Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Пепзвсетиыо т легки выразить в виде линейных функций сво-

бодных членов иормальных уравнений при помощи обрптпой мат-

рицы. Напишем систему нормальных уравнений в матричной форме

Д"т=— и

Отсюда

Обозначим

Л*-1

и соответственно элементы обратной матрицы через где

— по-

мер строки, 5 — номер столбца. Тогда

Для любого неизвестного х

;

- можно записать

т/ = . .-(VI[.

Элементы обратной матрицы коэффициентов иормальных урав-

пеппй в параметрическом способе принято еще называть весовыми

коэффициентами.

1. Вычисление весовых коэффициентов

по способу дополнительных граф

Весовые коэффициенты (),•/. т. е. диагональные элементы обрат-

ной матрицы, называют квадратичными, Ниже показано,

что они всегда положительны. Остальные весовые коэффициенты на-

зывают и с к в а д р а т и ч и ы м и.

Неквадратнчные коэффициенты обладают свойством симметрии

относительно главной (квадратичной) дпагоналн, т. е.

<?/,

= &/• ^11.2)

Докажем справедливость этого равепства.

Из теории матриц пзвестпа теорема для квадратных матриц

ОТ"

= (ЛГ-1)

(VI

1.3)

т. е. действия трапепонпроваппя п обращения квадратной матрицы

можно переставлять местами.

Для матрицы коэффициентов нормальных уравпеппй вследствие

ее симметричности можно написать

(\Ч1.4)

поэтому, имея в виду (УН.З) и

(VI 1.4),

получим

16» 243

откуда

нлп

Л'"

- (Л'"

)

т. е. обратная матрица также симметрична относительно главной

дипгопалн. что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь способы вычисления весовых коэффициентов.

•Птп способы основаны иа известном соотношении

где Е

—

единичная матрица. Для матриц Л' и равенство (VI

1.5)

в развернутом виде выглядит так:

В соответствии с правилами перемножения матриц и с учетом

симметричности неквадратичпых элементов матриц N и () можно

написать для любой /-и строки (столбца) весовых коэффициентов

следующую систему уравнений:

Получена система нормальных уравнений, отличающаяся от ос-

новной системы (для неизвестных т) только свободными членами.

И системе

(VI 1.7)

все свободные члены равны нулю, за исключением

/-го уравнения, имеющего свободный член, равный —1.

Для того чтобы найти 5-ю строку весовых коэффициентов, нужно

решить почти такую же систему уравнении, как и система (VII.7),

но свободный член, равный —1. поставить в х-м уравнении (в осталь-

ных свободные члены будут нули).

Система уравнений (VII.7) лежит в основе вычисления весовых

коэффициентов по способу дополните л ь н м х г р а ф. Это!-

способ заключается в следующем.

Б схеме решения нормальных уравнении для каждой искомой

у-й строки весовых коэффициентов делается дополнительная графа,

в которой пишется —1 в строке /-го уравнения основной системы.

13 дополнительных графах выполняют такие же преобразования,

как и в графе Л.

Л'"

=Л' .V

-1

= /;.

(VI 1.3)

(VI 1.7)

После завершения всех преобразовании вычисляют весовые ко-

эффициенты так же, как- н исиянесгньн-. ни пользуются для этого

це графой а соответствующей

допил

нательной графой.

Способ вычисления весовых коэффициентов при помощи дополни-

тельных граф применяется в тех случаях, когдп требуется опреде-

лит). лишь некоторые строки обратной матрицы. Если же требуется

найти все элементы обратпий матрицы, то выгоднее применять спо-

соб Г а и з с а а.

2. Вычисление весовых коэффициентов

по способу Ганзена

Если последовательно вычислять все строки обратной матрицы,

пачиная с последней и кончая первой, то дополнительных граф

не требуется. Для определения всех весовых коэффициентов доста-

точно иметь элнмннацпоппые уравнения основной системы пормаль-

пых уравнений. Такое решение возможно вследствие свойства сим-

метричности весовых коэффициентов относительно квадратичной

диагонали.

