Цейтлин М.Б., Кац А.М. Лампа с бегущей волной

Подождите немного. Документ загружается.

•Скорость и ускорение электронов определяются фор-

ими

V ^JHli (

)

(1УЛ4)

< учетом последнего соотношения уравнение движе-

нии электронов запишется следующим образом:

Выражение для амплитуды Л-и гармоники конвекци-

миого тока с учетом закона сохранения заряда в форме

|1\Ч1) может быть представлено в виде

• ИШ

Уравнения (IV.7), (IV.15) и (IV.16) образуют систе-

му, полностью описывающую поведение ЛБВ при ко-

Ьчлых уровнях входного сигнала.

Введем подвижную систему координат, движущуюся

(О скоростью, равной скорости электрона v

на входе

К пространство взаимодействия. В подвижной системе

Координат введем новые переменные величины ЩШ*

ft и 0 по формулам:

• Щг^^ШрИВ ] (IV17)

I ? = ?о +

+ »(6, ?.), в=СТ=2*CN

, |

I л<-

.— число электронных длин волн, укладывающихся

дооль участка взаимодействия.

Величина

(0, <f

) представляет собой добавку к невоз-

мущенной фазе электрона, обусловленную воздействием

ии электрон высокочастотного поля.

.153

Вместо величины &(0* <р

) можно вьести величину

ф = ср_5 =

ср

+ &(0,

(IV. !•

которая является более удобной для дальнейшего anal

лиза.

Сопротивление связи сильно уменьшается с увеличи!

нием 'Частоты. Кроме того, при наличии дисперсии измя

н-ение частоты приводит к дополнительной расстройка,

Поэтому при рассмотрении возбуждения сгруппирован-

ным током поля замедляющей системы можно ограни»

читься только Основной (первой) гармоникой тока. При

этом основные уравнения несколько упрощаются и их

можно записать в виде:

№

.dF

2j ~ + (2r+Cr

) F = 2 j

+ Cr)

ЬСУ 1&

Ф дФ

дЬ

2 it

—JK<P

где r=b—jd\

b — параметр несинхронности;

d — параметр затухания.

При выводе уравнения (IV. 19) принята во внимание

формула (II.3).

Для решения системы уравнений (IV.19) — (IV.21)

необходимо записать граничные условия, характеризую-

щие поведение пучка и поля на входе в участок взаимо-

действия. Эти условия были сформулированы во второй

главе. Так как обычно длина, «при которой начинает

сказываться влияние обратного излучения на взаимо-

действие электронного потока с полем бегущей волны,

значительно больше длины участка взаимодействия, на

которой проявляются нелинейные эффекты, то при запи-

си граничных условий пренебрежем обратным излуче-

нием электронного потока.

154

t h S'POM случае граничные условия записываются сле-

BMIIIIM образом:

= 0, Ф =

9о,

(IV.22)

|)||Н1

= 0, F = F

\ ^ = -jrF

\ (IV.23)

Р^лоиие (IV.22) соответствует немодулированному

В* тронному пучку на входе в участок взаимодействия.

•IMIII на вход участка взаимодействия поступает пред-

Вимгсльно модулированный электронный пучок, то гра-

иННЬШ условия должны быть соответственным образом

^рмснгны. Условие (IV.23) определяет ВЧ поле на входе

•Чисток взаимодействия. Величина F

является ампли-

»lnfi поля входного сигнала, >ао— фаза поля. Так как

HbiMlfo представляет интерес изменение фазы вдоль

Ветка взаимодействия, то, очевидно, можно положить

1' Ин—I). В этом случае условие (IV.23) упрощается:

' И|Ml

Ж 6==0; F==F

; ^=-JRF

. (IV.23a)

Мпписанные граничные условия весьма удобны для

•цг'ктов, так как непосредственно выражаются через

Вриметры лампы.

