Беляев В.М., Миронов В.М. Конструирование и расчет элементов оборудования отрасли. Часть 1: Тонкостенные сосуды и аппараты химических производств

Подождите немного. Документ загружается.

2.1. Основы безмоментной теории

Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек предполагает

следующие допущения:

1. Толщина оболочки должна быть достаточно малой по сравнению с

ее другими геометрическими размерами. Например, для цилиндра

2,01,0 −≤

где R

– внутренний радиус оболочки.

Вследствие малой толщины нормальные напряжения растяжения или

сжатия по толщине оболочки не изменяются, величина их в R

/s раз больше

изгибных, что и определяет безмоментное состояние.

2. По форме сосуд обязательно должен представлять оболочку враще-

ния.

3. Нагрузка (давление на стенки) должна быть симметричной относи-

тельно оси вращения.

Давление на стенки может изменяться вдоль оси вращения, например,

при наличии жидкости в вертикальном аппарате. Такой аппарат можно счи-

тать

по мембранной теории, однако если его положить горизонтально, то на-

грузка станет несимметрична оси и использование теории будет невозможно.

Оболочкой вращения называется оболочка,

срединная поверхность которой образована враще-

нием какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежа-

щей в ее плоскости. Срединная поверхность – это

поверхность, равноотстоящая от внутренней и на-

ружной стенок

оболочки. Радиусы кривизны мери-

дионального и кольцевого сечений срединной по-

верхности

=bO≈dO, R

=aA≈bA.

Для определения усилий и напряжений в

оболочке вращения (рис. 2.1) от действия внут-

реннего давления р выделим методом сечений

элемент Э, образованный двумя меридиональными и двумя кольцевыми се-

чениями.

Меридиональное сечение – это сечение оболочки плоскостью,

проходящей через ось вращения.

Кольцевое сечение – это сечение оболочки конической поверхностью с

вершиной на

оси вращения и с образующими, пересекающими поверхность

оболочки под прямым углом.

Рис. 2.1. Схема обо-

лочки вращения

На выделенный элемент Э действуют

силы и моменты, указанные на рис. 2.2.

Рассмотрим условие равновесия выделен-

ного элемента Э.

Так как рассматривается безмомент-

ная теория, то принимают K=M=N=0,

где K – кольцевой момент на единицу

длины меридиана срединной поверхности;

М – меридиональный момент на

единицу длины кольцевого сечения сре-

динной

поверхности;

N – перерезывающая сила на едини-

цу длины кольцевого сечения срединной

поверхности.

Действующие силы, не равные нулю:

U – меридиональная сила на едини-

цу длины кольцевого сечения срединной

поверхности;

Т – кольцевая сила на единицу дли-

ны меридиана срединной поверхности.

Запишем уравнение равновесия элемента в проекциях на нормаль n к

срединной

поверхности.

На грани ab длиной dy действует нормальное меридиональное напря-

жение σ

=σ . (2.1)

Тогда меридиональная сила упругости, действующая на грань ab,

sdyUdy

Она действует под углом

π d

к нормали, поэтому ее проекция на нормаль

будет

βσ−≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ sdyd

sdy

cos .

Сила, действующая на грань

cd, дает, без учета бесконечно малой

третьего порядка, такую же проекцию на нормаль

На гранях

ac и bd длиной dy действует нормальное кольцевое напряже-

ние σ

=σ . (2.2)

Тогда кольцевая сила упругости, действующая на гранях

ac и bd

sdxTdx

Рис. 2.2. Схема действия сил

и моментов на элемент Э

Эта сила составляет с нормалью угол

. Ее проекция на нормаль

ασ−≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ sdxd

sdx

cos .

Сила от действия внутреннего давления р P=pdxdу.

Алгебраическая сумма проекций всех сил должна быть равна нулю. То-

гда

−

σ pdxdysdxdsdyd

Так как

Rddx

Rddy

, получим окончательно уравнение

Лапласа

. (2.3)

Для расчета одного уравнения с двумя неизвестными недостаточно, по-

этому следует найти еще одно уравнение. Таковым будет уравнение равнове-

сия зоны оболочки.