Вычисление весовых коэффициентов способом Ганзена покажем

на примере четырех нормальных уравнений.

В первую очередь определяем последнюю строку весовых коэф-

фициентов. Напишем соответствующую систему уравнений

г Л',-? ,

ЛЧзСАп

+ !=0 |

II ; Д"

зС>

+ л,»^. = о I

^ 13 Си т ^гзС? 12 Л

3.ч(?.|3 Т Л'здф 11 = 0

.V, 1041 "г

Л"*'/» +Л'з.^з-Ь

«(?М

-1=0

Так как свободные члены первых трех уравнений равны нулю,

то свободный член последнего уравнения после исключения первых

трех неизвестных останется без изменения, в результате чего полу-

чим

1-1=0.

откуда

'(3)

•и

В общем случае

Весовые коэффициенты ().,., н (,)

4г

легко найти прн помощи

элнмппацнонных строк схемы решения нормальных уравнений.

В этих строках свободные члены нужно ирнннмпгь равными нулю,

что следует нз рассмотрения системы (VI

1.8).

Таким образом,

= I. (VII.10)

#41

^13043

+ Е

Напишем систему уравнений для третьей строки обратной мат-

рицы

Л'и0п+ Л^а.+ЛйСв+^нОи =0

Л'»<?31

+ Л';

(?з

-}-Л'«а<?зз +

л*.,<?31

АЪСЫ + Л'й^З!+А'

з(?зз+ Аз

()з1—

= 0

Л'| 1<Ь

+Л'„ + Л'з^яз +

Л4 ;<?31

(VII.11)

Из четырех неизвестных системы (VI 1.11) последнее уже опре-

делено, так как (?

~= (>,,3.

Для определения остальных неизвестных имеем

<?вз = А$|<?31+-7Д7

<?31

= + ЯпС>зз + ЕиОм

(VI 1.12)

Вторая строка весовых коэффициентов определится' следующим

образом:

= & 2

п -р п 4_/<* п •

(VI 1.13)

''л»

(>,,

= Ь\

()

, + Е

-Г

Р-ХI

Наконец, для вычисления весовых коэффициентов первой строки

получим формулы

<?Н=<?*1

<?»3=<?31

" 11

(VI!.!'.)

Контроль осуществляется после получения каждой очередной /-й

строки обратпон .матрицы по формуле

(2,-^,) + <?/2+. . . + Ьк)

<?Д

(VIМЛ)

Эту формулу легко получить, сложив уравнения любой системы

уравнений для весовых коэффициентов.

Все вычисления но способу Ганзена выполняются на настольной

вычислительной машине без промежуточных записей.

246

3. Вычисление весов неизвестных т

Па основа

КПП

(VII.1) можно ниппели.

т/=—[/«!Л <?

- ... -

г]

<?/*.

Раскрывая скобки и группируя члены по свободным членам

I. 2, . . п), получаем

*/ = — />1(«иС/1 !"•зС/а . •-Ья,^.);,-. .

—

Рп (а,ц<?/1

«л^/г-г-

• .

+ <Ы<?/А)г«.

ИДИ

Т/

= - 2 С«.1<?У11-! . .

+ а,(VII.1С)

Обовначнм

(а.гС/! ... -Г

в|4-Сд)

<**/•

(V11 -17)

Тогда

= - ^ =

—[а/?]

(VII. 18)

1-1

0 =

*).

Итак, мы выразили неизвестные в виде лпнейиых функций сво-

бодных членов I. Ранее мы установили, что при оценке точности

величины I; играют роль измеренных значений и имеют веса

Теперь на основании (VII. 18) имеем

1-1

где Р/

—

вес неизвестного Ту.

Вычисления величин а довольио сложны. Однако дс-ло значи-

тельно упрощается тем, что между величинами а и весовыми коэф-

фициентами () существует простая связь. Установим ее.

Напшпем систему равенств

«,/-=/>/(01!Оп". . .

. -г

п).

