Цейтлин М.Б., Кац А.М. Лампа с бегущей волной

Подождите немного. Документ загружается.

тему постоянные распространения волн в системе

с пучком.

Решение задачи о возбуждении волноводной системы

сторонним током дано Л. А. В айнштейно.м [1, 2].

Рассмотрим бесконечную и однородную по длине

полноводную систему с идеально-проводящими стенка-

ми. Граничные условия на стенках такой волноводной

системы могут быть записаны следующим образом:

|[пЕ] = 0, (1.1)

где п—:'.нормаль к поверхности волновода.

Найдем электромагнитное поле, возбуждаемое в рас-

сматриваемой системе заданным электрическим током.

Эта задача может быть сведена к решению уравнений

Максвелла

rotH =

дн

rot Е = —|Х

-Щ-,

где — плотность стороннего электрического тока.

Будем в дальнейшем предполагать, что все перемен-

ные величины зависят от времени по закону e

1<ot

. Тогда

система уравнений (1.2) примет вид

rot Н = /е

соЕ + J

(1.2а)

rot Е = — у[х

(оН.

Рассмотрим систему однородных уравнений Максвел-

ла (При je~ 0).

rot Н=/босоЕ, (1.3)

r o t

=—у (яосоН.

Частные решения уравнений (1.3) зависят от продоль-

ной координаты z по закону е"~

Гг

. Эти решения называ-

ются собственными „волнами рассматриваемой системы.

В силу условий (1.1) волноводная система имеет дискрет-

ный спектр собственных волн, которые могут быть объ-

единены в одну последовательность так, что волна с но-

мером п имеет йоля Е

и Н

, зависящие от z по за-

—г г

кону е . Волны с положительным индексом п рас-

пространяются в положительном направлении оси г, а

с отрицательным индексом п — в противоположном на-

правлении. Следовательно,

Г—71

Гп.

Общее решение системы уравнений (1.3) имеет вид

Е°= X(C

+ C_ JE.J| (1.4)

где С

и С-

— произвольные постоянные.

Дальнейшее изложение основано на лемме Лоренца,

которая в общем виде формулируется следующим

образом.

Если поле Е, Н удовлетворяет уравнениям (1.2),

а.поле Е°, Н° — уравнениям (1.3), то они связаны меж-

ду собой соотношением

§{[ЕН°] -

[Е°Н]}

n dS = j j

E°dV, (1.5)

5 V

где V — произвольный объем, ограниченный поверх-

ностью S.

Для двух собственных волн волноводной системы

лемма Лоренца может быть записана следующим

образом:

§{[Е

] - [Е

ЭТ

]} n dS ^0. (1.6)

Так как S=So+Si+5

, где So—поверхность стенок

волноводной системы, на которой выполняются условия

(1.1), a 5j и S

— поперечные сечения, то из (1.6) сле-

дует, что интеграл

V-nm = J {[E„H

] - [E

]} k dS,

взятый по любому поперечному сечению S

(т. е. при

2 = const), не зависит от координаты z этого сечения.

Через к обозначен единичный вектор в направлении оси г.

Принимая во внимание зависимость собственных волн си-

стемы от координаты z по закону е~~

Гг

, получаем усло-

вие ортогональности собственных волн волноводной си-

стемы:

J {[E„H

] — [E

H„]} kdS = 0 при тф — п. (1.7)

Рассмотрим теперь возбуждение волноводной си-

стемы электрическим током с плотностью который за-

нимает объем, образованный стенками волновода и по-

перечными сечениями z='zi и Z=Z2. При z<&\ и Z>Z2

электромагнитное поле удовлетворяет однородному урав-

нению (1.3) и, следовательно, определяется формула-

ми (1.4).

Так как поле, возбуждаемое данными источниками,

должно удовлетворять условию limE, Н = 0, которое вы-

г-*±оо

текает из единственности решения электродинамической

задачи [2], то

Е =$]C

, H = ^C

при г> г

Е—^С-яЕ-п» Н— / IС „ _

ПрИ

(1.8)

Воспользовавшись свойством ортогональности соб-

ственных волн волновода, а также соотношением (1.5),

несложно получить выражения для коэффициентов С

и С_

Сп^^рМШ, C_

=^Ub

(1.9)

V V

в которых интегрирование проводится по всему объему,

занятому источниками; величина N

называемая нор-

мой я-й собственной волны, определяется формулой

= J {[E

H_„]-[E_

]}MS. (1.10)

Норма имеет размерность мощности и пропорцио-

нальна комплексной мощности, переносимой п-й волной

через поперечное сечение волновода [2].

Для определения электромагнитного поля в плоско-

сти Z, лежащей в области Z\ <2< 22, рассмотрим пло-

ский слой (z—6, 2 + 6), из которого удалены источники.

Поле в таком слое можно представить в виде (1.4), при-

чем согласно (1.9) электромагнитные волны (Е

, Н

распространяющиеся направо, создаются источника-

ми, находящимися слева от данного сечения. Анало-

гично, волны (Е_

, Н__.

