Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Независимость в совокупности не является следствием попарной

независимости, иными словами, несколько событий могут быть по-

парно независимыми, но не быть независимыми в совокупности.

Два события называются з а в и с и м ы м н, если вероятность по-

явления одного из них зависит от того, появилось плн ис иоявилось

другое событие.

Пример. Если поражепио цели достигается двумя попаданиями, то пораже-

ние цели при втором выстреле есть событие зависимое, так как опо может про-

изойти лишь при условии первого попадашш в цель.

Вероятность, вычисленная в предположении, что одпо или не-

сколько событий уже произошло, называется условной ве-

роятностью.

Введем обозначения:

р (А/В) — условная вероятность события А. вычисленная в пред-

положении, что произошло событие В;

р (АШц В о, В

)—условная вероятность события А

вычисленная

в предположении, что произошли события В

, /?

, ....

События А и В зависимы, если выполняются неравенства

р(Л/В)^р{Л); р{В/Л)Фр(В). (1.23)

В отличие от условной вероятности вероятность независимого

события называют иногда безусловной вероятностью (когда эти по-

нятия испольвуются вместе). События А и В независимы, если выпол-

няются условия

р[А/В) = р(А); р[В/А) = р(В). (1.2-1)

В приведенном выше приморе условная вероятность поражения целп при

втором выстрело раппа вероятности попадания в случае, если первый выстрел

сопровождался попаданием в цель, и равна пулю в случае промаха при первом

выстреле.

§ 6. УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Одним и8 примеров сложного события является произведение

событий.

Произведением двух плн нескольких событий называется

сложное событие, состоящее в совместном появлении всех этих со-

бытий.

Пример. Произведено три пыстрела по цели. Пусть событие В — попадание

при первом^выстреле, событие С — попаданио при втором выстрело, событие

О — попадание прп третьем выстреле. Тогда сложное событие — попадание

всеми тремя выстрелами

А^В.С.О.

Таким образом, еслп А — сложное событие, состоящее в совмест-

ном появлении событий В, С, И, . . ., И', то произведение событий

будет выражено

А =В- С- /?•... И'. ('.25/

Иногда пишут

Л =

(и

В, и С, и и . . ., и »').

В последующем изложении для обозпачеппя произведения

тип принята запись (1.25) как более простая.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух или не-

скольких зависимых событий равна произ-

ведению безусловной вероятности одного

из этих событий на условные вероятности

других, т. е.

^Р{Л

)'Г{Л

г1

)-р{А

1А

-А

)'. . . р{А

/А

'А

. ..Лл-х). 0-27)

В более удобном виде формулу (1.27) можно представить так:

Л^ =

(.10

• />

(Л,/Л О

•

ИзМИ

) • • .

|П Л,-у (1.28)

Для вероятности произведения двух зависимых событий Л и В

формула (1,28) принимает вид

Р{АЬ)=

{Л)'Р{В1А). (1.29)

Если события, составляющие произведение, независимы, то

теорема умножения вероятностей упрощается, принимая следующую

формулировку: вероятность произведения двух

независимых пли нескольких независимых

в совокупности событий равна произведе-

нию вероятностей э т и х событий.

Таким образом, еслп в формуле (1.28)

Р (Л»/Л

) =

(Л.): р (Л

/ЛП«)=р(Л

); ...:/> |л„ |П А^ = />(Л „),

то

р (Л

•

Ал

•

•. . . - Л„) = р (Л,) р (Л

)

(Ла) . . . Р (Л„). (1.30)

Докажем теорему умножения вероятностей для двух независи-

мых событии А и В.

Доказательство. Введем обозначения:

.V — число возможных элементарных исходов испытания, в кото-

рых событие Л появляется или не появляется;

Л ! — число исходов, благоприятствующих событию Л (Л*! ^ Л');

Д/ — число возможных элементарных исходов испытания, в ко-

торых событие В появляется или пе появляется;

Л/

— число исходов, благоприятствующих событию В (Л/

М).

Общее число возможных элементарных исходов испытания (число

возможных «пар»: и .4 и В. или н /I н В. или и Л и В, или и А и В)

равно ЛТД/. Число элементарных исходов пепытапия, благоприят-

ствующих совместному появлению Л и В. равно Л^Д/,.

