Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

причем

1 -г^гЧ--

•

.4-т„=л\

На пспованпи формулы П.122) можем записать

- зуЧ-гУ

-Ь. . . +х

Х =

п:ш

х=

1 ~

2 + Ну" •

Здесь дроби

по определению (1.4), есть относительные частоты, т. е.

т« т

V (?2» • • Ч ~дГ"

Следовательно,

» = • (1-125)

На основании теоремы Бернулли (§3), заменяя в (1.125) значе-

ния соответствующими значениями р

1г

получаем

пер. 11т х-ьМ(Х). (1.126)

.\'-»-СХ>

Таким образом, математическое ожидание Л/ (Л') — «теоретиче-

ское среднее значение случайной величппы».

Учитывая ото, в дальнейшем изложении будем иногда обозначать

М(Х)=Х*. (1.127)

Рассмотрим свойства математического ожидания. Эти свойства

справедливы как для прерывных, ток и для непрерывных величин.

Для упрощения ограничимся доказательством свойств математиче-

ского ожидания для прерывных велпчип.

Первое свойство. Математическое ожидание

имеет ту же размерность, что и сама случай-

ная величина.

Доказательство. Очевидно, возможные значения слу-

чайной величппы имеют размерность, совпадающую с размерностью

случайной величппы. Как следует пз (1.118), возможные значения

. х„. . . х

умножаются па соответствующие вероятности, кото-

рые являются отвлечеппыми числами. Отсюда и вытекает справедли-

вость доказываемого свойства.

Второе свойство. Математическое ожидание мо-

жет быть как п о л о ж и т е л ь н ы м, т а к и отрица-

тельным ч и ело м.

* Таким образом, X = х\ обозначение х будем понимать как сроднее ариф-

«->•00

метпческое при N конечном. В § 17 дано более строгое доказательство рассмот-

ренного свойства (Ы26). Значение X называют еще «генеральным средним».

(1.123)

(1.124)

Доказательство. Свойство следует пз того, что возмож-

ные' значеппя случайной величины могут быть положительными н от-

рпцательпымп числами.

Третье свойство. Математическое ожидание по-

стоянной велнчнпыС равно этой п о с т о я п и о й, т. е.

Л/(С) = С.

Это свойство очевидно.

Четвертое свойство, (теорема сложения математических ожида-

ний). Математическое о ж и д а п и с суммы не-

скольких случайных величин равно сумме

математических ожиданий этих в с л и ч ы н, т. е.

. . + №')= Л/ (А')+л/ (У) + ... +М ()У). (1.126)

В частности, для двух случаипых велпчип

М (АГ+У)=Л/ (Х)-ЬЛ/ (У). (1.129)

Для упрощения докалюм четвертое свойство для двух случайпых

величин, т. е. докажем справедливость формулы (1.129).

Доказательство. По определению математического ожи-

дания выражепие (1.129) можно представить в виде

п к

М (Х+У) = 2 2] <*'+»/) РФ (

°)

где рц

—

вероятность^совместпого появлепия х

и у/.

Выражение (1.130) можно нанпсать так:

п к к п

М (Х-И')-У

X,-

2 Р^л-У 'Л 2

\РЧ-

(1-«1)

Приняв во виимапие, что 2 Ри есть вероятность /з^того, что

/=•1

X примет значение х

(

, У р^ есть вероятность р/ того, что У примет

I-1

значение иол учим

п к

М(А'+У) = 2 + Е

(Г. 132)

1-1 }

Учитывая, что первое слагаемое (1.132) есть Л/ (X), а второе

—

М (У), окончательно получим

Я {Х-\-У) =

(А')+Д/ (У). (1.133)

Нетрудно распространить это доказательство на^любие число сла-

гаемых методом математической индукции.

Прежде чем перейти к пятому свойству, заметим, что две случай-

ные величины называют независимыми, если закон распределения

одной из них не зависит от тшго, какие значения приняла вторая

величина. Соответственно несколько случайных величии называют

взаимно независимыми, если законы распределения любого из них

пе зависят от того, какие значения приняли остальные величины

Пятое свойство (теорема умножения математических ожиданий).

Математическое ожидание двух или песколь-

них взаимно п е з а в и сп мы х с л у ч а й и их в с л п-

чин равно л р о и з в е д с п п ю математических

ожиданий этих в е л и ч и и, т. е.