Рассмотрим условие равновесия зоны оболочки ниже уровня ее опоры

(рис. 2.3). Кольцевым сечением выделим эту зону на уровне mn. На зону дей-

ствуют силы:

- от давления среды p

на уровне mn;

- вес оболочки и содержимого в зоне G;

- сила упругости U – меридиональная сила.

Так как расчет производится по безмоментной

теории, то моменты и перерезывающие силы

принимаются равными нулю.

В соответствии с рисунком:

RACAB

A =

;

= sin

Rr .

Тогда уравнение равновесия зоны оболоч-

ки, т.е. сумма проекций всех сил на ось Х, будет

0sinsin2

=βπ−βπσ GRpsR

∓ , (2.4)

где знак (-) характерен для данного случая, а (+) – когда сечение mn находит-

ся выше уровня опоры и рассматривается верхняя отсеченная часть.

Используя уравнения (2.1) – (2.4) можно получить

расчетные формулы для вычисления напряжений в любой

точке оболочки вращения.

Тонкостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная

внутренним газовым давлением р (рис. 2.4). Радиусы мери-

дионального и кольцевого сечений равны

соответственно

=∞; R

=R,

где R – радиус цилиндра.

Тогда, по уравнению Лапласа (равновесия элемента оболочки),

Рис. 2.3. Равновесие

зоны оболсчки

Рис. 2.4

pRTp

=σ==+ ;;

Из уравнения равновесия зоны оболочки (без учета веса среды и оболочки)

получим

;

;0sinsin2

=β=β−β pRU

pRpR

;

=σ= .

В действительности в результате действия нор-

мальных напряжений в стенке тонкостенного сосуда

все же возникают изгибающие моменты, изменяющие

кривизну оболочки. Для оценки их значения рассмот-

рим определение кольцевых моментов в цилиндриче-

ской оболочке (рис. 2.5).

В результате упругой деформации от давления р

дуга АВ принимает размер А

. Это происходит за

счет растягивающих сил Т. Кривизна дуги уменьшает-

ся за счет действия кольцевых моментов К, лежащих в

плоскости кольца.

Относительное удлинение элемента цилиндра

определяется по формуле

=ε ,

где Е – модуль упругости материала цилиндра.

Для цилиндрической обечайки

=ε .

Под влиянием момента К изменяется кривизна элемента, т.е. радиус R полу-

чает приращение

ΔR:

RRRRR

+=+=ε+=Δ+

Величину изменения кривизны элемента под влиянием момента К

можно выразить так:

RRR

−

откуда

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ+

−=

RRR

EJK

Преобразуя выражение в круглых скобка и учитывая, что R

>>RΔR, получим

EJK ==Δ

= ;;

Рис. 2.5

Относя кольцевой момент к единице длины стенки, т.е. к прямоуголь-

нику длиной 1 и шириной s, находим

;

323

J =⋅⋅==σ

⋅

= .

Таким образом, величина напряжения от изгиба в цилиндрической

обечайке равна примерно p/2, что в R/s раз меньше σ

Тонкостенная сферическая оболочка, нагруженная внутренним газо-

вым давлением р (рис. 2.6). Радиусы меридионального и кольцевого сечений

равны радиусу шара: R

=R.

По уравнению равновесия зоны оболочки (без

учета веса среды и оболочки) получим

0sinsin2

−

;

pRpR

;

=σ= .

Из уравнения Лапласа

;; pRTUp

=+=+

;

pRT

=σ=σ=+

Тонкостенная коническая оболочка, нагруженная внутренним газовым

давлением р (рис. 2.7).

Для возможного применения уравнения равновесия зо-

ны оболочки выразим текущий радиус и угол β через из-

вестные величины

α=βα−

=βα= cossin;

;sinxr .

Тогда (без учета веса среды и оболочки) получим

pxpx

UpxU

;

;0sincos2

=σ

==α−α .

По уравнению Лапласа

;tg)(;;

α==∞==+ xxRRRp

pxT

=σα=

;tg .

Полученные формулы применимы для конических оболочек с углом

при вершине конуса 2α≤160°.

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Тонкостенная цилиндрическая оболочка, нагруженная внутренним гид-

ростатическим давлением жидкости плотностью ρ (рис.

2.8).

В случае опоры оболочки на днище гидростатиче-

ское давление столба жидкости вызывает только кольце-

вые напряжения. Без учета веса оболочки меридиональная

сила и меридиональные напряжения равны нулю, т.е.

