Цейтлин М.Б., Кац А.М. Лампа с бегущей волной

Подождите немного. Документ загружается.

где

1 0,2

Рр—~2"» РШ

(1.34)

р те

щ /

со

у,

— плазменная частота неограниченного пучка;

q _

Koh jj — параметр усиления; ^

Л» £/• — ток и напряжение пучка;

— коэффициент депрессии, определяемый со-

отношением

ое

эфф

2'М^, (L36)

я 1 А

где Е' означает суммирование по всем индексам холод-

ной системы, за исключением п = 0.

Физический смысл и методы расчета коэффициента

депрессии будут рассмотрены ниже.

Уравнение (1.32) является трансцендентным и опре-

деляет бесконечное множество постоянных распростра-

нения волн в системе с пучком. Таким образом, строгое

решение задачи о взаимодействии электронного потока

с электромагнитной волной в ЛБВ может быть прове-

дено только для конкретных систем. Такая задача для

спирально-проводящего цилиндра решена в {4, 5].

Обычно трансцендентное уравнение сводят к алге-

браическому, приближенно определяя коэффициент де-

прессии через параметры замедляющей системы и пуч-

ка. Наиболее полный расчет коэффициента депрессии

проведен в работах {6—11]. При фиксированном значе-

нии р

уравнение (1.32) является алгебраическим урав-

нением 4-й степени, корни которого соответствуют четы-

рем волнам в системе с пучком.

Если в характеристическом уравнении (1.32) прене-

бречь всеми волнами холодной системы, фазовые ско-

рости которых существенно отличаются от скорости элек-

тронного потока, т. е. рассмотреть только одну волну,

то получим характеристическое уравнение для постоян-

ных распространения волн в длинной линии, возбуждае-

мых сгруппированным потоком.

Приведём вывод характеристического уравнения для

определения постоянных распространения волн в ЛБВ

в приближении длинной линии. Уравнение возбуждения

длинной линии может быть получено следующим обра-

зом. Рассмотрим волновод бесконечно длинный (или

конечной длины, но идеально-согласованный на кон-

цах), возбуждаемый сгруппированным током пучка дли-

ной I. Поле в таком волноводе может быть записано

на основании соотношения (1.16). Имея в виду в даль-

нейшем переход от волновода к длинной линии, примем

равномерное распределение тока и поля в холодном вол-

новоде по сечению пучка.

Тогда, полагая в (1.16) if)(x, у) = 1, (р

{х, у) =

и при-

бавляя поле холодной волны, получаем

1 «П С

•

/е\ -

[г

~ЬI 1

Е № = Е

е -f 1 Щ Л + /~ i(z)

(1.37)

где

— — КМ.

Представим правую часть (1.37) в виде суммы двух

слагаемых

где

E{z) = E

+ E

—

o|Z-f

НЯ V а

f I (6) ЙШЙШ Ц j (г).

(1.38)

представляет собой поле, обусловленное возбужде-

нием сгруппированным током той составляющей поля

холодной системы, фазовая скорость которой наиболее

близка к скорости электронного потока. Напряженность

поля E

характеризует поле пространственного заряда

электронов в пучке и результат возбуждения электрон-

ным потоком несинхронных волн холодной системы. Из

(1.38) -нетрудно оолучить

d^E а р»2

dz*

1>*

+ T

i (z) = Шш (г)

«ли

d*Ea

dz2

т;Е

= %Т

КоЧг)- (1.39)

Так как Е

-представляет собой результат взаимодей-

ствия электронного потока только с одной волной вол-

новодной системы, то уравнение (1.39) аналогично урав-

нению возбуждения длинной линии сгруппированным

потоком. При этом, естественно, поле пространственного

заряда войдет в уравнение движения электрона, которое

в этом случае в отличие от (1.19) запишется следующим

образом:

+Ц= —ж +(

°)

где Е

пз

— поле пространственного заряда, определяемое

из уравнения Пуассона

дЕы р

(1.41)

Исключая из системы уравнений (1.40), (1.41), (1.20)

и (1.21) величины v

р и £пз» получаем дифференциаль-

ное уравнение для тока

i=Sj

(z),

: '(1.42)

где р

— постоянная распространения плазмы, определяе-

мая формулой (1.33).

Решая уравнение (1.42) совместно с (1.39) в предпо-

ложении, что ток i(z) и поле E

изменяются вдоль

оси z по закону е~~

Гг

, получаем характеристическое урав-

нение для определения постоянных распространения Г:

(Р - Г) [(Г-/р

)

+ g ] - Г

р; = 0. (1.43)

Уравнения (1.43) и (1.32) совпадают при р

=\ 1. При

выводе характеристического уравнения в приближении

длинной линии мы предполагали, что ВЧ поле и ток за-

висят только от продольной 'координаты, и, таким обра-

зом, решали одномерную задачу. Это соответствует

предположению о бесконечно широком электронном

пучке. Из сопоставления уравнений (1.43) и (1.32) сле-

дует, что коэффициент депрессии характеризует умень-

шение величины напряженности поля пространственно-

го заряда, обусловленное конечными поперечными раз-

мерами пучка и влиянием стенок -волноводной системы,

а тайже взаимодействием между электронным пучком

и электромагнитной волной системы. Сопоставление

уравнений (1.32) и (1.43) показывает также, что наряду

со строгим рассмотрением задачи о взаимодействии

электронного потока с -полем волноводной системы мож-

но рассматривать задачу о взаимодействии электрон-

ного пучка, с полем «волны в длинной линии, вводя эф-

фективную плазменную частоту.

