Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

282 Финансовые вычисления для профессионалов

4. Вычислите современную ценность P V

контракта со вторым заводом при

N = 6, N = 7, N = 8. При N = 6 имеем следующее значение P V

13 110 170.89 руб. Оно больше, чем современная ценность P V

контракта

с первы м заводом. При N = 7 P V

= 12 466 796.35 руб. Оно тоже больше,

чем P V

. При N = 8 P V

= 1 1 864 363.88 руб. Оно меньше, чем P V

. Следо-

вательно, при сроке кредита, предоставляемого вторым заводом, равном

8 годам, компании становится выгоднее купить экскаватор у второго за-

вода.

Задачу можно решить иначе: найти значение N, при котором P V

= P V

Для этого надо решить уравнение:

3 + 15×1.03

×1.1

−N

= 12.120253 06.

Решаем это уравнение:

15×1.03

×0.(90)

= 9.1202530 6; (0.9(36))

= 0.6080168 7.

Логарифмируем обе час ти уравнения:

N ln 0.9(36) = ln 0.60802; N = 7.56722.

Так как P V

убывает с ростом N, то наименьшее целое значение N , при

котором P V

< P V

, есть N = 8.

5. При g = 2%, P V

= 13 283 209.69 руб.; при g = 1%, P V

= 12 788 918.26

руб.; при g = 0%, PV

= 12 313 819.85 руб. То есть со временная ценность

контракта со вторым заводом с уменьшением значения g убывает. Сле-

довательно, выгодность контракта возрастает. Но даже при беспроцент-

ном кредите (g = 0 ) современная ценность контракта со вторым заводом

остается бо льше, чем современная ценность контракта с первым заводом

(P V

= 1 2 120 253.06 руб.).

6. Современная ценность контракта с первой строительной организацией рав-

на 16 821 1 21.76 руб., со второй о рганизацией — 16 730 756.89 ру б. Следова-

тельно, контракт со вт орой организацией несколько выгоднее, чем с пер-

вой.

7. Первая организация одержит победу в конкурсе, так как современная цен-

ность контракта с ней после увеличения срока кредита до 5 лет станет рав-

на 16 569 579.62 руб. Это меньше , чем современная ценность контракта со

второй строительной организацией, которая была вычислена при решении

упражнения 6.

8. Да. Контракт с первой организацией будет теперь выгоднее для фирмы,

так как современная ценност ь контракта с первой организацией теперь

равна 15 701 810.00 руб ., что меньше современной ценности контракта со

второй организацией, которая была найдена при решении упражнения 6.

Ответы и указания к упражнениям 283

9. Нет. В условиях данного упражнения контракт с первой о рганизацией бу-

дет для фирмы менее выгодным, чем контракт со второй организацией.

Современная ценность контракта с первой организацией в этом случае

17 271 990.00 руб., что больше современной ценности контракта со второй

организацией, которая была найдена при решении упражнения 6.

10. NP V контракта с первой фирмой со ставляет 6 888 355.00 ру б., а со вто-

рой — 7 826 196.54 руб., то есть контракт с первой фирмой выгоднее. При

вычислении современной стоимости контракта с первой фирмой надо учи-

тывать, что a

N; i

= a

4; 5%

, a

N; g

= a

4; 3%

, так как период ренты — 0.5 г ода,

то есть число членов ренты равно 4 и ставку сравнения и годовую ставку

процентов, начисляемых на кредит, следует разделить на 2.

11. В случаях а), б), в) контракт со второй фирмой остается менее выгодным

для за казчика, чем с первой, так как NP V контракта со второй фирмой

в случае а) равна 7 54 3 096.93 руб., в случае б) — 7 656 113.78 руб., в слу-

чае в) она составляет 7 087 403.52 руб. Эти числа больше NPV контракта

с первой организацией, которая была найдена при решении предыдуще-

го упражнения: 6 882 913.15 руб. В случае г) контракт со второй фирмой

становится более выгодным для заказчика, чем с первой, так как в этом

случае NP V контракта со второй фирмой равна 6 860 923.82 руб., то есть

меньше, чем NP V контракта с перво й фирмой.

12. а) 14.8 7%; б) 14.92%; в) 12.72%.

13. а) 12.5 5%; б) 12.83%; в) 12.74%.

14. а) 5.19 %; б) 5.83%; в) 5.65%.

15. 3 940 руб.

16. 3 895 руб.

17. Доходность операции для банка — 4.1216%.

18. Доходность операции для банка — 7.3792%.

19. 5 066.75 руб.