Таким образом, вероятность совместного появлепня событий Л

и % равпа

Л",.и, Л", Л/.

1То так как в пропой части (1.31)

х лл

1Г

=Р(Л) и (1.32)

то окончательно

Р{АЯ) =

{А)Р(В), (1.33)

что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать теорему для всех независимых г со-

вокупности событий, а методом математической индукции — для

произвольного числа событий, т. е.

р(ГТ .<1/)=П рШ. (1.31)

Пример. В двух ящиках имеются шары: в первом — а

белых и Ьх черных;

во втором — Со белых и Ъ« черных. Из каждого ящика паудачу извлекают по

одному шару. Определить вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся

белыми.

Решение. Введем обозначения событий:

-4

— шар, изплечеппый пз первого ящика, белый;

— шар, извлеченный пз второго ящика, белый;

.•4 — оба извлеченных шара белые.

Очевидно,

А =А

А«.

Поскольку события Л! и А

независимы, применима теорема умножения

V (Л)=р (. ЦЛ

)=р И,)

Р (Л

)• = (

а1

-гб"и1+б

) •

В частпом случае, когда вероятности всех событий одинаковы

и равны р (этот случай часто встречается при решении задач теории

ошибок), формулу (1.34) можно записать так (для простоты записи

левая часть этой формулы обозначена через Р)

Р=Р

. (1-35)

Примеры. 1. Игральная кость брошена 5 раз. Определить вероятность

того, что во всех бросаниях выпадет грань с тремя очками.

Решение. Вероятность выпадеиия грани с тремя очками при одном

бросании игральной костп равна

Р = -

Искомая вероятность по формуле (1.35) равна

\ Ь / 777С>

2. В ящике имеется 25 белых и 36 черных шаров. Определить вероятность

последовательного появления двух белых шаров при условии, что первый извле-

ченный из ящика шар обратпо не возвращается.

Решение. Введем обозначения событий:

.1, — появление первого белого шара,

Л. — появление второго белого шара.

Поскольку вероятность события .4

зависит от того, наступило л.тя не на-

ступило событие А применима теоремл умножения вероятностей записимых

событий

РИ

) =

>(,1

)-/>(.!

Л'11).

Найдем вероятность события Л,

/хлоН!'

Найдем условную вероятность события

нрп условии, что событие Л|

наступило,

, , , ,

25-1 _ 24 _ 2

р иаМ»)~ "6(Г - Т •

Искомая вероятность равна

25-2

Р (Л^о)^

С15

« 0,104.

3. Вероятность попадания в цель при стрельбе пз орудия равна 0,20. Найти

вероятность того, что при одном выстреле цель будет поражена, еслп 2% взры-

вателей дают отказы.

Решение. Введем обозначения событий:

.4 — цель поражена,

Л, — попадание в цель,

—

взрыватель не отказал.

Очевидно,

А=А

.и.

Поскольку события Л, и независимы, применима теорема умножения

р (Л,Л,)=р (Л

)

•

р (Л

) =0.20

- 0,02) =0.20

0,98 = 0.196.

§ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ

(БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)

При постановке многих экспериментов, например при исследова-

нии новых ипструмептов или при проверке новых методов работ,

испытания производятся многократно, при сохранении определен

ного комплекса условий. Испытателя в этом случае интересуют все

возможные результаты предстоящих опытов и их сравнительная

вероятностная характеристика. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Еслп производится серия испытаний, причем вероятность появле-

ния события А в каждом испытании не зависит от исходов других

испытании, то такие испытания называют независимыми относи-

тельно события А.

Допустим, что производится п независимых испытаний, в каждом

пз которых вероятность появления события А известна, а имеппо

равна р и иостояпиа. Поставим своей задачей оиределить вероят-

ность Р

(к) того, что в п испытаниях событие А появится ровпо к

раз, безразлично в какой последовательности. С этой целью про-

анализируем результаты испытаний последовательно: после одпого

испытания, после двух испытании п т. д. и, наконец, после п испы-

таний.

После одного испытания событие А может появиться либо пе

появиться, т. е. возможны следующие два события, образующие

полную группу:

А. Л.