Выше было получено характеристическое уравнение

для постоянных распространения волн в ЛБВ в прибли-

жении длинной линии на основании рассмотрения вза-

имодействия электронного «потока с одной волной волно-

водной системы. Эту задачу можно решить, рассматри-

вая непосредственно возбуждение длинной линии

электронным пучком; при этом длинная линия представ-

ляется в виде эквивалентной схемы.

Волна напряжения, распространяющаяся в такой ли-

нии, удовлетворяет дифференциальному уравнению [12],

а ал)

„2 dt

dt*> Г-Щ

где L — погонная индуктивность;

Уф

— фазовая скорость волны;

р—погонная плотность заряда, переносимого сгруп-

пированным пучком.

Воспользовавшись уравнением непрерывности

Щ Ш /г

г\

Z7 dV

а также соотношением h = — ,

E 1 d

E J dH

dz2 v

dtdz

* '

Если все переменные величины изменяются по закону

1<0

\ то, проводя дифференцирование, можно записать [13]

^-Г^-ГА^, (1.46)

где

о=/Ро=/^-; (1-47)

К = Ьи

Совместное решение уравнений (1.46) и (1.42) при-

водит к следующему характеристическому уравнению:

Щ - Г

) [(Г - Щ + ] + Щ*с

т* = 0. (1.48)

Как видно, уравнение (1.48) отличается от (1.43).Это

объясняется отличием уравнений возбуждения [сравним

(1.46) и (1.39)]. Как будет показано во второй главе,

для малых значений параметра усиления С уравнения

(1.43) и (1.48) полностью совпадают. Таким образом,

различие характеристических уравнений (а следователь-

но, и уравнений возбуждения) -сказывается только при

больших значениях параметра усиления. Это можно

объяснить следующим образом. Для малых значений

^ 1

параметра усиления fr-^ 1, поэтому для всех волн

в системе с пучком можно составить одну эквивалент-

ную схему. Как «показано в [15], при малых С сопротив-

ление связи всех трех волн в системе с пучком близко

к сопротивлению связи Ко холодной системы. При боль-

ших значениях параметра С различие между Г и Го

существенно, поэтому представление замедляющей си-

стемы с электронным пучком в виде эквивалентной схе-

мы в этом случае не может быть проведено однозначно:

каждой парциальной волне, по-видимому, будет соот-

ветствовать своя эквивалентная схема с напряже-

нием Ui и сопротивлением связи К%.

1.3. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ СПИРАЛИ С ПУЧКОМ

Как было указано в 'предыдущем параграфе, стро-

гое решение задачи о взаимодействии электронного по-

тока с электромагнитной волной в ЛБВ может быть

приведено только для конкретных замедляющих систем.

Такая задача для спирально-проводящего цилиндра ре-

шена в [4,5]. Взаимодействие электронного потока с бе-

гущей электромагнитной волной, распространяющейся

в спирально-проводящем цилиндре, может быть описано

совокупностью уравнений Максвелла и уравнениями, ха-

рактеризующими 'электронный пучок. Решение этих

уравнений позволит определить постоянные распростра-

нения электромагнитных волн вдоль спирально-проводя-

щего цилиндра при наличии электронного пучка. Будем

считать, что свойства спирали без электронного пучка

известны (см., например, [14, 15]). Как и в предыдущем

параграфе, будем предполагать, что электронный пучок

имеет только продольную составляющую переменной

скорости V

'H переменной плотности тока /

Предполагая также, что волна в системе с пучком

изменяется по закону е

Гг

, запишем уравнения Макс-

велла в виде:

ГП

+ j^

^ _

дН,

-г ГЯ

,~ jm

E - Ю,

дг

•

' 4 U (р

ГЯ - ]тш

=О,

4" w ~~

дЕ:

дг

ТЕ-волна, (1.49а)

\ ТМ-волна. (1.496)

Из системы уравнений (1.49) можно получить волно-

вое уравнение для продольных составляющих электри-

ческого и магнитного полей:

С-

4--w (

*=°> И1

ГДе k

=а>

|А

со

При решении уравнений (1.50) и (1.51) следует рас-

смотреть отдельно три о'бласти:

1) область, содержащую электронный пучок

6, где

— радиус электронного пучка;

2) область между электронным пучком и спиралью

Ь< а

где а — радиус спирали;

3) область вне спирали (а <г < оо).