20. 4 829.38 руб.

21. 4.1597%.

22. 11.0596%.

23. 14.3629%.

24. При n = 5 доходность равна 15.241 7%; при n = 10 доходность равна

15.1012%; при n = 20 доходность равна 14.1197%. Сравнивая эти результа-

ты и результат решения предыдущего упражнения, видим, что с ув е личе-

нием срока потреб ительского кредита доходность операции дл кредитора

сначала растет, а затем уменьшае тся.

284 Финансовые вычисления для профессионалов

25. Следует вычислит ь доходность опера ции при n = 6, n = 7, n = 8, n = 9.

Доходность, соответ ственно, равна 15.3457 %, 15.3510%, 15.2983%, 15.2105%.

Следовательно, наибольшая доходность операции имеет место при с роке

кредита, равном 7 годам.

26. 13.4585%.

27. 14.6456%. Сравнивая этот результат с результатом решения предыдущего

упражнения, замечаем, что при увеличении частоты выплат доходность

кредита для кредитора повышается.

28. При n = 5 доходность равна 13.719 0%, при n = 10 доходность равна

13.2037%. Сравнивая эти результаты и результат решения упражнения 26,

замечаем, также, как и при решении упражнения 24, чт о при увеличении

срока кредита его доходность для кредитора сначала повышается, а за тем

снижается.

29. С ростом значения i

при фиксированном з начении n величина дроби

1+ni

убывает, так как ее знаменатель увеличивается. Следовательно, правая

часть уравнения:

(p)

n; i

1 + ni

с ростом i

уменьшается. Так как коэффициент приведения a

(p)

n; i

убывает

по аргументу i

, то с уменьшением левой части уравнения его корень i

увеличивается. Впрочем, кредитору и без математических выкладок оче-

видно, что если он увеличит взимаемый процент (при прочих равных усло-

виях), то выгодность сделки для него возрастет.

30. Взимаемый процент можно уменьшить до 7.8429%.

Указание. Надо решить относительно i

уравнение:

5; 13.4585%

1 + 5i

31. 7.73%.

32. 7.9125%.

33. 7.9544%. Сравнивая этот результат с результатом решения предыдущего

упражнения, видим, что с увеличением частоты выплат по купонам до-

ходность покупки облигации растет.

34. 5.8237%.

35. 6.0338%. С увеличением дополнительных расходов стоимость привлечения

средств увеличивае тся.

36. 10.5135%.

Ответы и указания к упражнениям 285

Раздел 9

1. 1 169.8 руб.

2. 106.75 руб. Г-н Сидоров занимает 4 800 руб. под 8% годовых и покупает в

настоящий момент 100 а кций за 4 800 руб. Через три месяца г-н Сидоров

продает г-ну Иванову эти акции за 5 000 руб. При этом он отдает долг,

равный 4 800×1.08

0.25

= 4 893.25 руб. Чистый доход г-на Сидорова равен

5 0 00 − 4 893.25 = 106.75 руб.

3. 301.02 руб. Г-н Ив анов занимает у брокера 100 таких акций, обязуясь их

вернуть через 3 месяца. Потом он продает их за 5 200 руб. и в кладывает

эти деньги в банк под 8% годовых. Через 3 месяца он получает

5 2 00×(1 + 0.08)

0.25

= 5 301.02 руб. ,

покупает у г-на Сидорова 100 акций за 5 000 руб. и отдает их брокеру.

Доход г-на Иванова равен 301.02 руб. Этот результат верен, если брокер,

одолживший акции, не требует процентов (или если у г-на Иванова были

свои акции). Г-н Иванов будет иметь доход, если брокер потребует меньше

8% годовых.

4. В случае а) в выигрыше будет покупатель Б, в случае б) — продавец А.

Случаи а) и б) изображены на гра фиках:

Выигрыш АВыигрыш Б

а) б)

Цена товара Цена товара

300

−300

700 1000 1300

300

−300

700 1000 1300



ppppppppp

pppppppppppppppppp

5. 1 519.36 руб .

6. 30.64 руб. Арбитражная операция аналогична описанной в упражнении 2

286 Финансовые вычисления для профессионалов

7. 39.36 руб. Арбитражная операция аналогична описанной в упражнении 3

8. 89.26 руб.

9. 91.05 руб.

