Бураченко Д.Л. Сигнальные конструкции. Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
2
K
M
=
первыми битами K-битового блока сигнала QAMH-M, где – при-
мер практической значимости расчетов вероятности ошибки на каждый
бит, а не только средней вероятности на бит;
- иерархическое задание евклидовых расстояний между сигнальны-
ми точками (концами сигнальных векторов) в двумерном пространстве
сигналов с возрастанием евклидовых расстояний от периферии к началу
координат. При этом в стандарте DVB-T применен частный случай, в ко-
тором евклидово расстояние увеличено в α раз для сигнальных точек,
ближайших к осям координат, благодаря чему в двух первых битах
K-битового блока обеспечивается повышение помехоустойчивости, и по-
ток высшего приоритета передается этими двумя битами;
- иерархичность выбранного варианта манипуляционного кода
Грея, когда двумерное пространство сигналов разбивается на четыре под-
пространства (квадранта), в каждом из которых любой из сигнальных век-
торов характеризуется одинаковыми двумя битами высшего приоритета
при любом числе сигнальных точек
2
K
M
=
. Благодаря этому выделение
битов высшего приоритета в демодуляторе OFDM осуществляется так, как
будто применена QPSK (PSK-4, ФМ-4) во всех режимах работы модема:
PSK-4; QAM-16, 64, 256; QAMH-16, 64, 256.
В QAMH предусмотрено применение трех значений параметра мо-
дуляции, обозначаемого в стандарте DVB-T как α: α = 1 – для QAM и
α = 2 или 4 для иерархической QAM.
Точные формулы могут применяться:
1) в зависимости от требований потребителя. Например, можно ре-
шать задачи , или . При выделении отдельных бит
приоритетным пользователям важно решение второй задачи;
min
e
P min
bi
P min
b
P
2) при вычислении вероятностей ошибок в канале с общими зами-
раниями и белым шумом. Использование верхних (нижних) границ дает в
этом случае значительные погрешности, так как они справедливы лишь
при больших отношениях сигнал/шум;
3) для определения вероятностей ошибок при разнесенном приеме.
В этом случае в каждой отдельной ветви вероятность ошибки может быть
приблизительно
1
210 ...10
2
−
−
⋅
, а в этом интервале приближенные форму-
лы (границы) не работают.
4
В классическом манипуляционном коде Грея при его обобщении на
N-мерную КАМ-
1
,[( 1) ] ,bK b
P
P
ν
−+δ δ
=
M
N справедливо соотношение , где
1
1,
K
δ=
1, Nν= 1,iK=
1
K
NK=; и общее число бит , – номер бита в
K-битовом блоке,
(
)
1
1iK
=
ν− +δ
1
,,KKN
∈
Ν, . В стандарте DVB-T ис-
пользуется другое распределение битов манипуляционного кода Грея, для
которого в общем случае справедливо
,[( 1) ] ,[( 1) 1]bN bN
PP
δ− +ν ν− +
=
и то, что
номер бита в K-битовом блоке
(
)
1iN
=
δ− +ν
1,iK=
, .
П4.1. Системы с многопозиционной многомерной квадратурной
амплитудной модуляцией
П4.1.1. Точные формулы вероятности ошибки
в М-ичном символе и на бит сигналов многомерной КАМ
Определим максимальную и среднюю энергии. Легко показать, что
()
1
2
2
m
N
E
d
NM
=
+α−
.
Найдем теперь среднюю энергию E
c
в предположении, что переда-
ваемые сигналы равновероятны:
∑∑
==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
α+
−=
2
1,...,,1
12
с
1
21
2
2
N
N
M
kkk
N
i
N
i
N
M
k
M
d
E
.
Для вычисления сумм вида
()
12
12
11 11
N
N
Q
QQ
N
Ni
kk k i
Wf
== ==
⎡⎤
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑∑ ∑ ∑
K k
N
Q
можно использовать соотношение [7]
()
12 11 1
1
N
Nkkk
k
WQQQWQQ
−+
=
=
∑
KK,
() ()
1
1
s
s
Q
s
s
k
WQ fk
=
=
∑
.
где
Действительно, в этом случае справедлива следующая рекуррент-
ная формула
(
)
11 11
...
mmm m m
WQW QQWQ
−−
=+
,
5
умножив ее на (
1
...
mN
QQ
+
2,m= N
) получим, что
(
)
111111
... ... ... ...
mNmmmNm m mm
QQWQQQW QQWQQQ
++−−
=+
1N+
1
1
−
−
,
или, просуммировав по m, получаем
()
()
11
22
111 1
2
1
11
23
111 1
1
,
.
