Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста
Подождите немного. Документ загружается.
292 Финансовые вычисления для профессионалов
Графики функций NPV (r) проектов А и Б имеют следующий вид:
-
6
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−6 000
−5 000
−4 000
−3 000
−2 000
−1 000
1 0 00
2 0 00
3 0 00
4 0 00
5 0 00
6 0 00
7 0 00
3020100
r%
NP V (r)
Проект А
Проект Б
9. Составляем следующую таблицу:
Проекты Необходимые инве- Современная Чистая совре-
стиции (руб.) ценность в менная ценность
момент 0 в момент 0
P V (руб.) NP V (руб.)
1 200 000 290 000 90 000
2 115 000 185 000 70 000
3 270 000 400 000 130 000
1 и 2 315 000 475 000 160 000
1 и 3 400 000 690 000 290 000
2 и 3 385 000 620 000 235 000
1, 2 и 3 710 000 875 000 165 000
Фирме следует осуществить одновременно проекты 1 и 3, так как они име-
ют наибольшую чистую современную ценность (NP V ), равну ю 29 0 000 руб.
Ответы и указания к упражнениям 293
10. Поток платежей, порожденный данным проект ом, имеет вид:
-
−1 600
0
10 000
1
−10 000
2
t лет
NP V (r) = −1 600 + 10 000 (1 + r)
−1
− 10 000 (1 + r)
−2
.
Исследуйте функцию NP V (r) с помощью ее производной:
(NP V (r))
′
=
10 000(1 − r)
(1 + r)
3
.
График функции NPV (r) имеет вид:
-
6
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
..
..
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
....
....
....
.....
....
....
.........................
.........
....
...
...
....
...
...
....
...
..
.
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
....
.....
.....
....
.....
.....
....
.....
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
...
..
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
..
...
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
..
.
.
.
..
.
.
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
...
....
...
...
...
.......
.
−2 000
−1 600
−1 000
1 0 00
400300200100250
r%
NP V (r)
294 Финансовые вычисления для профессионалов
11. Поток платежей, порожденный данным инвестиционным проектом, имеет
вид:
-
6 0 00
−11 000
6 0 00
−1 000
3210
t лет
NP V (r) =
−1 000 r(r − 1)(r − 2)
(1 + r)
3
.
График этой функции имеет вид:
-
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
..
.
...
...........
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
....
.......
......
......
......
.........
...........
..........
......
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
...
.......
......
......
.......
........
...............
................
.......
.....
.....
.....
.....
......
.....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
...
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
.
−150
−100
−50
50
200143100230
r%
NP V (r)
12. IRR ≈ 39.32%. При этом NPV (IRR) = 0.95. Эти значения получены в ре-
зультате одной итерации линейной интерполяции. Указание. При решении
упражнения 7 были получены значения NP V (30%) = NPV (0.3) = 139.00
и NP V (40%) = NP V (0.4) = −10.00. Следовательно, линейную интерполя-
цию функции NPV (r) можно прове с ти на промежутке [0.3; 0.4].
Ответы и указания к упражнениям 295
13. а) Проект будет принят. б) Проект будет отвергнут.
14. Точка графика, соответствующая IRR = 3 9.32%, есть точка пересечения
графика функции NP V (r) с осью абсцисс. При r ≤ 39.32% проект будет
принят по критерию NPV и по критерию IRR. При r > 39.32% проект
будет о твергнут по обоим эт им критериям.
15. У проекта А IRR = 14%, у проекта Б IRR = 12 .5%. По критерию IRR
проект А предпочтительнее проекта Б. П ри r = 10% NP V обоих проектов
одинаковы: 1 082.06 руб. и ни одному из проектов нельзя отдать предпочте-
ние по критерию NPV . При r < 10% по критерию NP V предпочтительнее
проект Б, а при r > 10% — проект А.
16. Измененный проект изображен на числовой оси:
-
268.02893.4729.30463.05
−55.13−210−300
6543210
t лет
17. 69.42%.
18. 3.14 года.
Приложение A
Финансовые вычисления в Excel
A.1. Основные сведения о Microsoft Excel
В наше время для выполнения финансовых вычислений широко ис-
пользуются персональные компьютеры, оснащенные специальным прог-
раммным обеспечением. Наиболее широкое распространение в этой обла-
сти получили так называемые электронные таблицы. Свое название элек-
тронные таблицы получили из-за того, что данные в них представляются в
виде прямоугольных таблиц. В ячейках таблицы могут содержаться чис-
ла, строки или формулы, задающие зависимость значения, записанного
в этой ячейке, от значений, записанных в других ячейках. Всюду далее
вместо словосочетания
”
значение, записанное в ячейке“ , мы будем кратко
писать
”
значение ячейки“ .
