Беляев В.М., Миронов В.М. Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли. Часть 1: Тонкостенные сосуды и аппараты химических производств
Подождите немного. Документ загружается.
51
Кольцевой момент K=μM.
Линейная деформация края цилиндра
.
2
0
2
0
P
sE
kR
−=Δ
Угловая деформация края цилиндра
.
2
0
22
0
P
sE
Rk
−=θ
Коэффициент затухания
.
)1(3
4
22
2
sR
k
μ−
=
Для стали при μ=0,3
.
285,1
Rs
k =
Рис. 3.4
Цилиндр, край которого нагружен моментами М
0
(Н⋅м/м). Схема дей-
ствия моментов приведена на рис. 3.4,б.
Перерезывающая сила
.sin)exp(2
0
kxkxkMN
−
−
=
Меридиональная сила U=0.
Кольцевая сила
).sin)(cosexp(2
0
2
kxkxkxRMkT −−=
Меридиональный момент
).sin)(cosexp(
0
kxkxkxMM
−
−
=
Кольцевой момент K=μM.
Линейная деформация края цилиндра
.
2
0
22
0
M
sE
Rk
−=Δ
52
Угловая деформация края цилиндра
.
2
0
23
0
M
sE
Rk
−=θ
Если край оболочки нагружен одновременно силами Р
0
и моментами
М
0
, то значения сил, моментов и деформаций будут равны их сумме, подсчи-
танной отдельно для каждого случая.
Сферический сегмент, край которого нагружен радиально направлен-
ными распределенными силами Р
0
(Н/м). Схема действия сил приведена на
рис. 3.5,а.
Поперечная распорная сила по краю сегмента
.sin
00
ϕ
−
=
PP
Силы и моменты рассчитываются в точках на угловом расстоянии ω от
края сегмента (рис. 3.5,б).
Перерезывающая сила
).sin(cossin)exp(
00
ω
−
ω
ϕ
−
=
ω
kkkxPN
Меридиональная сила U
ω
=N
ω
ctgϕ
0
.
Кольцевая сила
.cos)exp(2
0
ω
ω
−
= kkkRPT
Меридиональный момент
.sin)exp(sin
1
0
ωω−ϕ=
ω
kkPR
k
M
Кольцевой момент
.ctg
0
ϕθ−μ=
ωωω
R
D
MK
Линейная деформация края сегмента (вдоль радиуса)
.sin
2
0
2
00
ϕ−=Δ P
sE
kR
Угловая деформация края сегмента
).sin)(cosexp(sin
2
00
2
0
ω+ωω−ϕ−=θ kkkP
sE
k
Коэффициент затухания для сегмента
.
)1(3
4
2
22
s
R
k
μ−
=
Для стали при μ=0,3
./285,1 sRk =
53
Рис. 3.5
Сферический сегмент, край которого нагружен моментами М
0
(Н⋅м/м). Схема действия моментов приведена на рис. 3.5,в.
Перерезывающая сила
.sin)exp(
2
0
ωω−=
ω
kkM
R
k
N
Меридиональная сила
.ctg
0
ϕ
−
=
ωω
NU
Кольцевая сила
).sin)(cosexp(
2
0
2
ω−ωω−=
ω
kkkM
R
k
T
Меридиональный момент
).sin)(cosexp(
0
ω
+
ω
ω
−
=
ω
kkkMM
Кольцевой момент
.ctg
0
ϕθ−μ=
ωωω
R
D
MK
Линейная деформация по радиусу
.sin
2
00
2
0
ϕ−=Δ M
sE
k
Угловая деформация
.
4
0
3
0
M
sER
k
−=θ
Конус, край которого нагружен радиально направленными распреде-
ленными силами Р
0
(Н/м). Схема действия сил приведена на рис. 3.6,а.
Рассмотрим приближенное решение З.Б.Канторовича. Основные обо-
значения приведены на рис. 3.6,б.