NN
mNm mmNm
mm
N
mmmN
m
NN
N m Nm mm Nm
mm
N
mmmN
m
QQW QQQW
QQWQQ Q
W Q QW QQ QW
QQWQQ Q
++
==
−+
=
−
++
==
−+
=
=
+
+
+=
+
∑∑
∑
∑∑
∑
KK
KK
KK
KK
+
1
Отсюда получим, что справедлива приведенная выше формула, так
как
1
11
23
NN
mNm mmNm
mm
QQW QQQW
−
+
+−
==
=
∑∑
KK.
Тогда
()
()
(
)
21
2
c
13 1 1
12
NN
NM M
Ed
−+ α− +α−
=
,
()
()
c
21
23
13 1 1
NN
E
d
NM M
=
−
+α− +α−
.
M
N
Пикфактор сигнала иерархической КАМ-
:
(
)
()
()
2
1
2
21
c
2
3
13 1 1
N
m
NN
M
E
E
MM
+α−
Π= =
−
+α− +α−
.
Доказана следующая формула для расчета средней вероятности
ошибки в символе для N-мерной многопозиционной иерархической КАМ-
1
22
K
N
K
M
==
M
N ( ), [11]: 0
α
≥
6
()
11
00
1
11
1
00
21
1121
22
21
121
22
N
e
NN
k
N
k
kk
N
NN
k
dd
PQQ
NN
MM
dd
CQQ
NN
MM
+
=
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
α
⎛⎞
⎢⎥
⎢⎥
=− − − + =
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
,
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞
α
⎛⎞
⎢
⎥
=− − +
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
∑
(П4.1)
(
)
Qx
где
есть дополнение интеграла вероятностей Лапласа до единицы:
()
2
1
exp
2
2
x
t
Qx dt
+∞
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
π
⎝⎠
∫
и
()
()
(
)
2
21
3log
13 1 1
NN
M
g
NM M
=
−+ α− +α−
2
0
m
m
E
h
N
=
2
c
0
2
2
b
d
g
h
N
=
, ,
,
2
c
c
0
E
h
N
=
2
cc
c
2
0202
111
log log
bm
b
EE
h
NMNM
== =
Π
0
E
N
, .
Здесь и соответственно максимальная и средняя энергии сигналов
иерархической КАМ, – односторонняя спектральная плотность мощ-
ности белого шума. В дальнейшем удобно использовать обозначение для
интеграла вероятностей с индексами, которые в общем случае могут быть
вещественными числами,
m
E
c
E
0
N
p
∈
R
:
22 2
c
cpb
⎞
⎟
⎠
0
22
2
pb
d
QQp Q gph Q gh
N
⎛⎞
⎛⎞⎛
≡= =
⎜⎟
⎜⎟⎜
⎜⎟
⎝⎠⎝
⎝⎠
2
p
g
pg=
. ,
Нетрудно видеть, что справедливо неравенство (m четно,
mN
<
):
()
()
1
1
11
1
1
1
1
11
1
21
121
21
121
k
m
k
kk
Ne
NN
k
k
m
k
kk
N
NN
k
CQ
MM
CQ
MM
+
α
=
−
+
α
=
⎡⎤
⎛⎞
QP
Q
−
−+ ≤
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
≤− − +
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
∑
∑
≤
.
При
2m =
()
11
11 11
1
11
22
21 1 11
2
21 .
e
NN NN
NN
QQ
NQ N Q
MM MM
Q
NQ
MM
αα
α
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
−+−−−+≤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
≤− +
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
P≤
7
В частности, для классической КАМ ( 1
α
= ) из (П4.1) получим соотноше-
ние, доказанное в [7, 10]:
()
1
1
1
0
1
121
2
k
N
k
k
eN
N
k
d
PC Q
N
M
+
=
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎢
⎥
=− −
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
∑
.
При получаем
2N =
()
0
1
41 , 1
2
e
d
PPPP Q
MN
⎛⎞
⎛⎞
=− =−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Перейдем теперь к вычислению вероятности ошибки на бит для
N-мерной многопозиционной классической КАМ при использовании ма-
нипуляционного кода Грея. Авторами доказано, что (
1
1,
K
δ=
1, Nν=
; )
()
[]
+=
∑
δ−
=
δ−
δ+−ν
1
1
1
2
1
21,
2
1
K
j
j
K
Kb
QP
(П4.2)
()
()
()
∑∑
−
=
+δ−
=
−+−
δ−
−δ
−
δ−
−δ
+δ−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−+
12
1
1
1
12212
2
1
1
1
1
1
1
11
.