(!пстема интегродифференциальных уравнений

|1\М9)—(IV.21) вместе с граничными условиями (IV.22)

н (IV.23а) полностью решают задачу о поведении ЛБВ

fiipn конечных уровнях входного сигнала. Однако для

Вяможности решения уравнений необходимо определить

l)iми* пространственного заряда, т. е. найти явное выра-

щншг ряда в правой части уравнения (IV.20). Поле

Пространственного заряда определяется полным пере-

I Мнимым током пучка, т. е. всей суммой гармонических

к Цм гивляющих конвекционного тока. Суммирование

|IH;I/I, определяющего поле пространственного заряда,

В|м>ожно, если известны зависимости коэффициентов

Мтрсссии и эффективной площади поперечного сечения

HI частоты. В первой главе было показано, что с уве-

личением частоты эффективная площадь поперечного

Вчония стремится к нулю [см. формулу (1.74)]. При

шш величина h также стремится к нулю и, следова-

155

тельно, коэффициенты ряда, определяющего поле

ром

раиственного заряда, оказываются неопределенным»»

Поэтому задача о нахождении поля пространственной

заряда в нелинейной теории решается обычно в првЯ

положении равномерного распределения тока >по ПОЛЯ

речному сечению. В этом случае эффективная плотп/Цй

совпадает с геометрической площадью поперечного см

чения пучка.

Проведем -вычисление поля пространственного заря

да следующим образом. Воспользовавшись формула!

(IV.21) для k-й гармоники конвекционного тока,

за[\\[Щ

шем выражение для безразмерной амплитуды F

ПОЛЯ

пространственного заряда в виде

2л 2

=4- {£ kk

№

(«. *•)]} щ Я

О к

(IV.LM)

Будем предполагать, что плотность переменного ток!

постоянна по сечению пучка. В этом случае =1. Слв

^л

довательно,

2п

Для того чтобы просуммировать ряд в (IV.25), необ-

ходимо знать зависимость коэффициента депрессии р

of!

частоты, так как увеличение индекса k эквивалентно увв

личеиию частоты в целое число раз. В первой главе был!

получена следующая формула для коэффициента депрессии

сплошного пучка при равномерном распределении тока по

поперечному сечению [см. (1.97)]:

= 1-21

(ЩК

№), (IV.26)

где

— радиус пучка;

156

- радиальная постоянная распространения, которая

определяется из дисперсионного уравнения

h(ta)Ki(ta) _( Ча V

(fa)

/<о

) ~\ kactg

J »

I/ - радиус спирали;

, . 2 па ,

- шаг спирали.

Из соотношения (IV.26) следует, что с увеличением

ШЧоты коэффициент депрессии увеличивается и стре-

жней к единице (это видно также из графика рис. 1.1).

fiti< как увеличение частоты эквивалентно увеличению

ймдекса k, то в формуле (IV.25), начиная с некоторого k,

МнЖИО положить р\ = 1.

* к

Таким образом, можно записать

о оо

Р 1 <*р f \ VI sin^[0(0,(p'

)-0(e,(po)].

те to

о k=m+1

(IV. 27)

Sink Ф(9,Фо

фиоавим и вычтем выражение V -—

Sin

ife [Ф

(6,

у'о) —

Ф (9,

Уо)]

Тогда, воспользовавшись формулой [8]

slnkx^n-x

(1у>28)

k 2 '

I Mpiподливой для 0<х<2и;, получаем

F __L_

P T —

ГФ (В > У^о)

— Ф

(Q > Уа)}

2я со

1 2

-^)

Sinfet0(9

'?~

0(9,yo)

V^ (IV. 29)

Л=1 \

.157

Заметим* что разность Ф(0, 9'

) — Ф(0,«<р

) может н»

удовлетворять неравенству О<Ф(0, <р'

)— Ф(9, ?

