значений С:

Л = 20 lg

G=BCN-\-A,

В = 54,5x

+Я

-d

) (dj-аз)

(11.29)

(11.30)

(11.31)

где значения корней Ьщ 62, бз определяются из характе-

ристического уравнения (11.12).

На рис. 11.20 представлены графики зависимости па-

раметра начальных потерь А от q для различных значе-:

ний параметра усиления С при

b —

0пт

. Из кривых

рис. 11.20 видно, что параметр начальных потерь А прак-

Рис. 11.20. Зависимость параметра началь-

ных потерь от пространственного заряда для

различных значений параметра усиления.

.72