Умножим все эти равенства па величины и сложим их

Найдем суммы

(а ,<%,],

. . (а.аД .... 1, для чего пп-

пяшем систему равенств

«15

«Л (Я|1<?Я+- • -+«д-0»*)

<1=1, «)-

247

Умножим

31 и

равенства вначале на а,затем па а

(

» и т. д. д

1к

(г — I и) и каждый Р«'3 возьмем их сумму после щ-рр.

множеннн. Н результате получил»

[л,а,]

[/«!«,] 0*,

+ . •

•

[/ я^*]

Озк,

«ух

[/.«,а,|

[/ в»о*г!

0»А,

= 0,,-Ь •

•

+ 0«ь

и.чн в общих обозначениях

= Л

Ц0„ +

. . +

^1*05*

О 11.21)

Правые части последпнх равенств входят в левые части системы

уравнений для определения весовых коэффициентов . .

(),/,. Поэтому, принимая во внимание (ТП.7) и учитывая (VII.21).

имеем

[в,а

1=0 I

1 пул II

[о

]=0 }

(VI 1.22)

С учетом (VII.22) равенство (VII.20) примет вид

(VI 1.23)

Равенство (VII.23) выражает связь между величинами ос н^восо-

кыми коэффициентами

Теперь формулу (VII.19) можно переписать так:

-р7-<?//•

(VI 1.2'.)

Как видим, обратные веса необходимых неизвестных "равны квад-

ратичным весовым коэффициентам с соответствующими индексами.

Из равенства = ^ следует, что диагональные элементы

матрицы всегда положительны, так как представляют собой суммы

квадратов, делеипых на положительные величины р.

4. Веса двух последних неизвестных

(способ Энке)

Немецкий геодезист .')ике предложил нроегме формулы для дну

последних понзшчтнмх в сж:т«

мн норшлыгых уряипешш. п кагору

используют* прооГ»рлзоплниме коэффициенты. По многих случая,

практики птих формул оказывается тшлне достаточно.

На осиовлшш формул (VI /.0) п (VI 1.24) имеем

\ I

ОТКУДА

(\П.2п)

т. е. пес последнею пппвсггпого равен квадратичному коэффициенту

в последнем уравнении экшшалеитиои системы.

(формулу для веса предпоследнего неизвестного получи и ни при-

море четырех уравнении. Предпоследним неизвестным здесь будет т

Переставим мегтлми неизвестные т., и т, (конечно. с соответству-

ющими коэффициентами). Тогда, учитывая, что Л"

лз

и V,., меняются

ролями, можно написать

Л- \'<

> = \

;и

/ .

* 11 -*ц » "*33 '

Но

у(Д)

$4 _

.(3),

I I

у(3) ~ И

поэтому

'и- (VII-26)

* л

или. имея в виду (VI 1.25),

у<2>

Величины .Уз!' и легко найтн в любой схеме решения

нормальных уравпеппй.

Величину Л'м' вычисляют но формуле

, у(2)у{*) \

Все величины формулы (VI1.28) имеются или их легко ВЫЧИСЛИТЬ

любой схеме решения. Заметим, что в полной схеме решения

(тао.т. 32 и 33) величина ' имеется. Так, например,

,у(2)

за

ь таб.,. 33: Л

(

}

],49 + (1.08 = 1,67.

219

Таким образом, мы получили два способа вычисления весов ц

известных:

1) обратный вес любого неизвестного равен квадратичному весо-

вому коэффициенту с соответствующими индексами, т. е.

веса двух последних неизвестных легко получить по формулам

(VI 1.25), (VI 1.26) или (\

Н.27), а также

(VI

1.28).

Имеется еще один способ вычисления обратного веса неизвест-

ного, о котором будет сказано ниже.

5. Вычисление весов функций

Пусть дана функция /•"(/, I/.) и требуется оценить ее точ-

ность. Так как ошибка единицы веса предполагается известной, то

задача сводится к определению воса функции. Эту задачу можно,

решить доствточио просто, если учесть уже полученные результаты.