10. 0.74 руб. Продавец заключает форвардный контракт, обязуясь продать

через год облигацию за 90 руб. Одновременно он занимает 100 руб. и по-

купает эту облигацию. Этот долг он делит на 4 части: первая час ть равна

4.88 руб., он занимает ее на 3 месяца. Через 3 месяца эта часть станет

равна 5 руб. и будет отдана из первых купонных денег. Вторую часть,

равную 4.77 руб., он занимает на 6 месяцев. Через 6 месяцев она станет

равна 5 руб. и будет отдана из вторых купонных денег. Третью часть, рав-

ную 4.66 руб., он занимает на 9 месяцев. Через 9 месяцев эта часть долга

станет равна 5 руб. и будет отдана из третьих купонных денег. Остальную

часть, равную 85.69 руб., он занимает на 1 год. Че рез год о на станет равна

94.26 руб. Через год продавец получит 5 руб. купонных денег и 90 руб.

за облигацию, всего 95 руб., и отдаст долг 94.26 рублей. Его доход равен

95 − 94.26 = 0.74 руб.

11. 1.26 руб. Покупатель занимает у брокера данную облигацию, обязуясь вы-

плачивать ему купонный доход, который приносит эта облигация и ве р-

нуть облигацию через год. Затем покупатель продает эт у облигацию за

100 руб. и заключает форвардный контракт, обязуясь купить облигацию

через год за 88 руб. Полученные 100 руб. покупатель вкладывает под 10%

годовых частями. Первую часть, равную 4.88 руб., он вкладывает на 3

месяца. Через 3 месяца он получит 5 руб., которые отдаст брокеру в каче-

стве первого купонного дохода. Вторую часть, равную 4.77 руб., он вкла-

дывает на 6 месяцев. Через 6 месяцев он получит за нее 5 руб. и отдаст

второй купонный доход. Третью часть, равную 4.66 ру б., он вкладывает

на 9 месяцев. Через 9 месяцев он получает 5 руб. и в ы плачивает броке-

ру третий купонный доход. Оставшиеся 85.69 руб. он вкладывает на год

и получает через год 94.2 6 руб. Из этих денег он выплачивает брокеру

5 руб. купонного дохода, продает облигацию за 88 руб. по форвардному

контракту и отдает ее брокеру. Таким образом, доход покупателя равен

94.26 − 5 − 88 = 1.26 руб.

12. 0.95 руб. Арбитражная операция аналогична описанной в упражнении 10.

Долг в 100 руб. следует разделить на с леду ющие четыре части: 4.88 руб.,

4.77 руб., 4.36 руб., 85.99 руб.

13. 1.05 руб. Арбитражная операция аналогична описанной в упражнении 11.

Инвестиции следует делать в следующих размерах: 4.88 руб., 4 .77 руб.,

4.59 руб., 85.76 руб.

Ответы и указания к упражнениям 287

14. 1 660.62 руб.

15. 140.35 руб.

16. Указание. Вычислите современную ценность затрат покупателя по каж-

дой из операций в любой момент времени и убедитесь, что они равны.

Например, в момент t = 1/12 они обе рав ны 1 650 руб.

17. 0.36 руб. Продавец в момент t = 1/12 покупает форвардный контракт за

140 ру б. и продает акцию за ее рыночную цену в этот момент: 1 650 руб.,

то есть у него в этот момент есть 1 650 − 140 = 1 510 руб. Инвестируя

их под 8% годовых, он получит в момент t = 1/6 сумму, равную 1 510 ×

1.08

1/6−1/12

= 1 519.72 руб. В этот момент продавец получит акцию за

цену поставки 1 519.36 руб. и передаст ее покупателю. Доход продавца

равен 1 519.72 − 1 519.36 = 0.36 руб.

18. 0.65 руб. Покупатель продает свой форвардный контракт з а 141 руб. и

покупает акцию за 1 6 50 руб., то есть у нег о в момент t = 1/12 потрачено

на акцию 1 650 −141 = 1 50 9 руб. Эти деньги в момент t = 1/6 будут иметь

современную ценность, равную 1 509×1.08

1/6−1/12

= 1 518.71 руб., то есть

меньше, чем он должен з аплатить по форвардному контракту за акцию

в момент t = 1/6 (цена пос тавки 1 519.36 руб.). Доход покупателя равен

1 5 19.36 − 1 518.71 = 0.65 руб.

19. 6.82 руб.

20. При рыночной цене облигации, меньшей или рав ной 98.18 руб.

21. 0.88 руб. Продавец покупает новый контра кт за цену F

= 6 руб. и продает

в момент t = 1/3 облигацию за ее рыночную цену S

= 1 05 руб. Он имеет в

момент t = 1/3 сумму 105 −6 = 99 руб. Современна ценность этой суммы

в момент t = 1 равна

G = 99×(1 + 0.1)

1−1/3

= 1 05.50 руб.