2
1
ent2121
2
1
z
K
j
jz
K
z
K
K
Q
j
z
Отсюда нетрудно получить частные случаи:
1
1
1
1
2
,[( 1) 1] 2 1
1
1
1
2
K
bK j
K
j
PQ
−
ν
−+ −
−
=
=
∑
,
2
1
1
11
1
1
2
,[( 1) 2] 2 1
2
221 221
1
111
22
2
K
KK
bK j
K
jj
j
PQQ
−
−
ν− + −
−
Q
+
−+
=
⎛⎞
=+−
⎜⎟
⎝⎠
∑
−
,
()
()
()
1
1
1
1
1
21
1
1
,[ ] 1 4 1 4 1
1
1
1
12
2
K
j
K
bK j j
K
j
PQ jQQ
−
−
−
−
ν−
−
=
=+ − − −
∑
+
.
Средняя вероятность ошибок на бит:
11
1
,,[(1)]
1
111 1
11 1
KK
KN
bbi bK
i
PP P
KK K
,b
P
ν
−+δ δ
=δ=ν= δ=
== =
∑∑∑ ∑
,
откуда
1
21
2121
1
1
1
K
bj
j
PaQ
K
−
j
−
−
=
=
∑
%
, (П4.3)
8
где
1
21 21 21
1
2
2
jj
K
a
j
−
−−
⎛⎞
=α − β
⎜⎟
⎝⎠
%
,
()
,
1
21 ,
1
0
11
1 1 2 1 2ent 2 1
2
2
j
j
qj
j
U
Uq
z
jq
Uq
q
j
z
−
−
−
+
=
j
⎡
⎤
⎧
⎫
⎡⎤
−
⎛⎞
⎪
⎪
⎢
⎥
α= + − − − +
⎨
⎬
⎢⎥
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎪
⎪
⎣⎦
⎩⎭
⎣
⎦
∑
,
()
,
1
21 , ,
0
1
11 12ent21
2
j
qj
U
z
jqj
q
q
j
zz
−
−
=
qj
⎧
⎫
⎡
⎤
−
⎛⎞
⎪
⎪
β=+ − − − +
⎨
⎬
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩⎭
∑
,
при этом ,
и
1
1α=
1
1
β
=
(
)
2
ent log 1
j
Uj=−
⎡
⎤
⎣
⎦
()
1
,
1
ent 1 2 ; 2.
2
q
qj
zj j
+
⎛⎞
=
−+ ≥
⎜⎟
⎝⎠
,
2
0
bc
h
=
следует, что для коэффициентов справедливо
Из (П4.3) при
1
21
21 1
1
K
j
j
aK
−
−
=
=
∑
%
.
Пусть , тогда можно записать:
21 21
j
aNa
−
=
%
j−
K
1
21
21 1
1
K
j
j
aNK
−
−
=
=
=
∑
. Не-
трудно доказать, что справедливы неравенства
1
11
211
21
1
log
2
ee
b
K
PP
QPQ
MKNK
⎛⎞
=≤− ≤≤
⎜⎟
⎝⎠
1
1
[( 1) ] 1
2
b, K b,
P
P
δ−
ν− +δ
≤
, ,
1
1, ; 2,NKν= δ=
где
.
П4.1.2. Точные формулы вероятности ошибки на бит
для двумерной многопозиционной КАМ
Перейдем к рассмотрению двумерного сигнального пространства.
Рассмотрим теперь помехоустойчивость сигналов КАМ при
2
K
M
=
, где
K четно. Доказано, что средняя вероятность ошибки на M-ичный символ
равна [8, 9, 10]:
00
11
41 1 1
22
e
dd
PQ Q
MN MN
⎡
⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎢
⎥
=− −−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
⎣
⎦
,
()
22
c
2
0
3
1
2
1
m
hh
d
M
N
M
==
−
−
22
c
c
00
,
m
m
EE
hh
NN
==
.