М (XV) =.1/ (X) М (У), • (1.134)

М (X V ... И

;

) (X) М (У) . .. М (И (1.135)

Дока з а т е л ь с т в о. На осповашш определении математи-

ческого ожидания можно записать

п к

М (АГУ) =2 2 (1.136)

где х

{

и у! — возможные значения величии \Х и У соответственно;

р (т(у/) — вероятность произведения ж,-у/.

Для независимых случайных величин пмеем

Р (*1У[)=Р (щ) Р (У/)»

поэтому

п к и к

м (хг)=2 2 ^

р =

^ 2

У1Р

(

и37

«-1

]-1 1-1 7-1

Пользуясь определением математического ожидания, оконча-

тельно получаем

М (А*У)=Л/ (X) М (У). (1.138)

Доказанное свойство легко распространить на любое число

взаимно пезавнсимых случайных величии методом математической

индукции.

Шестое свойство. Математическое ожидание про-

изведения случайной величины па постоян-

ную С р а в п о п р о и з в е д е н и ю м а т е м а т и ч е с к о г о

ожидал и я случайной величины на постоян-

ную вел и ч и л у, т. е.

М (СХ)=*СМ (X). (1.139)

Доказательство. На осповаиип пятого свойства

М (СХ) —М (С) М (X).

По третьему свойству

Следовател ыго,

М (СХ) = СМ (А').

На практике в качестве приближенного значения М (X) пршш

мают х. С увеличением чпсла испытаний значение х все больше

приближается по вероятности к М (А

2. Дополнительные характеристики

случайной величины

Для полной характеристики распределения случайной величины,

кроме основных характеристик (X и а

), применяют и другие. К пх

числу, в частности, относятся асимметрия (мера «скошепности»)

и эксцесс (мера «крутости», т. е. островершинности, пли нлосковер.

шипности распределения). Все эти характеристики являются част-

ными случаями более общего понятия — моментов.

Различают начальные п центральные моменты.

Начальным моментом порядка к случайной ве-

личины X называют математическое ожидапие к-п стенепи этой

случайной величины, т. е.

Хк==

=м(Х

). (1.440)

Центральным м о м е п т о м порядка к называют

математическое ожидание к-й степени отклонения случайном вели-

чины от ее математического ожидания, т. е.

р*=Д/((Х-Х)

1. (1.141)

Практически указанные моменты (их называют теоретическими)

вычисляют по эмпирическим формулам

V х*!

- ~—> (Ы42)

(1.143)

где п — число наблюдений, п штрих служит для обозначения эмпири-

ческого момента*.

В дальнейшее будем иметь в виду главным образом эмпирические

значения моментов, полученные но формулам (1.142) и (1.143).

Исходя пз формул (1.140) и (1.141) и используя свойства матема-

тического ожидания, легко установить гоотношелпя

а) У

б)

Ио

в)

г) щ=0

д) Но = \-

—V®

с) =

(1.144)

* Эмпирические момепты называют ещо статистическими.

Основные характеристики Л' и О (X) равны соответственно

А'-.-ГУ, К

При нормальном законе распределения для центральных четных

моментов существует общее соотношение

Щ|Чя

(2*

(1.115)

Равенства (1.144) и (1.145) теоретические. Если же иметь в виду

эмпирические значения моментов, получаемые по формулам (1.142)

и (1.143), то из указанных равенств точно соблюдаются только (1.144,

а, б, г, д, с). Равенство (1.145) может служить для проверки статисти-

ческих распределений в смысле их соответствия нормальному, прп

условии очень большого числа наблюдений.

3. Дисперсия и среднее

квадратическое отклонение (стандарт)

Дисперсия как одна пз важнейших числовых характеристик слу-

чайной величины дает возможность оценить разброс возможных зна-

чений случайной величины вокруг математического ожидания, вы-

зываемый свойствами случайной величины или наличием прп опыте

ошибок наблюдепий, колебанием условий опыта и другими фак-

торами.

Однако частные значения отклонений X — Л/ (X) сами по себе

мало что характеризуют, а математическое ожидание отклонения

случайной величины, как легко убедиться, равно нулю вследствие

взаимной компенсации положительных и отрицательных значений

откдопеппй. Среднее значение пз абсолютных значений этих откло-

нений также пе всегда дает хороший результат при оценке разброса,

так как результаты сильно сглаживаются и большие отклонения

становятся мало ощутимыми, особенно при значительном числе

испытаний.