г,;

Так как сумма вероятностей событий, образующих полпую группу,

равна единице, то

р(Л) + р(Л) = 1,

пли

д+р = 1.

После двух независимых испытаний возможны следующие слож-

ные события:

ЛЛ, А А, АЛ, АЛ.

Так как эти события образуют полную группу, то

р (АА) + Р (ЛЛ) +

(ЛЛ) + р (АЛ) = 1. (1.36)

Поскольку рассматриваемые события независимы, применима

георема умножения

р (ЛЛ)+р (.ла)+р (Лл)+р (лл) = дч +рр-ь др-грд =

«7

+ 2(7 р + р

= (? + р)

=1. (1-37)

После трех независимых испытаний возможны следующие слож-

ные события:

А А А, ААА, АЛА, ААА, АЛЛ, ЛЛЛ, АЛА. Л Л.-Т.

Эти события образуют полпую группу и независимы, поэтому

сумма их вероятностей равпа единице и к ним применима теорема

умпожепия

р (ЛЛЛ) + р (Л А А) + р (ААА) + р (ААА)+р (ЛЛЛ) + р (ААА) + р (Л Лл) +

+ р (ААА) =

3 4- д2р

+ д

2р

д2

рйд р2д + р2д

= ?

+3?2р-|-Зр

<7 + Р

= (<7+Р)

=1. (1-38)

Аналогично рассуждая, для п испытаний можпо получить, что

(д+р)

= 1. (Ь39)

Разложив бином (1.39) па сумму п + 1 слагаемых, получим

(1.40)

Здесь С„ (к = 0, 1.2 п) — биномиальные коэффициенты,

причем

по Г

—

с,„ —

— I.

Первое слагаемое (1.40) определяет вероятность того, что в п

независимых испытаниях событие Л появится 0 раз, т. е. ни разу

пе появится; второе слагаемое определяет вероятность того, что

событие А появится 1 раз п. следовательно, не появится п — 1 раз;

. . ; последнее слагаемое определяет вероятность того, что собы-

тие Л появится п раз.

Итак, вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каж-

дом нз которых вероятность ноявления события равна р, событие

появится ровно к раз. определяется формулой

СИ)

где Р

(к) — вероятность появления события к раз в п испытаниях;

— .. ,

,,.— число сочетаний из п по к;

1 (п

—к)

д — вероятность непоявления события в одной ис-

пытании;

р — вероятность появления события в одном нс-

иыгаипи.

Совокупность вероятностей Р„ {к) носит название биномиального

распределения вероятностей (к = 0, 1. . . ., п).

При больших значениях п и к (больше 10) для упрощения исчисления фак-

ториалов применяют приближенную формулу Сткрлпнга

я ! « ^ «V

(1 + ЧЙГ + + ...)• <

М2

Чаще формула Стирлпнга еще более упрощается и применяется в виде

п ! я* 1 "2дм (-7-)"' (

к43

Абсолютная ошибка вычислений факториалов но формуле (1.43) увеличи-

вается с увеличением п. Относительная же точность (характеризуемая отноше-

нием абсолютной ОТПИСКИ к значеиию факториала п выражаемая обычно в про-

центах) повышается с увеличением п. По этой причине формула Стирлпнга при-

надлежит к числу асимптотических формул. Сравнивая формулы (1.42) н (1.43),

легко подсчитать, что при п = 10 относительная ошибка вычислений составит

0,8%, при п = 20 она будет равна 0,4%.

Иногда для определения биномиальных коэффициентов при вычислениях

по формуле (1.41) целесообразно воспользоваться треугольником Паскаля

(табл. 1).

Таблица 1

п Коэффициенты С„

1 1

1 2 1

13 3 1

4 1 4 С 4 1

Г»

1 3 10 10 5 1

Г»

1 С 15 20 15 С 1

Каждый биномиальный коэффициент в треугольнике Паскаля образуется

сложением двух стоящих над ним слева и справа коэффициентов.