0;0

Тогда из уравнения Лапласа, при R

=R и гидростатиче-

ском давлении на высоте уровня жидкости x, равном ρgx,

кольцевая сила Т будет равна

gxR

Соответственно кольцевые напряжения

gxR

=σ .

2.2. Основы расчета тонкостенных сосудов,

работающих под внутренним давлением

Согласно безмоментной теории расчета на прочность в каждом элемен-

те тонкостенного сосуда действует два напряжения – меридиональное σ

кольцевое σ

, причем всегда σ

≥σ

Продольные и поперечные швы обечаек сварных стальных сосудов и

аппаратов должны быть только стыковыми. Допускается тавровое соедине-

ние при приварке плоских днищ, фланцев и т.п. В продольных сечениях тон-

костенных сосудов кольцевые напряжения больше меридиональных (за ис-

ключением сферических оболочек), поэтому при раскрое листов следует

обеспечить минимум продольных швов

в обечайке. Продольные швы в

смежных обечайках должны быть смещены относительно друг друга не ме-

нее чем на 100 мм. Не рекомендуется делать отверстия по продольным швам.

Мембранная теория не учитывает радиальных (σ

) и изгибающих (σ)

напряжений (в принципе σ

=р, σ=p/2) вследствие их малости по сравнению с

кольцевыми и меридиональными. Поэтому для расчета толщины стенки тон-

костенных оболочек применяют третью теорию прочности:

minmaxэкв

−

где σ

экв

– эквивалентное напряжение;

max

– максимальное напряжение;

min

– минимальное напряжение.

Условие прочности имеет вид ][

экв

≤

В случае мембранной теории

minmax

≈

. Тогда

экв

, или ][

≤

Рис. 2.8

Если принять, что ][

, то для случая тонкостенного цилиндра

можно получить расчетную формулу для толщины стенки

][2][ σ

pDpR

, (2.5)

где D – срединный диаметр цилиндрической обечайки.

Учитывая наличие сварных швов, исполнительная толщина стенки ци-

линдра будет

s +

ϕσ

][2

где ϕ - коэффициент прочности продольного сварного шва.

Подставляя в уравнение (2.5) вместо диаметра D срединной поверхно-

сти внутренний диаметр обечайки

sDD

−

, получим для цилиндра

−ϕσ

][2

. (2.6)

При соотношении

][

≥

ϕσ

величиной р в знаменателе уравнения (2.6) мож-

но пренебречь и использовать упрощенное уравнение

ϕσ

][2

. (2.6)

Используя при расчете в качестве базового наружный диаметр цилинд-

ра, т.е.

sDD +=

, получим

s +

+ϕσ

][2

Рассматривая аналогичным образом сферическую оболочку, имеем

minmax

≈σ=σ=σ=σ=σ=σ

rUt

Тогда

s +

ϕσ

][4

, или

−ϕσ

][4

. (2.8)

Рассматривая коническую обечайку, можно полагать, что максималь-

ные меридиональные и кольцевые напряжения будут на расстоянии l от вер-

шины конуса, где l – длина образующей конической оболочки. Тогда

minmax

≈

;

=σ

=σ=σ

cos

][;

sin

;

][

pRR

Окончательно

−αϕσ

cos][2

. (2.9)

2.3. Основы расчета тонкостенных сосудов,

работающих под наружным давлением

При работе обечаек под внутренним давлением в их стенках возникают

нормальные растягивающие напряжения, а при их работе под наружным дав-

лением – сжимающие напряжения. Поэтому при расчете на прочность обеча-

ек, работающих под наружным давлением, можно использовать формулы,

выведенные для обечаек, работающих под внутренним давлением. Однако

наличие наружного давления может привести к

потере устойчивости формы

оболочки.

Из теории расчета на устойчивость упругих стержней следует, что

стержень легко выдерживает растягивающую нагрузку и не выдерживает оп-

ределенной, т.н. критической, нагрузки при сжатии. При постепенном на-

гружении стержня сжимающей нагрузкой сохраняется одна и та же форма

устойчивого равновесия. По достижении критической величины нагрузки

скачком

теряется первоначальная форма стержня и появляется новая форма

устойчивого равновесия.

