Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

где И-""

развернутом виде,

Т7 = -

ЛТГ

^ТГ

•

•-•^ТГ- 4"-°. О'П.^

г оо ГГ

Формула (VII.50) показывает, что вес любой функции измерен,

ных величии после уравинплиия всегда повышается, так как первый

член пряной ЧАСТИ УТОН формулы есть обратпый вес функции Д

уравнивания, остальные члены, являющиеся произведениями эле>

ментов элн.чинационных строк в графе Л на вышестоящие числа

отрицательны. Заметим, кстити, что это есть еще один довод в пользу

принципа наименьших квлдоатон. Формулу (VI 1.50) можно выразить

в виде правила следующим образом.

Для получения обратного веса функции Р (х\ х'

) в таблице

коэффициентов делаю г дополнительную графу Р, в которую выписы-

вают частные производные

дг

(/ ==|

—

и)

в строк»х с соответствующими индексами I. Попутно с вычисле-

ниями коэффициентов нормальных уравнений вычисляют значения

1(70/1, 1

а.,Р1 . . ., ]да

Р\ и [^П

В схеме решения нормальных урнпнений также делают дополни-

тельную графу Р. в которую выписывают величины \<}а

Р\

. .

\(]а,Р\ в строках . . ., Л'

и пнжс — величину [дРР\. В этой

графе з процессе решения выполняют такие же преобразования,

как и в графе II".

После завершения всех преобразований обратный вес функции

получают как алгебраическую сумму значеппя \дРР] и произведе-

нии чпсел, стоящих иа пересечениях строк Е с графой Р, на выше-

стоящие числа.

Очевидно, что число дополнительных граф должио равняться

числу оцениваемых функций.

Сформулированные выше правила можно получить еще следу-

ющим образом, прибегая к алгебраическим аналогиям.

Сравнивая равенства

(VI 1.49)

с параметрическими уравнениями

иоправок

"г . *чиЧ-\-и и - 1 ")•

а нормальные уравнения (VI!.40) — с нормальными уравнениями

для неизвестных т

|/><х

а*]т

. -Ч {ряАО^ТА..4-{/7а

Ц=0,

нетрудно видеть, что значение = [дФ

1 имеет такой же алге-

' г

браический смысл, как и значение (/и

|. Огсюда следует, что вели-

чии» — [аФ

1 может быть получена но тем правилам, по кото-

рым получают величину [риЦ при помощп графы I таблицы коэф-

272

фицпентов и графы

Г-,

схемы решения нормальных уравпеппй. Для

этого вводится графа Р в таблице коэффициентов условных урав-

нений и дополнительная графа Р п схеме решепня норма л ьи их урав-

нений коррелят. При этом роль играют частные производные 1'\,

а всса р! заменяются обратными весами: ^

2. Вес уравненного значения

измеренной величины

Написав равенство

ДО-

ПОЛУЧИМ решение.

Поскольку в данном случае Р

— Р„ — . . . = Р

(

= 0;

то решение можно сформулировать в виде следующего правила:

для получения обратного веса уравненной

в е л и ч и и ы и таблицу коэффициентов вводится дополнитель-

ная графа х

{

, в которой выписывается -4-1 в 1-й строке. Далее по-

ступают точно так же, как при вычислении обратного веса функции.

§ 69. ПРИМЕРЫ УРАВНИВАНИЯ КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ

С ОЦЕНКАМИ ТОЧНОСТИ

Пример 1. Возьмем тот же пример, который решен в

67, т. е. систему пиво-

лирных ходов, показанных на рис. 14.

Напоминаем, что марки 18, 22 и 96 являются исходными, грунтовые ре-

перы 86, 02, 98 и 12 — определяемыми. Па рис. 14 выписаны исходные высоты

и суммы прсвышепнй, которые считаются измеренными величинами; направле-

ния звеньев показаны стрелками; и кружках обозначены номера звеньев.

В табл. 44 приведет,! обратные веса измеренных значений, вычисленные по

формуле

1 .V

При уравиивашш высоты и их разности (превышения) будем выражать

в миллиметрах.

Требуется произвести уравпивапие системы нивелирных ходов коррелат-

вым способом и получить средние нвадратпческие ошибки уравненного значе-

ния разпостп высот (#яп—//дя) и уравненной высоты реоера 12.