Заметим в заключение, что дополнительный контроль вычислений

по формуле <1.40) может быть получен исходя из свойогв биномпаль-

пых коэффициентов, а именно: коэффициенты членов, равиоотстоя-

щих от начала и конца, равны, а сумма всех коэффициентов в бипоме

н-й степени равна 2

Пример. Определить вероятность получепил трех пробоин п мишени при

четырех выстрелах, если вероятность поразить мишень при одиом выстреле

постоянна и равна 0,4.

Решение. Обозначим вероятность иоражеипя мишени при одном вы-

стреле через р, а вероятность получепил трех пробоии в мишени при четырех

выстрелах — через По условию примера

р (Л) = р=0.4; 9=1

—

р = 0.6.

По формуле (1.41) имеем

4(3)= = 4 • (0.С)* • (0.4)3; Л,

(3)

= 0.|53С.

Этот результат может быть получен также путем применения теорем сложе-

ния и умножения вероятностен.

Событие «наличие в мишени трех пробоин» может наступить в следующих

комбинациях (обозначив через Л/ поиаданне при 1-м выстреле):

1) 3)

= (.'11Л

,Ы|):

= (Л,.-1..Тя.1

); 4) /^(Л^М;,,!,).

Применял теорему умножения для независимых событий, получаем

1) Р (#0 =Р И,) Р

У Р Ш р (Л,) =4.0381;

2) Р

<П«)

= Р (• IО Р (Л

) Р Ш р (,1

) - 0.0381;

3) Р («з) = Р

М Р (Л

) Р (Л

) р (Л,) = 0.0384;

4) Р (Д.) =Р (Л,) р (.1.,) р (.-Ы р (Л

) -0.0384.

Напомнпм, что

Р (

«х)

(У =

Из) =

Р (-1 .)

= 0,1.

По условию примера появление одного из сложных событий — произведе-

ний 1—4 будет озпачать наступление ожидаемого события. Следовательно, по

теореме сложения имеем

I <з>= Р

^ +

<**>+Р +РШ\ р(П

или

4(3)

= 0.1Г..Ж

Получен тот же результат, что и по формуле (1.41).

В практических целях полезно уметь вычислять вероятность по-

явления хотя бы одного события из п событий, независимых в сово-

купности. если вероятность появления каждого из событии известна.

Пусть Л — событие, состоящее в появлении хотя бы одного ил

событий Л,. Л

, . . Л„, независимых в совокупности.

Сложное событие (Л ,

•

•...

•

Л„), когда ни одно из событий не на-

ступило, является противоположным событию Л.

Сл едо ва те л ь но,

р( 0+р(.~1,Л

. . . Л„)=1.

или

р ( I) +Р (Л) Р (Л

) ... г Оп) =

(1.41)

Из (1.44), обозначив

/ЧЛ1) 71. />(Л?) =

«7г

Р(Л«) </„. (Г.45)

2!)

получим

(-1)

= 1-^,72 . - . (1ЛЙ)

т. е. вероятность появления хотя бы одного события пз п событлн.

независимых в совокупности, равна разности между единицей п про-

изведением вероятностен противоположных событии.

В частном случае, когда р (Л,) = р (Л.,) = ...= р (Л„) = р. ве-

роятность появления события, хотя бы один раз. будет равна

Так, в предыдущем примере

Р (.-!) = 1—0,0

= 0,87.

т. е. вероятность поразить мишень хотя бы один раз из четырех вы-

стрелов равна 0.87.

Использование тон же идеи позволяет получить формулу сложе-

ния вероятностей для совместных событий.

Пусть имеется п совместных событий Л, Л

с вероятно-

стями р, р

. Вероятности непоявления этих событий раьны

соответственно = 1 — р

, . . = 1 — р

. Вероятность того,

что ни одно пз указанных событий пе появится, равна () =

И. наконец, вероятность того, что появится хотя бы одно из совмест-

ных событий, равна Р = 1—0.

§ 8. ВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО ПОЯВЛЕНИЙ СОБЫТИЯ

ПРИ МНОГОКРАТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ

При постановке экспериментов и различных теоретических рас-

четах исследователь, естественно, ставит перед собой вопрос: какое

число появлений ожидаемого события при многократных испыта-

ниях наиболее возможно, еслп выполнен определенный комплекс

условий, который в обобщающем виде характеризуется постоян-

ством в процессе опыта вероятности появления события при одпом

•испытании. Вычисляя все лены разложения в формуле (1.40) и зная

из определения вероятности, что большая вероятность порождает

большую уверенность в получении соответствующего результата

опыта, определяем искомое число появлении события.