Работа с таблицей обычно идет в интерактивном режиме. Пользова-
тель может просматривать, задавать и изменять значения ячеек. Измене-
ние ячейки приводит к изменению зависящих от нее ячеек, что немедленно
отражается на экране монитора. Электронные таблицы позволяют зада-
вать различные форматы представления данных, осуществлять их поиск,
сортировку и много других полезных операций обработки данных.
Существуют довольно много пакетов прикладных программ, реализу-
ющих функции электронных таблиц: SuperCalc, Lotus 1-2-3, Excel и другие.
Наиболее широкое распространение в нашей стране получила электрон-
ная таблица Excel, входящая в комплекс программ Microsoft Office фирмы
Microsoft.
Первая версия Excel появилась в 1985 году, и довольно быстро эта
программа завоевала большую популярность во всем мире (как и многие
другие программные продукты фирмы Microsoft). В настоящее время в ос-
новном используются версии Excel 5.0/7.0, Excel 97 и Excel 2000. Заметим,
что все вычисления, приведенные в качестве примеров в этой книге, были
Приложение A. Финансовые вычисления в Excel 297
выполнены сначала в Excel 97, а затем была проверена их корректность в
Excel 2000.
Помимо типовых операций по обработке таблиц, о которых упомина-
лось выше, Excel предоставляет пользователю свыше 800(!) встроенных и
дополнительных функций, автоматизирующих организацию наиболее ча-
сто встречающихся вычислений в различных областях человеческой де-
ятельности. Поэтому никто не может сказать, что знает абсолютно все
возможности этой программы.
Для первоначального знакомства с Excel мы можем порекомендовать
книгу А. Гарнаева [2], содержащ ую более 100 подробно разобранных при-
меров решения задач в Excel. Для более глубокого изучения и как спра-
вочник можно использовать руководство [4].
В нашей книге обсуждается довольно много возможностей и функций
Excel, но основное внимание уделено финансовым функциям. Финансовые
функции входят в Пакет анализа (Analysis ToolPack). Эти функции по ти-
пу задач, решаемых с их помощью, можно условно разбить на следующие
пять групп: расчет амортизационных платежей, анализ потока платежей,
анализ эффективности инвестиционного проекта, анализ купонных обли-
гаций, анализ краткосрочных ценных бумаг. Каждая из этих групп функ-
ций обсуждается в разделе, посвященном соответствующему типу задач.
Если на используемом читателем компьютере Excel установили в пол-
ном объеме, то Пакет анализа (Analysis ToolPack) всегда доступен. Прове-
рить это можно, открыв команду меню Сервис. В открывшимся списке
должна присутствовать команда Анализ данных. В противном случае тре-
буется установить пакет, запустив программу Microsoft Excel Setup.
Если читатель имеет доступ к персональному компьютеру (Excel вер-
сия не ниже 5.0), мы рекомендуем следующий порядок закрепления навы-
ков решения практических задач. Сначала повторите на своем компью-
тере имеющиеся в разделе решения примеров и убедитесь, что получив-
шиеся таблицы полностью совпадают с приведенными в книге. И толь-
ко после этого приступайте к решению упражнений, имеющихся в конце
каждого раздела.
A.2. Как вводить вещественные числа
Используемый всеми программами Microsoft Office (а, следовательно,
и программой Excel) разделитель между целой и дробной частью веще-
ственного числа (а также и другие разделители, например, разделитель
298 Финансовые вычисления для профессионалов
элементов списка) задаются на Панели управления (Control Panel) системы
Windows в разделе Языки и стандарты (International) (вкладка Числа).
Для русской версии Windows десятичным разделителем по умолчанию
является запятая, а в оригинальной версии — точка. И хотя в этой книге
мы ориентируемся на русскую версию системы Windows, всюду в тексте
книги в качестве десятичного разделителя мы всегда используем точку.
Приведем два главных аргумента в пользу такого решения.
Во-первых, точка используется как десятичный разделитель во всех
языках программирования, в частности, в Visual Basic for Applications (VBA).