Таблица 44

Номер

Обратный Номер

ООцятпый

звена

вес

эвена вес

0,8

1,4

1,1

0,8

0,9

0,7

1,0

1,1

18 Заноз 5140

273

Составим условные урапвепнл. Число независимых уравнений будет рашво

г=п —л- = 9—4 = 5

(необходимых измеренных величин будет четыре). Выберем следующие услов-

ные уравпония:

3) <рз—

х'

— х\ = 0;

= 191890+^4-^—Гд —192

353

= 0;

Ф9

= 183506+^+Хд-а-з-192 353 = 0.

Коэффициенты условных уравнений поправок очевидны. Вычислим свобод*

вые члены втнх уравнений

И-'»=409-4+905 - 5585 = + 14;

И'

=4694 +

6944 —11

652= —14;

=8320 - 6944 -1368 =+ 8;

И'

= 191890 —

5585

«52 — 5580—192

353

= + 24:

IV ь=183 506 +

6125

+ 8320

—

5580—192 353= + 18.

В табл. 45 необходимо предусмотреть графы для частных производных

функции, точности которых нужно оцепить, т. е.

= — #83 «=

•

в'

Очевидно, что средняя квадратпческая ошибка Я

равна средней квадра-

тпческой ошибке превышения х'

, так как высота Н\% — исходная.

Напоминаем дальнейший ход действии при оценке точности функций. По-

лученные в таблице коэффициентов (см. табл. 45) значения [дд

'], (одЛ,

., {<705/^1 и {д^Т] выписывают в дополнительную графу схемы решения нор-

мальных уравнений, после решения которых получают обратный вес функции

по формуле

(5) .

г г

, Г^-И . _

77 " '^""ЖГ

—

д^П " ^

" "

где

Нормальные уравнения решены способом краковяиов в табл. 4С.

Выписав полученные значения коррелат в заголовки граф «а,», «а,»,..., «а

»,

вычислим поправки и величниу —[ЛИ'], которая должиа сходиться со значе-

нием + |р1>

], полученным как сумма графы «(рг

)». Та же величина [рь

,а

] полу-

чена в графе «IV» схемы решения иормальных ураввеццй. Все три значения

[ри

] совпадают

пределах точности вычислений, что свидетельствует о правиль-

ности уравнительных вычислений. Значения обратных весов функций^! и Р

совпадают с теми, которые получены в способе необходимых неизвестных. Значе-

ние ошибки единицы веса ц= *|/

8,0 мм также почти совпадает с тем,

которое получено ранее.

Р.

о.о . я со

10 иь'чго" —'

ю"

•С >3»

МЛГООаОЙЛОГ»

О. <1

'О ос

эт.

. ^ т

о"»л о" о" о"

114-11

Т+-Н

—• СО С]

^ О

-4-+ I I -Н ! +

+ I

сс о оо

ет

о_

о-^оо-^-^оо-*-

С!

<м

СО

•4:

сч

о_

со

«ч

«а 1 о

СО

+ +

СП

Сг

оз

ГО

СО

см

о»

274

е-

с.

•

с. со

чг со

«Гочг

—

Ь-

Г»

и;

с о до

7 + М 1

Же

+| ' |

СС5

ООО о*о о

т г-

ООО оо'

1 1

чг —

—

11-м

_ 1П

-г- V

«-„•«Г,

о о ООО

1 1+1

ООООО

+4 1

,-. е^ 1С

моооо —

со'-'-

о о

1^11 1

I-

СС

1-»

—' '

ь.

- а.

—

ог

г ^^ом

1 1

о »л «-1

Г-.ОО.М

о ООО

<м

со

с»

•С

•КТ'О»

00 ^

Ю О сосз_

ОчнОЧ

1++

о'

•=

о о

^Г

оо

о о

г^м'

г-

е^

о"-

-к

с^

с!