Пример. Произведено 8 независимых измерении одной и топ же велпчшш

в одинаковых условиях. Вычислить вероятности появления отрицательных оши-

бок Д: одной, двух, трех и т. д., восьми пз восьми, полагая, что

р(Л<0) = р(Д>0)=4-; р(Д<0) = д; г(Д>0) = р.

Решение. Составим табл. 2.

Из табл. 2 следует, что наибольшая вероятность соответ-

ствует появлению четырех отрицательных ошибок.

При большом п применение формулы (1.40) очень затруднительно.

Получим более простое и обще»; решение, пригодное в одинаковой

степени для любого конечного знлчеипя п.

Т а б л и ц а 2

Число

появлений

Конт-

роль

Рп (А)

со

» к

оо

оО

—

оос

— ОС

с-»оо л

со

V"»

«О

гэао

1- ЭО

56 70 56 28 8

25С

256 256

250 256

250

256

256 256 256

256

Обозначим вероятиейшее число появлении события нри п испы-

таниях через /г

. Для решения поставленной задачи используем фор-

мулу (1.41) бппомнальиого распределения вероятностен. Так как

это распределение прерывное (дискретное), аппарат математического

анализа пепригоден для исследования изменения вероятностей Р

{к)

в зависимости от изменения числа появлений события к. Поэтому ре-

тпм задачу алгебраически.

По определению вероятнешпего числа появлений события должны

выполняться неравенства

Рп(к

)^Р

-И) |

Л.(*о)^п(*о-1) Г

Если условие (1.47) выполнено, к

— вероятпейшее число появле-

ний события при многократных испытаниях.

Найдем А-

, отвечающее первому из неравенств (1.47).

Для этого составим отношение

•эди..

Пользуясь формулой (1.41), раскрываем числитель и знамена-

тель левой части неравенства (1.48)

Рп (/тр-г-1) _ ^ •

(Аг

—

1) ! (п

— Ау, —

1) ! '"

Рг. {к и) •</""*V

Цп-к

Произведя соответствующие сокращения в (Т.49) и имея в виду

неравенство (1.48). получаем

Ад п „ ,

г,;

Освободившись от знаменателя в левой масти неравенства (1.о0),

запишем ,, ...

яр-А<,р^

А-

<7"Н-

Далее имеем

Но, так как р -г Я — 1. то

ир—<7^А

. (1-53)

Таким образом, для выполнения первой части условия (1-47)

достаточно определить А

под условием (1.53).

Найдем иравую границу для к

, отвечающую второму неравенству

(1.47). для чего составим отношение

Рп

(А'о

— 1)

?п<Ь) ^

После несложных преобразовании получим

К(к

-1) А-о .Хс,

Рп

(А'о)

п —А'

—

ИЛИ

А'оч — А

(I — р) —

А-

—

р ^ ир — к

-}-

Р.

откуда

А'о < "Р + Р-

Окончательно, объединив неравенства (I .53) п (1.55), получим

пр-(1-р)< А-о^пр+р. (1.50)

Неравенство (1.56) позволяет находить вероятпейшее чпело по-

явлении события при многократных испытаниях, т. е. такое число,

которое отвечает условиям (1.47), причем, если число (пр — а)

—-

дробное, то двойное неравенство (1.56) определяет одно вероятиен-

шее число к

] если же (пр — я) — целое число, то неравенство

(1.56) определяет два вероятнейших числа: /»-

и к

-Ь I.

При числе испытаний достаточно большом и значении р. не близ-

ком к пулю, неравенство (1.56) можно превратить в равенство и для

практических целей использовать дли вычисления А*

приближенную

формулу

ко***

«р. (1.-м)

Из формулы (1.57) найдем — р, чти объясняет свойство устой-

чивости относительной частоты при большом числе испытаний и мо-

жет служить некоторым обоснованием теоремы Я. Бернулли, при-

веден ной в § 3.

Заметим, что соли произведение пр есть целое число, то прибли-

женное равенство (1.57) становится точным.