Перерезывающая сила
).sin)(cosexp(cos
1110
4
kkkP
x
l
x
l
N −−ϕ=
54
Меридиональная сила
.tg
ϕ
−
=
N
U
Кольцевая сила
.cos)exp(costg
)1(32
110
4
4
2
kklP
x
l
xs
T −ϕϕ
μ−
−=
Меридиональный момент
.sin)exp(cos
)1(3
tg
110
4
4
2
kkP
x
l
x
s
l
M −ϕ
μ−
ϕ
=
Кольцевой момент
.
M
K
μ
≈
Линейная деформация
.
td
)1(32
2
0
4
2
RP
slsE
ϕ
μ−
=Δ
Угловая деформация
.
)1(32
0
2
2
RP
Es
μ−
±=θ
Коэффициент жесткости
).(
tg
)1(32
4
2
1
xl
s
k −
ϕ
μ−
=
Рис. 3.6
Конус, край которого нагружен моментами М
0
(Н⋅м/м). Схема дейст-
вия моментов приведена на рис. 3.6,в.
Перерезывающая сила
.sin)exp(
tg
)1(32
110
4
4
2
kkM
s
l
x
l
x
N −
ϕ
μ−
=
Меридиональная сила
55
.tg
ϕ
−
=
N
U
Кольцевая сила
).sin)(cosexp(
)1(32
1110
4
4
2
kkkM
x
l
x
l
s
T −−
μ−
−=
Меридиональный момент
).cos)(sinexp(
1110
4
kkkM
x
l
s
l
M +−=
Кольцевой момент
.
M
K
μ
≈
Линейная деформация
.
)1(32
0
2
4
2
RM
E
s
μ−
=Δ
Угловая деформация
[
]
.
tg
)1(34
0
2
3
4
2
M
s
l
Es
ϕ
μ−
±=θ
Для анализа работы единичных рассмотренных оболочек, нагруженных
известными краевыми силами и моментами одновременно, следует придер-
живаться порядка:
а) по мембранной теории определить толщину стенки обечайки;
б) подсчитать значения коэффициентов затухания (k или k
1
), в зависи-
мости от расстояния до края оболочки;
в) задаваясь расстоянием от края оболочки, рассчитать силы и моменты
N, U
кр
, Т
кр
, М, К и выбрать их максимальные значения.
Проведенные расчеты показали, что для всех оболочек на расстоянии
k
x
π
= силы и напряжения, связанные с краевыми эффектами, составляют все-
го несколько процентов от их значений на краю оболочки, поэтому учиты-
вать их далее указанного расстояния нецелесообразно.
При ручном счете достаточно определить значения напряжений в двух
точках: при kx=0 и при kx=π/4. Значения функций при этом следующие.
При
kx=0
;0sin)exp(
=
−
k
x
k
x
;1cos)exp(
=
−
k
x
k
x
.1)sin)(cosexp(
=
±
−
k
x
k
x
k
x
При kx=π/4
;327,0sin)exp(
=
−
k
x
k
x
56
;322,0cos)exp(
=
−
k
x
k
x
;645,0)sin)(cosexp(
=
+
− k
x
k
x
k
x
.0)sin)(cosexp(
=
−
−
k
x
k
x
k
x
Дополнительные напряжения будут равны:
.
6
;
6
;;
22
кр
кр
кр
кр
s
K
s
M
s
T
s
U
KMtU
±=σ±=σ=σ=σ
Кроме того, у края оболочки возникают напряжения среза
.
s
N
=τ
Полные напряжения будут равны
.;;
крмем
2
крмем
1
s
N
KttMUU
=τσ±σ+σ=σσ±σ+σ=σ
В общем случае значения сил Р
0
и моментов М
0
неизвестны и требуется
их определение. Для этого используются уравнения совместности деформа-
ции сопрягаемых оболочек. Суть этих уравнений сводится к условию равен-
ства между собой линейных и угловых перемещений краев в месте соедине-
ния оболочек. Наиболее общая система таких уравнений имеет вид
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ+θ+θ=θ+θ+θ
Δ+
Δ+Δ=Δ+Δ+Δ
−−
−−
,
;
"''
)(
''
вн
''
)(
'
вн
"''
)(
''
вн
''
)(
'
вн
MoPPoMoPPo
MoPPoMoPPo
где Δ - радиальное перемещение оболочек;
θ - угловое перемещение их краев.