СО

со

•-»

Г5 м

п - а

'< "<

•ч

276

В заключение полупим уравненные значения измеренных величин; нро-

верпм^условиые уравнения

1 "Г

'Ч-0125—0,0 -0119,0 мм;

х'

=г

4-1

«8320—5,4=8314,6 мм;

х'

= х

-}- г

=5580 -{- 0,5 =

558С.5

мм;

х\ ~х

= 1308—

1,8

130(5,2

мм;

х\ —х

+1-

=4694—0,4 = 4693,0 мм;

=*в+=

052 —10,0 =11642,0 мм;

—905—6,2= —898,8 мм;

х'

г„

+ г

=6944+4,1=69'18,4 мм;

*э =

'9 + ''9——5585—7,5= —5592,5 мм;

=—+*

—

— 0,1 мм;

Фа= Ъ

Фз—=

<р,

191

890+*д —х'

—192 353=0;

Фв —

ЮЗЭОб+х^-И^—ж,—192353= г 0,1 мм.

В пределах точности округлений все условные уравнения удовлетворяются,

а уравненные значения пзмерепных величин совпадают с полученным] пара-

метрическим способом.

Таким образом, еще раз убеждаемся в эквивалентности двух основных спо-

собов уравнивания: параметрического и коррелатпого.

Пример 2. Решим пример 2, приведенный в § 67, коррелатпым способом.

Напомипаем условие задачи п некоторые данные. В треугольнике ЛВС (см.

рис. 15) известны координаты вер глины А. Для определения положения двух

других верппш измерено семь величин:

дирекционныи угол а

Вс

—

338

0 Г43";

углы А г.. '»6°25'1.')";

* И х^08°И!'27";

» С г, =65°33'09*;

стороны .«

4Д

= 100000.0 см;

» 8

ВС

. . . г

795^8,1

см;

» $

СА

= 101866,0 см.

Веса равны

/>1

= 0,4;

Ра

= Рз =

/>4

= 1;

Ошибка единицы песа р =» 5; число измеренных величин п 7; число не-

обходимых велпчип к = 4; число избыточных величин г=3.

о--

Таким образом, независимых условных уравнений должно быть три. в эти*

условных уравнениях будут фигурировать только величины х

, х

, х,,

и х

Днрекционный угол а

вс

в математических соотношениях между измерен-

нымп величинами и, следовательно, в условных уравнениях не участвует, по-

этому поправки не получит. Заметим, что в примере 2 § 67 уравнение поправок

для = а

вс

было

составлено, но поправка оказалась раввой нулю, что соот-

ветствует

логике

задачи: прп

олиом

дирекциопном угло никаких невязок в ориен-

тировании возникнуть но может. Если бы в треугольнике была измерена только

одна сторона, то и она поправки не получила бы.

Составим условные уравнения

ф|=+ -Г —180° = 0;

<Г* г —:—г

—

х. ^ 0;

. 5М1г'

Фз = *.

Вычисляй вевязкн

зшх

—

г. «>.

И', = 179° 59'5Г

—

-Я";

, .-чпб8°0Г27*

1Г, - 100000,0

(

с 101 860,0 см= + 1.0 см;

„ мп

46°

25' 15"

Нз- 100000.0

;

п(;5

озз/

» 79588,1 см=-11,1 см.

Получим частные производные фикций <р, и ф

д^п, _

ОЦ -! С05 Х

дх* ~

гг=°; — ^

аГх

•

51ПГз

ыу \ •_

а<

К р'

СМ

101900

с1д

, т. е. в

=—-г— с1е 68° 01' = 0.20;

_ 51

п Х

С05 Д~4

&Х

г-III2".,

* 21П Г.,

Т.

е.

278

101

900

й44=

= - ^ с1

65° 33'

- -0,22;

д<р

_ 51пг

дх

~ ~ *» *

**- 1000

д(р

= 0, т. е.

= 0;

дфэ

•щ- ~ *

•

; а

з « -рг- с1# 46° 2о' = + 0,

_ л

дТГ -

зз = 0,

дфз

79 600

—

а • си?

* I; а.,3 с

6.33' -0,17;

<?Фз _ а-

. 796

щг = «вз - —1; «л-О.

Выразим площадь треугольника п виде функции измеренных величин

Л* м

= 5 см

10-4 4

' ь • х

•

я>

№

Возьмем частные производные функции Р

'.с -|Г аг

см

.х

см

<>Г , Ор

1000 •

/<"з = ——

со

' = "0

72;

дГ дГ _

79 600

ИГ,

Г4==0;

"^Г 20000 • 20000 '

т. е. Р

- —3,69;

=г,=о.