) создаются «правыми» источни-

ками. Полагая 6 ->• 0, находим

= С

п=

~Ь I'iebndV, (

L9a

)

Vi Vn

где V\(V2)—объем, занимаемый электронным потоком

левее (правее) рассматриваемого сечения.

Таким образом, коэффициенты С

и С-

зависят

от 2, так как при изменении z «правые» источники по

отношению к данной плоскости будут превращаться

в «левые» (или наоборот).

Истинное электромагнитное поле в плоскости z отли-

чается от найденного выше, так 'как при удалении источ-

ников из -слоя продольный электрический слой обры-

вается и на поперечных сечениях 2—6 и z+b создаются

поверхностные электрические заряды. Эти заряды соз-

дают дополнительное поле. На поперечном сечении

z—6 поверхностная плотность электрического заряда а

связана с продольной составляющей плотности тока со-

отношением

d<3

что при временной зависимости в виде е

;<0/

дает

ИЙ

В поперечном сечении z+6 поверхностная плотность

заряда имеет то же значение, но отличается знаком.

Дополнительное поле, создаваемое в слое (z—6, 2+6)

поверхностными зарядами при д ->0, равно

J 1 Щ

где j

==iezk.

Истинное поле равно разности полей, определяющих-

ся формулами (1.4) и (1.11). Таким образом, истинное

поле определяется соотношением

Е = У) (C„E„ + С_

_ „)

- j;,

H==V"(C„H

+ C-.nH.„),

(1.12)

где коэффициенты С

и С-

определяются формула-

ми (1.9а).

Будем считать, что 'переменная плотность тока имеет

только продольную составляющую j

. Так как в общем

случае плотность тока распределена неравномерно по

поперечному сечению пучка, то переменный ток в пуч-

ке i(z) равен

i(z) = j j

(*, у

z)dS.

Введем безразмерную функцию распределения тока

по поперечному сечению я|)(л:, у), определяемую соотно-

шением

jz(x,y,z) = *t(x,y)^. (1.13)

Из этого определения следует, что

xJ-H-*, y)ds=\: (i.i4)

Продольные составляющие электрического поля мож-

но зацисать следующим образом:

== Е°

(х, г/)е-

(Ц5)

E-n,z=E п.гЫ-Х, у)е " ,

где Е

— амплитуда волны;

9п

У)

— безразмерная функция распределения поля этой

волны по поперечному сечению волновода;

— волновое число п-й волны в „холодном" вол-

новоде.

Воспользовавшись соотношениями (1.9а), (1.13) и

(1.15) и подставив их в (1.12), получим выражение для

продольной составляющей электрического поля Е

в виде

РИIШ 1

У)

И IЩ

1 | +

2 а

+ e

y'coeS

(i-i6)

где

{

2 (<

(1.17)

Предположим, что волноводная система и электрон-

ный пучок бесконечно длинные. Полагая в (1.16) Щ0ж

е*~

* и устремляя х

и z

к бесконечности, получаем

Г^ Г

у)

/fi)e

/(г). (1.18)

Это соотношение определяет поле волноводной систе-

мы, возбуждаемое сгруппированным током пучка.

Рассмотрим теперь решение второй задачи, т. е. най-

дем переменную составляющую тока, обусловленную по-

лем волноводной системы. Будем решать эту задачу

в линейном приближении. Это предполагает, что поле

входного сигнала, действующее на электронный пучок,

настолько мало, что высокочастотная мощность на вы-

ходе лампы намного меньше постоянной мощности

пучка (^

< lj. При этом возмущения, испытывае-

мые электронами, малы и, следовательно, амплитуды

переменных составляющих скорости электрона, тока и

плотности пространственного заряда намного меньше

постоянных по всей длине лампы. В связи с тем, что

скорости электронов, вошедших в участок взаимодей-

ствия при различных значениях фазы поля, мало отли-

чаются друг от друга, обгон электронов отсутствует.

Следовательно, скорость электрона в каждом попереч-

ном сечении пучка является однозначной функцией вре-

мени и к электронному потоку «применимы уравнения

гидродинамики идеальной жидкости.

Предположим, что скорость электрона имеет только

продольную составляющую и что провисание потенциа-

ла, обусловленное постоянной составляющей простран-

ственного заряда, мало и им можно пренебречь.

Представляя скорость электрона, плотность тока и

плотность 'пространственного заряда © виде суммы по-

стоянных и 'переменных составляющих и пренебрегая

произведением переменных величин, запишем уравнение

движения электрона, уравнение непрерывности и соот-

ношение для 'конвекционного тока в виде:

/соу + ^о ^ = (1.19)

^- = -/сор, (1.20)

jz = V

оР

+ Ро^, (1.21)

ШШт (

L22

)

где величины с индексом «нуль» означают постоянные

составляющие.