Верхние индексы относятся к сопрягаемым оболочкам. Нижний индекс «вн»
характеризует деформации под действием внешних сил, например, под дей-
ствием давления, а индекс «(Р
0
-Р)» – указывает на то, что деформация про-
изошла под действием алгебраической суммы краевой силы Р
0
и распорной
силы Р. При плавном соединении оболочек
00sin
=
°
−
=
U
P
,
к чему следует всегда стремиться.
Линейные и угловые перемещения от действия внутреннего давления
определяются следующими формулами.
1. Сферическая оболочка. Радиальное перемещение по главному радиу-
су R
).1(
2
2
вн
μ−=Δ
sE
pR
Перемещение по радиусу параллельного круга
.sin)1(
2
0
2
вн
ϕμ−=Δ
sE
pR
θ
вн
=0.
57
2. Цилиндрическая оболочка. Цилиндр, нагруженный внутренним газо-
вым давлением:
.0);2(
2
вн
2
вн
=θμ−=Δ
sE
pR
Цилиндр, нагруженный гидростатическим давлением:
.;
2
вн
2
вн
sE
R
sE
xR ρ
=θ
ρ
=Δ
3. Коническая оболочка нагруженная газовым давлением:
.
2
tg3
);2(
2
tgsin
2
вн
2
вн
sE
px
sE
px ϕ
=θμ−
ϕϕ
=Δ
Правило знаков. Краевые силы Р
0
и линейные деформации положи-
тельны, если они вызывают увеличение радиуса оболочки. Краевые моменты
М
0
и угловые деформации положительны, если они поворачивают край обо-
лочки наружу.
В некоторых случаях задача упрощается. Например:
а) при шарнирном закреплении частей М
0
=0 и Р
0
находится из уравне-
ния
;
//
)(
//
вн
/
)(
/
вн
PPoPPo −−
Δ+Δ=Δ+Δ
б) край оболочки жестко заделан в недеформируемое основание, тогда
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=θ+θ+θ
=Δ+Δ+Δ
−
−
;0
;0
//
)(
/
вн
//
)(
/
вн
MoPPo
MoPPo
в) край оболочки шарнирно соединен с недеформируемым основанием
.0
/
)(
/
вн
=Δ+Δ
−PPo
Порядок определения краевых напряжений:
а) вычерчивают эквивалентную расчетную схему с указанием нагрузок и оп-
ределяемых сил и моментов;
б) подсчитывают мембранные силы U и T, а также распорные силы Р;
в) составляют уравнения совместности деформации, определяют значения
линейных и угловых перемещений и подставляют их в уравнения. Решением
уравнений определяют значения
краевых сил и моментов Р
0
и М
0
;
г) определяют силы и моменты от краевого эффекта; практически достаточно
подсчитать их для двух сечений: при kx=0 и при kx=π/4;
д) по наибольшим значениям сил и моментов определяют суммарные напря-
жения;
58
е) по одной из теорий прочности (третьей или четвертой) определяют экви-
валентные напряжения и сравнивают их с допускаемыми. В случае невыпол-
нения условия прочности следует увеличить толщину оболочек, изменить
форму их сопряжения, или укрепить края кольцами жесткости.
3.1. Цилиндрическая обечайка, жестко заделанная в недеформируемое
основание и нагруженная внутренним давлением р
Система уравнений совместности деформаций в соответствии с эквива-
лентной схемой, изображенной на рис.3.7,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=θ+θ+θ
=Δ+Δ+Δ
.0
;0
вн
вн
MoPo
MoPo
Определим линейные и угловые перемещения:
;0;
2
2
вн
2
вн
=θ
μ
−
=Δ pR
sE
;
2
;
2
2
0
2
2
0
RP
sE
k
RP
sE
k
PoPo
−=θ−=Δ
.
4
;
2
2
0
3
2
0
2
RM
sE
k
RM
sE
k
MoMo
=θ=Δ
Подставим полученные значения в систему уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−
μ−
0
42
;0
22
2
2
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
RM
sE
k
RP
sE
k
RM
sE
k
RP
sE
k
pR
sE
и после ее решения получим
.