0*1

Составим таблицу коэффициентов (табл. 47), имея в виду приведение кор-

релатных уравнений поправок к равпоточному виду. Нормальные уравнения

решены в табл. 48.

Коитроль по сумме уравнении

(З.У0 —

0,72)

2.007 (3.56—2,02)

(-7,088)+ (0.81+0.83)

14.076 -

+ (-9.00 +1.60—

11.10)

= +3,18

•

2.007-

1.54 •

7.088+

1.64

-14.076-

—18.50 = +18,55

—18.50

= +0.05.

Остаточная погрешность препебрегаемо мала. Контроль по

(р«

] хороший:

все три зиачения (|г'г"), — [/сцг| и в графе И') с точностью до 0,1 совпадают

н достаточно близки к тому, что нолучено и иримере 2

67.

Попрании V, получешше в табл. 42 и 47, также сходятся до 0,1. Обратный

вес функции также оказался одинаковым в обоих примерах.

Таким образом, мы еще раз убедились в эквивалентности двух основных

способов уравнивания.

Г—

I 1

•!• I 1

г^

ем

—

О о ч-

1 1

сг

^ сз 1.-з [-_

= | V» 1

о" ео"

) о*

5 1 I ++-г + + 1

^ I I «М — Г"-

С 1 1 СМ

1 1 оо'о со' о

+ + +

МГССМ

с »

(

е^ ь- —

о о о

I г Г о" 1Л

1 аз

1 —

1 с

—•

| +

I- Г- —

—

из «-

с'с: с' о" о* о

+ 1+1

С1 «М

т-

СЧ С >

с о

о"

с" о о

+1 + 1

I *3

осо

о.

с?

•«-1

+++

N. 1

« 1

1-1М--

<5 ее о

^ СС «Л О <_>_

—"

— С* 1Л

-"О —"

г 1 ' ' 1

-Г-Т—Г Т

г 1

9*-

-.в

_о

СМ ^ ГС

г- с с

С о'с г: V? с

- + +

л Я Я

» * » О О и

Г.

X М -чт

мл.': о. о

с^-'о

—'

см с-* сс

I +

<- О О

— ОС

I-

с с с; с —

с п г»

СМ Г4

С.

С:

О С

-I—|

».*э «О о

'О* С о

оо

еч

ем"

О «

СМ V-

с С

+ -г

ем —<

С ч-

О —:

СО*

в а

г-

ЭС

со

ст.

— —

П гч уд

-экси

«V

т-МЯч- Ю

С 1--

280

Таблица 39

л,

А»

л.

И'

Л'1

лч

3,00 -0,02

4-0,007

1,11

4-0,20

-0.0С7

4-0,45

—0,00

43,000

+ 1Д>

+0,72

-0,240

4-2,02

-5,10

4-1,700

4-5,16

л а

Аз

1,11

+0,45

-0,405

+ 1.54

-1,387

-11,10

42,03

-1,829

-0,83

+5,13

-4,621

-10,20

к-

4-2,007

-7,088

+0,79

4-14,070

\р*

-) =

-11,12

414,076

= 185,7

юдз

-1,70

42,152

18,02

-12,03

4-15,228

В заключение внесем поправки в результаты пзмеренпй п проверим услов-

ные уравнения

_4-

х^

+ х\ —180° = 46° 25' 22,2"-{- 68° 01' 27.6'+

+ 65° 33' 10.2'—180

=0;

46° 25' 22.2'

<р

= 100002,0 ^

п65

-ЗЗМ0.2"-

79а8<1=

5»пС8° 01' 27.6"

= 100002.0 ^

пб5

3у Ш

-1018С9.о = 0.

Все условные уравнения практически удовлетворяются.

Глава VIII

ВИДОИЗМЕНЕНИЯ ОСНОВНЫХ СПОСОБОВ

УРАВНИВАНИЯ

§ 70. ГРУППОВЫЕ СПОСОБЫ

РЕШЕНИЯ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим четыре модификации коррелатного способа уравни-

вания, которые известны под следующими нязваппями: 1) двухгруп-

повои способ Гаусса, 2) способ приближении Гаусса, 3) способ Крю-

гера. 4) способ Больца.

Из этих четырех способов в практике геодезических работ при-

меняют только второй п третий. Первый нужен лишь для обоснования

281