,
где
9
В системах передачи информации, использующих двумерный КАМ
с
2
K
M
= , где K четно, при оптимальном когерентном приеме таких сиг-
налов в каналах с белым шумом средняя вероятность ошибки в i-м бите
(
1,iK=
) при применении критерия минимума вероятности на M-ичный
символ будет [8, 9, 10]
()
()
()
()
()
1
1
1
2
21
1
1
21
,
11
2
2
21 21
1
2
22
12
21
12ent ,
i
i
i
i
M
i
i
bi K
j
bi
j
i
M
M
j
j
PP Q
MM
j
Q
M
−
−
−
−
ν−
−
−
+
=ν=
⎡⎤
ν− + −
=
⎢⎥
⎣⎦
== + − −ν
⎡⎤
⎛⎞
−
⎢⎥
⎜⎟
×−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∑∑
∑
×
0
2
m
d
QQm
N
⎛⎞
≡
⎜
⎜
⎝⎠
1
2
K
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
1, 2iK=
где
и
⎟
⎟
. В частности для первого и -го
битов в последовательности из K битов вероятность ошибки на бит равна
()
2
1
21
,1
1
2
2
M
bK
j
b
j
PP Q
M
−
+
=
==
∑
.
Соответственно для может быть получена следующая запись:
2b
P
()
()()
44
2
21
2(21) (21)
,2
11
2
42
.
MM
bK
j
Mj Mj
b
jj
PP Q Q Q
MM
−
+− +−
+
==
⎡
⎤
== + −
⎢
⎥
⎣
⎦
∑∑
Средняя вероятность ошибки на бит в K-битовом блоке определяет-
ся соотношением
2
11
12
K
K
bbi
ii
PP
KK
==
==
bi
P
∑
∑
или равносильным ему соотношением
()
1
21
1
0
1
21
2
M
bj
j
d
PaQj
K
N
−
−
=
⎡
⎤
=−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
.
Здесь
21 21 21
1
4
jj j−
a
M
−−
⎛⎞
=α − β
⎜⎟
⎝⎠
1
1, α= , ,
1
1
β
=
()
,
1
21 ,
1
0
11
1 1 2 1 2ent 2 1
2
2
j
j
qj
j
U
Uq
jq
Uq
q
j
−
ν−
−
+
=
⎡
⎤
j
⎡
⎤
−
⎛⎞
⎢
α= +− ⋅ ×− −ν+
⎥
⎢
⎥
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎦
⎦
⎣
∑
,
10
()
,
1
21 ,
0
1
11212ent 21
2
j
j
qj
U
Uq
jq
q
q
j
−
ν−
−
=
j
⎡
⎤
−
⎛⎞
β=+− ⋅ − −ν+
⎢
⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣
⎦
∑
,
()
[]
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=ν−=
+
2
1
21ent,1logent
1
,2
q
jqj
jjU
.
1
1
,
2
2, =2,
2
i
bbi K b
bi
1
K
PPP Pi
−
+
≤= <
Из неравенства
, следует, что
(
)
2
1
2
1
21
2
log
K
bbi
i
M
PP
KM
=
−
=≤
∑
b
P
(
)
1
22
21
log log
e
bb
M
P
PP
MM
−
<<
или .
П4.1.3. Точные формулы вероятности ошибки на бит
для двумерной иерархической многопозиционной КАМ
Точные формулы для средней вероятности ошибки в i-м бите
K-битового блока сигналов QAMH получены для первых двух бит
( ) в виде [9, 10]
bi
P
1, 2i =
()()
2
12
21 1
1
2
M
bb
j
j
PP Q
M
−+α−⎡⎤
⎣⎦
=
==
∑
,
3,iK=
()
ent 1 2iκ= +⎡⎤
⎣⎦
( )
а для всех бит с номерами
[]
()
()
∑∑
∑
−κ
−κ
κ
=
κ
=ν
−ν
=
−
κ
−κκ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−+
+==
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1212,2,
12
ent211
2
2
M
j
M
j
jbb
M
j
M
Q
M
PP
()
()()
[]
()()()
[]
() ()
()
()
∑∑
−
+=ν
=
κ
−κ
−ν
−ν−α+−−ν+−
−κ
−κ
−κ
−κ
−κ−κ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−ν−−κδ+
+
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅ν+⋅ν−×
12
12
2
1
1
1
212121221212
1
1
2
1
11
12
ent2121
2
22
M
j
MjMj
M
j
M
QQ
()()()
[
,
1
2121212
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
×
−κ
−ν−α+− Mj
Q
]
(П4.4)
11