С целью устранения указанных недостатков принято рассматри-

вать не сами отклонения, а их вторые степени. В этом случае боль-

шие отклонения сказываются па конечпом результате оценки зна-

чительно больше, чем малые. Привлечение для этой цели более

высоких степеней X — М (X), а именно: четвертой, шестой и т. д .

вызывает необходимость увеличения числа испытаний, в протпвпом

случае снижается надежность определения числовых характеристик.

Дисперсной В (X) случайной величины X называется ма-

тематическое ожидание квадрата отклонения значения случайной

величины от ее математического ожидания, т. е.

Я(Х) = Л/{[.У-Л/(Х)1г). (1.146)

Для прерывной случайной величины X

П(Х)-У &-ЛГ [Х))*р,.

Дисперсию можно получить еще но формуле

(Л")

= .1/ (Х*)-[М (Х)Г-. (1-147)

Действительно, используя свойства математического ожидания,

получ? ем

й (X) = л/ ([Л'-Л/ (X)]

} =

ЛГ

{Л'2-2Л .1/

(ЛГ)

+ [М {X)]*) =

=М (Х*)-2М

(А')

(Д-)

[Л/

(Х)]

Л/ (А'

) —

[Л/ (А)]

т. е.

О (.V)=Л/ (А

)—

[ЛУ (Л

)]г.

Для непрерывной случайной величины А'

+со

(А)

= {

{А

Л/

(А)}-

•

(А) (IX.

(1.1',8)

-со

В соответствии с (1.147) выражению (1.148) можно придать вид

+00

Я (Л) = ]'

хЦ (г) Ах—[М

(А')1*. (1.М9)

-со

Величину о (А) = (X) называют средним к в а д р а -

т и ч е с и и м, или стандартным, о т к л о п е и и е м, а

чаще —просто стандартом. Среднее квадратнческое отклонение

обладает по сравнению с дисперсией одним несомненным преимуще-

ством: оно имеет ту же размерность, что и случайная величина. От-

метим, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размер-

ности случайной величины.

Иногда пользуются относительной числовой характеристикой разброса плн

так называемым коэффициентом вариации V, представляющим отношение сре*-

него

квадратнческого отклонения к математическому ожпдашпо, выраженное

в процентах, т. с.

ч,==

лТТА)

1П0%

Ш))

исключая, конечно, случай, когда М (X) = 0, или очень малб по сравнению с о.

Практически дисперсию получают по формуле

А'

1-1

Эга формула обоснована в §20.

Очевидно, что надежность полученного по формуле (1.151) значе-

ния дисперсии находится в зависимости от числа N.

г*

4. Математическое ожидание

относительной частоты появлений события

Несомненный интерес представляет получение математического

ожидания относительной частоты, еслп иметь в виду соотношение

(1.126), которое для рассматриваемого случая примет вид

где п — число испытаний в многократно повторенных сериях испы-

таний.

Последнее равенство надо понимать ток: математическое ожида-

ние относительной частоты весьма близко к среднему арифметиче-

скому из множества значений относительной частоты, полученных

в соответствующих сериях испытаний, в каждой из которых число

испытаний п конечно б одинаково.

Для решения поставленной задачи воспользуемся биномиальным

законом.

Согласно определению математического ожидания,

/ к \ 0 1 2

) = Т

п (°>+

7Г < О Н

•

• •

• • • 4 ~ Рп {к)-+

•

• . 4 ~ Рп(п). (1.153)

Подставляя в выражение (1.153) значения Р

(к) — С

ф~

(ве-

роятность относительном частоты равна вероятности соответству-

ющего числа появлений события), получаем

"(тг) = Т-^'+Т-4

• • -

+ 4 •-ет^-Ч.. -4Р

. (1.154)

4. + (

~~*)

„л-1

(п-1>-(А-1)а. /Г 155)

' (А-—1) I {(и — 1) — (Л—1)) ! Р 3 Т--.4Р /• И-"®]

Нетрудно видеть, что в фигурных скобках правой части (1.155)

представлено разложение бинома (р -4 <})

, поэтому сумма чле-

нов в фигурных скобках равна единице и, следовательно,

(М56)

Итак, математическое ожидание относительной частоты равно

вероятности события.