Уравнение (1.51) для первой области решается про-

сто и его решение может быть записано в виде

//<

= AJ

(хг)Ъ^

Гг

(1.52)

где т

='—(£

+Г

); (1.53)

А\—постоянная интегрирования;

/о — модифицированная функция Бесселя.

Зная из системы (1.49а), определим и Е^:

^Я-аМ^Ы^^ (1.54)

Для решения уравнения (1.3?) следует определить

переменную составляющую .плотности тока. Эта задача

решалась выше, поэтому мы 'воспользуемся соотноше-

нием (1.24), которое запишем в виде

]г

(jf

-Г)

2 Ег

где /о и U

— ток и напряжение 'пучка.

Подставляя выражение (1.55) в (1.50), получаем

дифференциальное уравнение для продольной состав-

ляющей электрического поля в первой области

/о

г dr \

дг + _ 2е

С/

— Г)

= 0, (1.56)

решение которого можно записать в виде

]

— B

(7Y)e

fwt—Гг

(1.57)

где

= х

1 -

(/Р, - Г)

(Г-Я.)»

(1.58)

Уравнения (1.496) дают возможность вычислить по-

перечные комооненты электромагнитного поля ТМ-

волны:

Ш—ВщШл (Тг)е

ТТ

j<ot—Тг

(1.59)

При рассмотрении второй и третьей областей следует

решить уравнение (1.51) и однородное уравнение (1.50)

(/>0)-

Так как точка г=0 не -принадлежит этим областям,

то выражения для составляющих электромагнитного по-

ля будут содержать также модифицированные функции

Бесселя второго рода, Ка(Тг) и К\(Тг). Далее, из усло-

вия Я, #->- 0 при г оо следует, что выражения для со-

ставляющих электромагнитного поля в третьей области

не будут содержать модифицированных функций Бес-

селя периого рода. Расчет дает:

ЯЩ Wo М + СД

(«•)] е

1а

Тг

Щ = 4 Щ м + Ш Щ

щк Ш, |Ш ж - ж ш ^

—Тг

<Р z

'(2)

l<Dt—Tz

[В

(%г)

- D

(v)] е

J<0t—Tz

н™=to (,г) - Щ (хг)] У*

—Гг

(1.60)

=С,К

(хг) е

/в

Гг

(3)

{3)

к, Ш

IS J<»t—Tz

(1.61)

)

Выражения для полей (1.52), (1.54), (1.57), (1.59),

(1.60) и (1.61) содержат восемь постоянных, которые

могут быть определены из граничных условий. Этими

условиями являются непрерывность составляющих элек-

тромагнитного поля на границе между электронным

пучком и спирально-проводящим цилиндром, а также

идеальная проводимость в направлении витков опирали.

Таким образом, граничные условия могут быть записа-

ны следующим образом:

г=ь е

{1)

=е

\ е

[

?<=е

\ я

(1)

=я

(2)

, Ш

ри

при г— а

£(2)

sin

Щcos^ = 0

(3)

sinф + cosф = 0, Я

(

sin4»—J—

—{—

{2)

cos

<|>

= Я<

sin

<|>

+ Н

{3)

cos

<|>,

(1.62)

где — угол между витками спирали и сечением, пер-

пендикулярным ее оси.

Подстановка выражений для поля в граничные усло-

вия (1.62) дает восемь однородных уравнений относи-

тельно постоянных Л

-, Bi, С{, Di\

{Tb) B

= /

(xb) B

-f- K

(xb) D

(xb) A

= 4

(*&)

- tf

(xb) c„

(x6)

Д ^ /„ (xb) A, + K

(xb) C

Щ В

Ко

Щ D

= к

(га) D

(га) 5

+ К

(та) D

+ ^ ctg

/С

(га) D

+ W /С, (га) ctg 4§, = 0,

(та) Л

+ /С

(га) С

+ ctg

X 1

X g М В

- /С, (га) D

] (га) С

- |

-to ctgfKtWD,. .

Условием того, что система имеет нетривиальное ре-

шение является равенство нулю детерминанта системы.

При этом получаем довольно громоздкое трансцендент-

ное уравнение для определения постоянных распростра-

нения Г:

G{xM

(1.63)

где

H^H^zb, Tb) = xbf

(Tb)K

№) +

+ TbI

(Tb)K

(*b)>

%Ы

(Tb) I

(zb) —

ff-ШШШт

G(ia)

/о (tfl)

Ы)

k-ctg

Ir(ta)Ki(ta)

(1.64)

I (1.651

Io Ы)

Ко

Ы)

Напомним, что t определяется соотношением (1.53) I

а Т — соотношением (1.58). Уравнение (1.63) позволяет]

найти постоянные распространения волн в системе с пуч|

ком при заданных параметрах пучка и спирали.

При отсутствии электронного пучка Г=т, #2=Ю и,|

следовательно,

G(xa) = 0. (1.661

Уравнение (1.66) определяет постоянные распростране!

ния электромагнитных волн т

(Г + &

)

вдоль cnii