)<Н

Если Ф(0, <р'

)—Ф(9,

то

несложно показать, jiff

в этом случае

2тс

п _ 1 «р Г

[ф

—

ф (егуо)З

—

— п «"С" J \ 2

П/1 .2

sin k

[Ф

(8,/о) Ф (9,Уо)] Ж щ

а-т

k=\

Следовательно, в общем случае можно написать

<о

2тс

х Sign

[Ф

(б, 91)-Ф (в,

<Ро)3

- 2 (1 -

sin^[0(8,y

) —0(е,<р

)] Д

d<p'

. (11.30!

Формула (IV.30) позволяет вычислить поле прост-

ранственного заряда для любых конфигураций пучка

и различных типов замедляющих систем, если известна

зависимость коэффициента депрессии от частоты.

При расчете число т следует выбирать таким, при

котором при достаточной точности объем вычислений

был бы сравнительно небольшим. Обычно достаточно

брать т=З-т-4.

Из уравнений (IV.19) — (IV.21) получим выражение;

закона сохранения энергии, которое позволит получить

ряд необходимых соотношений.

Интегрируя обе части уравнения (IV.20) от 0 до 0 п

пользуясь граничными условиями (IV.22), получаем

2 С

1 —

Ж)

дФу

=Re

(IV.31)

158

Проинтегрируем обе чайти соотношения (IV.31) По

I HI 0 до 2я, поделив предварительно на 2я. Эта опера-

нд ошачает усреднение за период.

I И результате получаем

2 тс

dy о

2п ] ( „дФ\

° (

1 + c

2-я

=Re ^——

ТС

2 тс

k 0 0

db+

. (IV.32)

Использовавшись (IV.21), последнее соотношение

мнчшшем в виде

2«

J-

d<?

(

м)

= Re [ j FI\db +

Цр йвездоч'ка означает .сопряженную величину.

Тлк как произведение Ihlk* является вещественной

шириной, то соотношение (IV.32) принимает вид

2л

d<9 о

2я

„дФ

)

(IV.33)

Формула (IV.33) представляет собой аналитическое

йырпжение закона сохранения энергии при взаимодей-

ilhiin электронного потока с бегущей электромагнитной

ВОЛНОЙ. Левая часть соотношения (IV,33) определяет

Юглисно (IV.

13)

изменение кинетической энергии элек-

Понов, усредненное за период. Правая часть (IV.33)

|йр/1ктеризует высокочастотную мощность, отданную

Шь тройным потоком электромагнитной волне системы.

( мг/|,овательно,

вч

IoUo

CRe

FI*^.

(IV.34)

159

Соотношение (IV.34) позволяет получить связь меж

ду высокочастотной мощностью и безразмерной великим

•ной напряженности поля, если выразить первую гармо!

нику тока через напряженность поля. Для этого тщ

пользуемся уравнением возбуждения (11.45), кото|>о|;

в безразмерных величинах можно записать следующим

образом:

(IV.щ

В результате получим

Рвч С

2(1 +ьсу

— IР (0) |

+ 2d J Щ\

dQ, Ж

шМ

где

F (0)

= F

— напряженность поля на входе.

Соотношение (IV.36) определяет связь между безраЯ

мерной высокочастотной мощностью и безразмерной на-

пряженностью поля F = F

-\-jF

. Для малых значений

параметра усиления это соотношение упрощается и пери

р |^(0)|

—

Fl j

ходит в известное выражение

= ~ [5]. Если

C/qC/Q А

затухание отсутствует (d = 0), то соотношение (IV.36)

определяет к. п. д. ЛБВ

При наличии затухания мощность, отданная элок»

тронным потоком полю, равна сумме высокочастотной

мощности, идущей в нагрузку, и мощности потерь.-Мощ-

ность, идущая в нагрузку, определяет к. п. д. прибора

и вычисляется по формуле (IV.37).

Мощность потерь определяется соотношением

а+'о» jl^

- <

;5H

Это соотношениё может оказаться «полезным при рлс«

чете теплового режима работы прибора.

160

IV.3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ.

СОПОСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА

НЕЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УСИЛЕНИЯ

В предыдущем параграфе были сформулированы

Шновные уравнения нелинейной теории JIBiB при боль-

ших значениях параметра усиления. Эти уравнения от-

л И ч лютея от уравнений нелинейной теории, полученных

I работах [3, 4], в основном, различием в учете сил ку-

•оиовского взаимодействия, а также уравнением воз-

буждения поля системы. В работах (3, 4] использованы

ум и имения возбуждения в приближении длинной линии.

КАК показано в первой главе, это уравнение справедли-

мо только при условии малой связи (С<^1). Остановим-

См подробнее на методах учета кулоновских сил в пучке.

Обычно интеграл (IV.20), определяющий гармоники

ьоимек'циоН'Ного тока, заменяют конечной суммой. Чле-

ны этой суммы характеризуют заряды бесконечно тон-

ких дисков, которые влетают, в область взаимодействия

4®рез равные промежутки времени, соответствующие

ршшоотстоящим значениям начальной фазы поля. Такая

исковая модель используется в работах [3, 5] для вы-

числения кулоновских сил в пучке. Для этого в этих

рлботах задается закон взаимодействия между дисками.

И |3] принят закон расталкивания, экспоненциально убы-

мпющий с увеличением расстояния между дисками. В [5]

принят закон взаимодействия, который при больших

рлсстояниях между дисками удовлетворяет кулоновско-

му закону расталкивания точечных зарядов, а при ма-

лых расстояниях удовлетворяет закону взаимодейст-

мнч двух бесконечно-протяженных однородно заря-

женных параллельных плоскостей. Зная закон взаимо-

действия, можно найти коэффициенты депрессии и,

следовательно, вычислить ряд, определяющий поле прост-

ранственного заряда

. Недостатком дисковой модели яв-

ляется приближенное определение сил взаимодействия

между дисками; кроме того, выражение для поля про-

странственного заряда получается достаточно сложным.

В работе [4] предложен другой метод учета сил

«лимодействия между электронами. Реальная замедляю-

щая система заменяется участком дрейфа, что дает воз-

можность коэффициенты депрессии заменить коэффици-

ентами уменьшения плазменной частоты. Используя при-

И-1230 161

ближенные выражения для коэффициента уменьшен!!!

плазменной частоты, можно просуммировать ряд и ищ

лучить выражение для поля пространственного заряд!

в аналитическом виде. Этот метод обладает 'преимуще-

ством по сравнению с методом, основанным на диско noli

модели, так как не требует задания закона взаимодгИ

ствия между дисками. Недостатком его является грр

моздкое выражение для поля пространственного заряда,

которое справедливо только для сплошного электрон

ного пучка.

Полученные в предыдущем параграфе уравнения ни«

линейной теории ЛБВ не могут быть решены аналши

чески, и поэтому их правильность не может быть про*

верейа непосредственно. Одним из методов косвенной

проверки этих уравнений является их линеаризация и

сравнение с соответствующими уравнениями линейно!!

теории.

Линеаризуем систему нелинейных уравнений (IV.19)

—

(IV.21). Так как в линейной теории предполагается, что

переменный ток изменяется во времени по синусоидаль-

ному закону, то при линеаризации нелинейных уравнении

необходимо рассматривать только одну гармонику токи,

частота которой совпадает с частотой подаваемого на вход

системы сигнала. Тогда, подставляя в уравнения (IV.20)

и (IV.21) ф = <р

-|-6'(0, <р

) и считая, что смещение элек-

тронов, обусловленное высокочастотным полем, мало, т. а,

?о) ^ 1» можно выражение для тока представить

в виде

2к 2-Я

-1 j е

ч<Рс

*d9o = - j

f ^-je"

/fe

Wfg. (IV.39)

Дифференцируя (IV.39) дважды по 0, получаем

2-я

(IV.40)

дЧ,

дв>

-II

Перепишем соотношение (IV.20) в виде

2 2

/(<Ро+&) I s

Р\**Р

г /(9о+»)

» ' 6>

2 1

.162