Прежде всего приведем функцию к линейному виду

^('1

/*)

/'О?+

-'К 'А°)+Шо

• -+01йг).

(Л,,29)

где Н

—

сумма всех нелинейных членов разложения.

Так кяк для приближенных значений . . ., ставится усло-

вие, чтобы их точность была достаточной для линеаризации любых

функций, с которыми приходится иметь дело в геодезии, то величи-

ной Я можно пренебречь.

На основании (VI 1.29) и с учетом обозначений

'К 'аН'О

(VII. ПО)

иолучнм

(/1 1к)= /

+ +

•

+1'кТк. (V11

:-Л)

Принимая теперь во внимание (VI 1.18), можно написать

/й-^о-ММ— •

Раскрывая скобки и группируя слагаемые по свободным членам

I, иолучаем

/'С. /'о-У (а

/,-

... +а,*/•'*)/,. (VII.32)

1-1

Напоминаем, что при оценке точности величины 1

{

играют рол»,

измеренных значений. Поэтому правую часть равенства (VI 1.32)

250

моиоЮ рассматривать как функцию результатов измерений, т. е.

р(1

, . . •• = (Л, . . /„). Тогда на основании (VII.32) имеем

/-7

/-1

+ + . . . : а^кГкЫ.

С.уммнруя почленпо, получаем

Принимая теперь по внимание соотношения (VII.23), оконча-

тельно получаем

(VI 1.33)

• )та формула (VI 1.33) решает поставленную задачу. Однако прак-

шческн ео выгодно применять лишь в тех случаях, когда неизвест-

ных мало, а оцениваемых функций много. Тогда, получив обратную

матрицу, легко оценить любую функцию. Такие случаи имеют место

в фотограмметрии. Прп большом числе неизвестных обращение ма-

трицы является задачей довольно сложной и применение формулы

(VII.33) становится нсвыюдпым. Б этих случаях обратный вес функ-

ции вычисляют в дополнительной графе по способу, описанному

ниже.

6. Вычисление веса функции

в дополнительной графе

Учитывая симметричность весовых коэффициентов, перепишем

формулу (VII.33) следующим образом:

+ I

0=1 -г

'УУЛг + +

. . Ь

-г ГкГ

(>*, Г*Г

<?А

ГьГ-Л'ы V...

-г

ГкГк'М-

Вынося н каждой строке общий множитель за скобки, н

М(м>

+ +

- - г ГМы),

11.111

у- ^ / / +''• • • • + /"*(;/*)• (V11-И)

Введем обозначение

/Ч^Л г /^«т - • /*(>/*- /./. (VI 1.35)

Тогдл выражению

(VI 1.34)

можно придать вид

— 1—^-а-- - -(VII-40)

' г

Из

(VI 1.35)

следует, что величины

можно получить из решения

нормальных уравнении, если в графе свободных членов расставить

величины — /•' (имея в виду, что величины С есть элементы обрат-

ной матрицы). Тогда формула (VI 1.30) в алгебраическом смысле

становится аналогичной формуле (\".С1), по которой в коррелатном

способе вычисляется значение

—

Iрс-\. т. е. формуле

—= . И'

- . . . тИ'Л-

По это же значение

—

\рг>

\ можно получить в графе И' схемы

решения нормальных уравнений как сумму произведений чисел

элиминационных строк на вышссгоящне |см. формулу (VI .20) |. От-

сюда вытекает следующее правило вычисления обратного веса функ-

ции.

В дополнительной графе /•' расставляют с обратными знаками

частные производные функции в строках тех основных уравнении,

номер которых равен индексу величины 1» этой графе выпол-

няют такие же преобразования, как в графе После завершения

всех преобразований обратный вес функции с обратным знаком

(т. к. со знаком минус) находится как сумма произведений чисел,

стоящих на пересечениях строк Л'с графой

, на вышестоящие числа,

т. е. но формуле

~1-гА'лг/^Ч . . . + (\'П.Л7)

252