4
2
;
2
2
2
00
p
k
Mp
k
P
μ
−
=
μ
−
=
Полагая цилиндрическую обечайку стальной, имеем
.26,0;66,0;
285,1
00
psRMsRpP
sR
k ===
На краю оболочки при kx=0
.;
4
2
;
2
2
;
2
2
00
2
000 =====
μ=
μ
−
=
μ
−
−=
μ−
=
xxxxx
MKp
k
MpRTp
k
N
Если цилиндр закреплен еще и шарнирно, то М
0
=0 и имеется всего одно
уравнение совместности деформации
,0
вн
=Δ+Δ
Po
тогда
Рис. 3.7
59
.
2
2
;0
2
2
2
0
2
0
2
p
k
PRP
sE
k
pR
sE
μ
−
==−
μ−
3.2. Цилиндрическая обечайка, жестко заделанная в недеформируемое
основание и нагретая по отношению к основанию на t K
Система уравнений совместности деформаций, в соответствии с экви-
валентной схемой, изображенной на рис.3.8
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=θ+θ+θ
=Δ+Δ+Δ
.0
;0
вн
вн
MoPo
MoPo
Обозначим линейный коэффициент температур-
ного расширения материала обечайки через α. Тогда
радиальные и угловые деформации будут равны
;0;
внвн
=θα=Δ tR
;
2
;
2
2
0
2
2
0
RP
sE
k
RP
sE
k
PoPo
−=θ−=Δ
.
4
;
2
2
0
3
2
0
2
RM
sE
k
RM
sE
k
MoMo
=θ=Δ
Подставим полученные значения в уравнение совместности деформации
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=+−α
0
42
;0
22
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
RM
sE
k
RP
sE
k
RM
sE
k
RP
sE
k
tR
и разрешим его относительно силы Р
0
и момента М
0
:
.
2
;
2
00
R
k
tsE
M
kR
tsE
P
α
=
α
=
Если край оболочки закреплен шарнирно, то М
0
=0 и имеется всего одно
уравнение совместности деформации
,0
вн
=Δ+Δ
Po
тогда
.
2
;0
2
0
2
0
kR
tsE
PRP
sE
k
tR
α
==−α
Подобный расчет необходимо производить главным образом для аппа-
ратов, изготовленных из материалов с низкой теплопроводностью. В метал-
лических аппаратах разность температур очень мала, поэтому краевые силы
и моменты от температурных напряжений незначительны, и их можно не
учитывать.
Рис. 3.8
60
3.3. Крышка в виде шарового сегмента, жестко заделанная по краю и на-
груженная внутренним газовым давлением р
Схема нагружения и эквивалентная схема представлены на рис.3.9.
Рис. 3.9. К примеру 3.3
а – схема нагружения; б – эквивалентная схема; в – определение распорной силы
Мембранные силы в сферической оболочке от давления р
.
2
мм
pR
ТU
==
Распорная сила
.cos
2
ϕ=
pR
P
Линейная и угловая деформации края сферического сегмента
;0;sin
2
1
вн
2
вн
=θϕ
μ
−
=Δ pR
sE
;sin)(
2
;sin)(
2
0
2
)(
2
0
)(
ϕ−−=θϕ−−=Δ
−−
PP
sE
k
RPP
sE
k
PPoPPo
.
4
;sin
2
0
3
0
2
M
sER
k
M
sE
k
MoMo
−=θϕ−=Δ
Уравнения совместности деформации –
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−−−
=ϕ−ϕ−−ϕ
μ−
,0
4
)(
2
;0sin
2
sin)(
2
sin
2
1
0
3
0
2
0
2
2
0
2
M
sER
k
PP
sE
k
M
sE
k
RPP
sE
k
pR
sE
откуда находятся краевые силы и моменты
.
4
1
;
sin2
1
2
2
00
pR
k
MpR
k
PP
μ
−
=
ϕ
μ
−
=−
Далее определяются силы и моменты от краевых эффектов