VBA — это язык программирования, который может быть использован
для расширения функциональных возможностей любого из приложений,
входящих в состав Microsoft Office. Например, можно добавить собствен-
ную функцию к встроенным функциям Excel. (О том как это сделать,
можно прочесть в уже упоминавшейся книге А. Гарнаева [2]). И хотя мы
не касаемся вопросов программирования на VBA в этой книге, читатель,
знакомый с этим языком программирования, вполне может использовать
этот навык при решении ряда упражнений.
Во-вторых, точка используется как десятичный разделитель в фор-
мате CSV (в этом формате запятая используется как разделитель между
числами). Формат CSV (Comma Separated Value) является основным фор-
матом, который используется при записи больших массивов однородной
информации. Например, именно в таком виде доступна большая часть
информации, распространяемой Организацией Экономического Сотруд-
ничества и Развития (ОЭСР). Полезно также знать, что формат CSV яв-
ляется совместимым с Excel. Это означает, что информации из Excel может
быть сохранена как CSV-файл и, наоборот, информация из CSV-файла мо-
жет быть скопирована на рабочий лист.
Сразу успокоим тех из читателей этой книги, которые не захотят или
не смогут, по ряду причин, установить на своем компьютере в качестве
десятичного разделителя точку. У них не возникнет никаких проблем с
использованием программного обеспечения с компакт-диска, прилагаю-
щегося к книге. При загрузке Рабочей тетради и Электронного задачника
на компьютер читателя десятичный разделитель автоматически устанав-
ливается таким, как на этом компьютере. Читателю необходимо только
твердо знать, какой разделитель установлен на его компьютере, и имен-
но этот разделитель использовать при вводе информации. Использование
неправильного разделителя является ошибкой.
Приложение A. Финансовые вычисления в Excel 299
A.3. Ввод данных
Запустим программу Excel, и на экране появится окно Microsoft Excel
с первым листом новой пустой рабочей книги. Эта рабочая книга, назван-
ная системой Книга1 (Book1), обычно содержит несколько пустых листов.
Листы бывают пяти типов, но мы будем использовать пока только рабо-
чие листы. Рабочий лист имеет вид таблицы, в которой 256 столбцов и
65536 строк. У этой таблицы есть рамка для обозначения столбцов буква-
ми, а строк — цифрами. В нижней части листа расположен ряд элементов
управления, используя которые можно листать рабочую книгу.
Рабочий лист состоит из ячеек. Ячейка имеет адре с , который получа-
ется из имени столбца и номера строки, соответствующих этой ячейке
1
.
И хотя Excel поддерживает еще одну форму адресов (для совместимости
с другими электронными таблицами), мы даже не сообщим ее читателю,
так как будем использовать только адреса типа имя столбца — номер
строки. Например, адрес ячейки, в которой записана текущая дата, B21
2
.
Из прямоугольной группы соседних ячеек можно образовать единый
объект, который в Excel называется интервал. Чтобы задать интервал,
надо указать адреса его верхней левой и нижней правой ячеек, разде-
лив их символом <:>. Например, запись A1:E23 задает интервал, который
соответствует изображенному на рисунке фрагменту листа.
Значения, которые мы видим в ячейках таблицы на экране, называ-
ются видимыми значениями, а те значения, которые хранятся в ячейках
и которые мы видим в строке формул, называются фактическими зна-
чениями. В вычислениях используются фактические значения. Изменяя
формат ячейки, мы изменяем видимое значение, но не изменяем фактиче-
ское значение ячейки. Например, изображение вещественного числа 0.15
поменяется на 15%, если задать в ячейке процентный формат. Само же
хранимое в ячейке значение при этом не изменится.
Количество видимых цифр в ячейке зависит от ширины столбца. Если
ширины столбца не хватает для изображения числа, то в зависимости от
используемого формата произойдет либо округление числа до меньшего
числа знаков, либо ячейка заполнится строкой из знаков <#> (решетка). В
последнем случае, чтобы увидеть число, надо увеличить ширину столбца.
Первое, что следует освоить в Excel, — техника ввода данных. Обсуж-
1
Для тех, кто любит программировать, сообщим, что я чейкам можно присваивать
имена и использовать их дл я ссылки на ячейки.
2
Все обсуждаемые в этом разделе примеры относятся к рабочему листу, изображен-
ному на рис. 21.
300 Финансовые вычисления для профессионалов
дению этого вопроса посвящено немало страниц в рекомендованной нами
литературе ([2,4]). Прочтя их, вы узнаете, что существует много средств и
приемов, которые позволяют по-разному организовать процесс ввода дан-
ных и сделать его удобным и быстрым. В нашей книге мы ограничимся
описанием только простейших приемов, достаточных для решения задач,
которые мы рассматриваем.