Пользуясь шестым свойством математического ожидания, полу-

чаем

отсюда

Л/(А)

ир«гА

(1.157)

где А

—.всроятнеишее число появлении события (см. §8).

Таким образом, мы установили, что наибольшей вероятностью

обладает среднее значение числа появлений события из множества

серий испытаний. Пз (1.156) следует, что математическое ожидание

| отклонения относительной частоты от вероятности равно нулю.

Действительно, лсиользуя свойства математического ожидания,

можно написать

М (5>«л/ (4" ~ Р) = -V (4) ~ Р=

§ 14, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Почти все случайные величины, с которыми приходится иметь

дело в геодезии, подчиняются нормальному закону распределения

вероятностей. Для относительной частоты появлений события мы

получили этот закон в впде

I г

п I,

где

„ . & I 1Г П

• А= у

Устаповпли также, что р = М поэтому в целях соблюдения

общности воспользуемся той же формой выражения нормальпого

закона, что л для относительной частоты, и напишем для любой

нормально распределенной случайной величины

(1.160)

где

Заметим, что М {§) = М (X) — М (X) = 0, следовательно,

М (Ь~к'М(1) = о,

т. е.

М(1)= 0. (1.161)

Однако, если для относительной частоты известен параметр к,

для любой другой нормально распределенной случайной величииы

параметр к' остается пока неизвестным.

Таким образом, задача свелась к нахождению формулы для вы-

числения параметра к', позволяющего находить 1

(

= к' 5

{

для лю-

бой нормально распределенной случайной величины.

6м

Для решения поставленной задачи получим вначале формулу дис-

персии переменной I. введение которой позволило придать стандарт-

ный вид нормальному закону для любых нормально распределенных

случайных величии. По определению дисперсии и учитывая (1.161),

+СО

ю (0 =

(0 =

м (<2) =у= ^ 1~е~~

61.

(1.162)

—со

Заменим переменную интегрирования

1=гУ2

<2 = 2г2

й1 = VI йг

(1.163)

Пределы интегрирования не изменятся, и мы получим

Г-

° 22* +СО

-со -оо

Возьмем интеграл (1.164). Так как дё~

' = —2гё~

*й2, то

+со +оо

| 2&е~

гг

й- » — [ 2йе~

\ (1.165)

-оо -со

Иптегрируя по частям, ползаем

+ ОЭ +00 +00

- г6е-

г:

= -ге'

| -{- | С* (1.166)

— СО -00 -оо

Второе слагаемое правой части (1.166) есть интеграл Пуассона,

равный у^я. Поэтому

+ 00

г-со г-к-оо

— со

По правилу Лопиталя

-гго

- Г г йе~

* = — Нт -4-4 Пт (1.107)

V 2 —СО

г-».-т е

г 1

Ьш —11Ш -—Г = 0.

г—оо е г-*-со ^ге

То же получим и для

г-*- — оо.

Теперь имеем

+СО

- I г^"

'-}^ (1.168)

-со

п, наконец, принимая во внимание (1.104), (1.165» (1.168), получаем

сЧО-1. <

М69

Согласно шестому свойству математического ожидания,

(О

«Л/ «т

} =

(1 170)

Если учесть (1.160), то М [V) есть дисперсия случайпой вели,

чины А', т. е. а

(X). Поэтому, имея в виду (1.169) и (1.170), полу,

чаем

(Л')202(А) = 1,

откуда

А' =

о (А)

0-171)

Теперь для любой иормалыю распределенной случайпой величины

можно написать

<1 л

йи (1.172)

Р*>

где

с (А)

(А)

(1-173)

Безразмерные величины ^ ^ =

{

называют нормированными зна-

ченпями'случайной величины I. Ив (1.171) и (1.72) пмеем для дис-

персии п

стаидарта относительной частоты

О «Я

-УЧ

(1.174)

Формулы (1.172) н (1.173) имеют исключительно важное значе-

ние для практики, позволяя пользоваться таблицами вероятностей

при решении задач с любыми нормально распределенными случай-

ными величинами. Для этого надо знать две основпые характери-

стики этих величип: М (X) и о (X). Напоминаем, что практически

вместо указанных характеристик пользуются их приближенными

значениями, т. с.

М (А')яв:ж=

"7Г

— т)

1-Х

где п — конечпое число.

Надежность полученных характеристик зависит отТчиела п: чем

больше п, тем надежнее характеристики (см. главу II).

С2