В момент t = 1 году продавец, чтобы выполнить новый контракт, дол-

жен купить (и отдать покупателю) облигацию, стоимость которой в этот

момент будет равна сумме цены поставки S и современной ценности при-

носимого ею купонного дохода, то е с ть:

89.26 + 5×1.1

1−1/2

+ 5×1.1

1−3/4

+ 5 = 104.62 руб.

Доход продавца равен 105.50 − 104.62 = 0.88 руб.

288 Финансовые вычисления для профессионалов

22. 1.26 руб. Покупатель в момент t = 1/3 продает свой форв ардный контракт

за 8 руб., берет в долг под 10% годовых 97 руб. и покупает на рынке

облигацию за S

= 105 руб. Долг покупателя в момент t = 1 будет равен

97 (1 + 0.1)

1−1/3

= 1 03.36 руб.

Имея облигацию, покупате ль получает купонный доход: по 5 руб. в момен-

ты 1/2, 3/4 и 1. Современная ценность полученног о дохода в момент 1

равна

5×1.1

1−1/2

+ 5×1.1

1−3/4

+ 5×1.1

1−1

= 1 5.36 руб.

В момент t = 1 покупатель имеет облигацию, котора я в этот момент стоит

S = 89.26 руб. Отдав долг, покупатель будет иметь доход, равный

89.26 + 15.36 −103.36 = 1.26 руб.

23. Доход инв е стора 96 руб. Доходность облигации 48%.

24. Доход инв е стора 40 руб. Доходность облигации 20%.

25. 52%.

26. Первый пакет состоит из 6 облигаций. Пять из них имеют номинальную

цену 50 руб. и продаются в момент 0 с дисконтом 40%. Эти облигации

выкупаются в моменты t = 0.5, 1 , 1.5, 2, 2.5 (года), соответственно. Шестая

облигация имеет номинальную цену 1 050 руб., продается в момент 0 за

850 руб. и выкупается через три года.

Второй пакет состоит из 6 облигаций. Пять из них имеют номинальную

цену 50 руб., продаются в момент 0 с дисконтом 20% (за 40 руб.) и вы-

купаются в моменты t = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 (года), соответственно. Шестая

облигация имеет номинальную цену 1 050 руб., продается в момент 0 за

800 руб. (дисконт — 23.81%) и выкупается через три года.

27. 30%. Доходности купо нной облигации и пакетов бескупонных облигаций,

равны.

28. В случае a) 12.37%. В случае б) 3 .96%.

29. 16.08%.

30. В случае а) 22.36%, в случае б) 18.65%, в случае в) 15.55%.

Ответы и указания к упражнениям 289

Раздел 10

1. На оси времени поток платежей, порожденный данным проектом будет

изображен так:

200700600400

−50−200−300

6543210

t лет

На диаграмме этот поток плате жей можно изобразить так:

−300

−200

−100

100

200

300

400

500

600

700

6543

210

t лет

тыс. руб.

2. На оси времени поток платежей, порожденный данным проектом будет

изображен так:

150120120

−50

800

543210

t лет

290 Финансовые вычисления для профессионалов

Диаграмма этого потока платежей изображена ниже:

−200

−100

100

200

543

t лет

тыс. руб.

3. Проект, описанный в упражнении 1, является регулярным, а проект из

упражнения 2 не является регулярным.

4. У проекта из упражнения 1 средняя норма прибыли на инв е стиции равна

57.58%, у проекта из упражнения 2 — 37.6%.

5. Период окупаемости проекта из у пражнения 1 равен 3.25 года, проекта из

упражнения 2 — 4.16 года.

6. 734.73 тыс. руб.

7. Полученные значения NP V (r) (округленные до 1) приведены в следующей

таблице:

r 0 10% 20% 30% 40% 50%

NP V (r) 1 350 735 368 139 -10 -109

Ответы и указания к упражнениям 291

График функции NPV (r) имеет следующий вид:

−200

200

400

600

800

1 0 00

1 2 00

1 4 00

6050403020100

NP V (r)

8. Потоки платежей, порожденных проектами А и Б таковы:

10 000

22 100

10 000

−15 522

t лет

Проект А:

Проект Б:

В следующей таблице приведены значения NP V (r) обоих проектов:

r 0% 10% 20% 30%

NP V (r)

Проект А 4 478 1 082 -1 402 -3 278

Проект Б 6 578 1 082 -2 733 -5 463