Ввод информации в ячейки рабочего листа выполняется следующим
образом. Помещаем курсор мыши (жирный крест) в ячейку, отведенную
под вводимую информацию, и делаем ее активной нажатием левой кла-
виши мыши. Теперь можно вводить данные прямо в эту ячейку (курсор
находится в активной ячейке). Такой режим ввода называется редакти-
рование в ячейке. Его удобно использовать, когда в ячейку вводится но-
вая информация. Если до начала ввода дважды нажать левую клавишу
мыши (или кнопку F2), то курсор переместится в строку формул. Этот
режим ввода называется редактирование в строке формул, и его обычно
используют, когда информация в ячейке корректируется.
После окончания ввода информации в ячейку программа пытается от-
нести ее к одному из трех типов: те кс т, число или формула. Вы сразу
можете определить, что она восприняла введенную строку как текст, пото-
му что текстовые данные автоматически выравниваются по левому краю
ячейки. Если текст не помещается в ячейке, то он занимает место в со-
седних справа ячейках строки при условии, что соседняя ячейка пустая.
Например, изображение текста из ячейки A4 (Курсы валют ЦБ России)
занимает ячейки B4 и C4, так как они пустые.
Существует много форматов для записи чисел, но все они автоматиче-
ски выравнивают изображение числа по правому краю ячейки.
3
В неко-
торых случаях формат введенного числа определяется автоматически по
какому-нибудь признаку. Перечислим три таких признака, которые ак-
туальны при вводе финансовой информации. Если после числа вводится
буква <р>, то ячейке автоматически присваивается денежный формат
(рубли). Если перед числом вводится знак <$>, то ячейка получает дол-
ларовый формат. Если введенное число заканчивается знаком <%>, то
ячейка получает процентный формат. Например, ячейка B7 имеет число-
вой формат, а ячейки D7:D15 имеют процентный формат.
Если вы не знаете представления какого-либо числа в виде десятич-
ной дроби, можно ввести его как простую дробь. Например, можно ввести
3
Если вы еще плохо знакомы с числовыми форматами, обязательно прочтите о них
в литературе.
Приложение A. Финансовые вычисления в Excel 301
1 9/12 (пробел между 1 и 9!). В строке формул появится его изображение:
1.075. А что появится в самой ячейке, зависит от того, какой числовой
формат в ней задан. Не забывайте при вводе простых дробей всегда ука-
зывать целую часть. Например, 0 3/5. Это связано с тем, что запись 3/5
будет воспринята как дата: 3 мая текущего года (числитель — номер дня,
знаменатель — номер месяца).
При вводе процентов есть две возможности: указать десятичный экви-
валент или ввести число со знаком <%>. В первом случае будет изображена
десятичная дробь, во втором — использован процентный формат числа.
Будьте аккуратны с использованием знака пробел. Если случайно вста-
вить его в строку, которая без пробела была бы числом, программа рас-
познает эту строку как текст. Если сразу не заметите этого, то неверными
будут результаты всех вычислений, в которых используется это
”
число“ .
Поэтому обращайте внимание на то, по какому краю ячейки происходит
выравнивание: если по левому, то введен текст.
Текст и числа по существу являются константами, так как их значе-
ния могут быть изменены только в результате редактирования ячеек, в
которых они записаны. Для записи вычисления значений, которые прямо
или косвенно зависят от констант, служат формулы. Если программа уста-
навливает, что введенная строка является формулой, эта формула тут же
вычисляется, а результат заносится в ячейку вместо формулы. Например,
ячейка D7 содержит формулу:
=(C7-B7)/B7,
а выделенная серым фоном ячейка E7 — текст: =(C7-B7)/B7. Отличие
содержимого этих ячеек только в пробеле, с которого начинается содер-
жимое ячейки E7.
Формулу, которую содержит ячейка, вы можете всегда увидеть в стро-
ке формул, если сделаете соответствующую ей ячейку активной. Формула
автоматически пересчитывается, как только меняется значение хотя бы
одного из ее элементов.
Первым символом формулы должен быть знак <=>. В формуле можно
использовать числа, адреса ячеек, интервалы, знаки операций и функции.
Например, чтобы вычислить процент изменения курса евро с 8 февраля
по 21 марта 2000 года, в ячейку D9 введем формулу:
=(C9-D9)/D9
Сразу после введения формулы в ячейке скорее всего появится число -
0.0223. Зададим в ячейке D9 процентный формат с двумя знаками после