Это относится и к другим конструкциям, где возникают деформации

сжатия. Так, тонкостенные сосуды, работающие под наружным давлением,

должны иметь более прочную конструкцию, чем такие же аппараты, рабо-

тающие под внутренним давлением.

Давление, при котором тонкостенные сосуды теряют устойчивость

формы, называется критическим

. Под действием такого давления попереч-

ное сечение первоначально круглой обечайки приобретает волнообразную

форму, причем напряжения сжатия в ее стенках могут быть меньше предела

текучести материала элемента аппарата.

Потеря устойчивости формы цилиндрической оболочки может про-

изойти и при давлении ниже критического в случае овальности ее попереч-

ного сечения, которое ограничивается нормами.

Овальность стальных свар-

ных сосудов при нагружении их наружным давлением не должна быть менее

0,005D, но не более 20 мм, а для корпусов теплообменников – не более 7 мм.

Величина критического давления зависит от геометрической формы,

размеров аппарата и от механических свойств материала его стенок.

Определение критического давления. Рассмотрим задачу об устойчиво-

сти

кольца, сжатого равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q

(рис. 2.9).

При некотором значении этой нагрузки круговая форма кольца стано-

вится неустойчивой и оно изгибается, принимая примерно форму эллипса.

Выделим из изогнутого кольца элементарный участок длиной dl (рис.

2.10). Местный радиус кривизны будем считать рав-

ным R, т.е. ρ≈R. В сечениях кольца возникают нор-

мальные силы и изгибающие моменты. Нормальная

сила состоит из двух слагаемых:

– нормальная сила до потери устойчи-

вости;

N – изменение нормальной силы вследст-

вие изгиба кольца.

Таким образом, N

+N – нормальная сила после потери устойчивости.

Из условия равновесия в докритическом состоянии

qRN =

Рассмотрим условие равновесия изогнутого элемента. Спроектируем

все силы на направление нормали и запишем, полагая, что

=ϕ

0)(

+−+

NNdQqdl

Далее, подставляя значение qRN =

, полу-

чим

111

−⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

q .

Обозначая изменение кривизны

−

=χ

и учитывая, что ρ≈R, получим

=−⋅+χ−

q .

Составим еще два возможных уравнения равновесия:

;0=+

0=+ Q

Из трех уравнений исключаем Q и N. Тогда

=⋅+⋅+

Rdl

q ,

или после интегрирования

q =+⋅+χ . (2.10)

Изгибающий момент связан с изменением кривизны известным соот-

ношением

Рис. 2.9

Рис. 2.10

χ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

= EJ

EJM

Исключая из (2.10) момент М, получаем уравнение относительно одного не-

известного χ

=χ+

, (2.11)

где

k +=

. (2.12)

Решение уравнения (2.11) –

klCklC

С cossin

++=χ . (2.13)

Для замкнутого кольца критическую нагрузку можно определить из ус-

ловия периодичности решения (2.13), т.е. если

2, то функция χ остает-

ся неизменной. Но для этого необходимо, чтобы kl менялось кратно 2π. По-

этому

−

2)2(,

где n – любое целое число. Тогда

kR=n.

Подставляя значение k в (2.12), получим

кр

)1(

EJn

−

= . (2.14)

Минимальное, отличное от нуля, значение критической нагрузки будет

при n=2, т.е.

min

кр

q = .

При таком значении нагрузки кольцо теряет свою форму, приобретая оваль-

ность (эллипсность).

Если кольцо подкрепить четным числом (2n при n>2) равноотстоящих

опор (рис. 2.11), то изгиб произойдет по 2n полуволнам и критическое значе-

ние нагрузки можно определить по формуле (2.14) для заданного значения n.

В большинстве случаев для сохранения ус-

тойчивости

формы оболочки целесообразно не уве-

личивать толщину ее стенки, а устанавливать спе-

циальные кольца жесткости, которые будут вос-

принимать часть нагрузки. Они могут располагать-

ся внутри и снаружи аппарата. Их обычно соеди-

няют с обечайкой методом сварки двухсторонними

прерывистыми швами с общей длиной шва не ме-

нее половины длины окружности

кольца в месте

его соединения. Расстояние между сварными уча-

Рис. 2.11