Воспользовавшись формулой (1.13), выразим ско-

рость электрона и плотность заряда через ток i(z):

^ ^р^Ш^Жщ а-

Определяя из (1.21) v и и подставляя в уравне-

ние (1.19), получаем дифференциальное уравнение для

тока i(z):

^Щ-МШШ ш

где

Полагая, что переменный ток зависит от координаты

z по закону е~

Г2

, находим

* (х, у) (Г - Ш*/ (z) = j £ М^ E

. (1.24)

Это соотношение определяет сгруппированный элек-

тронный 'поток, обусловленный полем E

волноводной

структуры.

Для получения уравнения, определяющего неизвест-

ные величины Г

, ij?n и функцию у), исключим из

соотношений (1.18) и (1.24) i(z) и Е

В результате имеем

(1.25)

Воспользовавшись определением получим

Ш Ш

I <

-'ь>' i-f(T

TnR

ЩГ - Jo -JJll^-г»

т л

X ?П (х, у) 9п (6, ф (I

-л)

Л f£ (1.26)

Это уравнение является однородным интегральным

уравнением вида

ЩШ у) + J $ К (X, у, ЩIЩ р d;dr,-=0 (1.26а)

с симметричным ядром

\ /®

о КМеРоК J

Х?«(5, У)- (1.27)

Таким образом, задача о нахождении постоянных

распространения волн в системе с пучком и распреде-

ления тока по сечению пучка сводится к решению одно-

родного интегрального урпвн°щтл (1 —

18 Г

распространения Г можно рассматривать как собствен-

ные значения этого уравнения, а функции у), ха-

рактеризующие распределение тока в пучке,— как со-

ответствующие собственные функции. Наиболее важ-

ным в ЛБВ является определение постоянных распро-

странения Г, характеризующих поведение высокочастот-

ного электрического поля вдоль системы.

Собственные значения Г могут быть найдены с по-

мощью вариационного метода. Умножая обе части ин-

тегрального уравнения (1.26) на г|э(я, у) и интегрируя

по сечению пучка, получаем уравнение

Е(хр) = Цг(х, y)dxdy+\\\lK{x,yXTi)X

(х,

У) Ф

(6,

П>

dx dy d\ dti = 0, (1.28)

из которого следует, что Г является функционалом от

\\)(х, у). Покажем, что Г является стационарным функ-

ционалов от гр(л:, у). Действительно, вариация Г опре-

деляется из соотношения

-^-8Г + 8£ = 0,

где бЕ есть вариация Е при постоянном Г.

Используя симметрию ядра /С, из (1.28) найдем

ЬЕ = 2

fa (х, у)

{ф

(х, (х, у, 5,

-г))

(5, d\

d-ц

} dx dy.

Отсюда в силу уравнения (1.26)

б£'

= 0, следователь-

но, 6Г=0.

Благодаря стационарности уравнения (1.28) его мож-

но рассматривать как характеристическое уравнение

для определения постоянных распространения волн

в волноводной системе с пучком. Воспользовавшись со-

отношением (1.27), а также определением перепи-

шем это уравнение следующим образом:

f* + I

/(Г-/М'

=0>

(1.29)

Li vl —

»е

5эфф

Ро е

п л - —

РвОвфф

где величина 5

фф определяется соотношением

фф = . (1.30)

Расчет 5

фф будет дан ниже. Здесь заметим только,

что при равномерном распределении ВЧ тока по сече-

нию пучка ty(x,'.y) = l и величина 5

фф совпадает с гео-

метрической площадью поперечного сечения.

Из стационарности уравнения (1.28) следует, что

при определении Г функцию у) можно считать не

зависящей от Г [с точностью до (6Г)

При наличии затухания постоянные распростране-

ния Г

волн в волноводе являются комплексными ве-

личинами (Гп

+/|3п). Будем предполагать, что за-

тухание достаточно мало, так что выполняется нера-

венство а

Рп- (Это условие выполняется, если на

участке, равном длине волны в системе, величина зату-

хания не превосходит 10 дб.) (В этом случае можно счи-

тать, что затухание не влияет на распределение поля

в поперечном сечении волновода. Так как функцию я|)

в первом приближении можно считать не зависящей от Г,

а норма пропорциональна мощности, то величина /С

определяемая формулой

\р0 1ф2

0 |

ф2 I

0 |

ф2

дг Г

/г |

п ^

^nz

У/г | |

Дп_

fn ~ IttJfi ~ 2 pfi ' Щ

где Я

=~|АГ

| —поток мощности, переносимый п-й

волной, не зависит от постоянной распространения Г

волны в системе с пучком. Эта величина называется со-

противлением связи п-й волны.

Обозначим через Г

постоянную распространения

в холодном волноводе волны, скорость которой наибо-

лее близка к скорости электрона.

Выделяя из суммы «резонансный» член, запишем ха-

рактеристическое уравнение в следующем виде:

(Г

Го) [(Г Щ Щ+Ж ] - Ш

сзт

»?

ЦЦ Щ