Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

141

òò

=n=

==D

lnln

RdV

pdV

Тогда для изменения энтропии нагревателя получим вы-

ражение:

нагр

-=D

Аналогично для изменения энтропии холодильника находим:

хол

-=D

Производя расчеты и учитывая (4), получаем:

10044 ×=D=D ,SS

холнагр

Дж/К.

Коэффициент полезного действия тепловой машины:

Для цикла Карно с учетом (2), (3), (4) находим значение КПД:

5,01

=-=h

Ответ:

10021 ×= ,A Дж, 6,4043=D=D

холнагр

SS Дж/К, 50,0

Пример 14. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту

холодной воде такой же массы, и температуры их становятся оди-

наковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды

T , холодной

T , а

температура смеси

. Определим температуру смеси исходя из

уравнения теплового баланса, которое представляет собой закон

сохранения энергии: в замкнутой термодинамической системе

сумма отданных

(

)

0<Q и полученных

(

)

0>Q телами системы

количеств теплоты равна нулю 0...

=+++

QQQ . Приравняем

количество полученной и отданной теплоты:

(

)

(

)

TmcTmc -Q=Q- ,

где

– удельная теплоемкость воды.

142

После преобразования выражение запишется в виде:

TT -Q=Q- , откуда

(

)

TT +=Q . (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей

воды, определяется выражением [15.4] с учетом [13.7]:

==D

cmdT

S ,

при нагревании холодной воды:

==D

cmdT

S .

Изменение энтропии всей системы равно сумме изменений

энтропии частей:

lnlnln

cmSSS

=D+D=D

или с учетом соотношения (1) имеем:

(

)

cmS

=D .

Так как

(

)

4 TTTT ñ+ , то 0

S . Таким образом, энтропия

всей системы увеличивается.

Пример 15. Вычислить эффективный диаметр молекулы азо-

та, если его критическая температура 126 К, критическое давление

3,4 МПа.

Дано:

126=

кр

T К,

104,3 ×=

кр

p Па.

Найти: d .

Решение. Состояние азота, согласно условию задачи, может

быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса как для реального газа

[16.1]:

p =

143

Постоянную b в уравнении Ван-дер-Ваальса с достаточной

степенью точности считают равной учетверенному собственному

объему молекул одного моля газа. В одном моле газа находится

6,02×10

молекул (

1002,6 ×=

N моль

-1

), следовательно, объем

одной молекулы равен:

=p=

откуда:

= .

Постоянная

кр

= , тогда окончательно получим выраже-

ния для расчета искомого диаметра:

236

101,3

1002,6104,314,316

31,81263

×=

×××××

××

Aкр

кр

d м.

Ответ:

101,3

×=d м.

Пример 16. Некоторый газ количеством вещества 1,0 кмоль

занимает объем 1,0 м

. При расширении газа до объема 1,5 м

была

совершена работа против сил межмолекулярного притяжения,

равная 45,3 кДж. Определить поправку, входящую в уравнение

Ван-дер-Ваальса.

Дано:

0,1

кмоль

1001 ×= , моль,

0,1

=V м

5,1

=V м

3,45

A кДж

1053,4 ×= Дж.

Найти:

Решение. Работа, совершаемая против сил межмолекулярно-

го притяжения, определяется выражением [13.5]:

144

dVpA ,

где

– внутреннее давление, обусловленное силами взаи-

модействия молекул. Таким образом:

(

)

VVa

-n

-n=n=

Откуда окончательно получим значение поправки:

()

140

015110

510110345

,,,

VAV

a =

×××

-n

Н×м

/моль

Ответ: 140,a

Н×м

/моль

Пример 17. Капиллярная трубка с внутренним диаметром

0,40 мм наполнена водой. Часть воды нависла внизу в виде ка-

пельки, которую можно принять за часть сферы радиусом 2,0 мм.

Определить высоту столбика воды в трубке.

Дано:

40,0

d мм

100,4

×= м,

0,2

r мм

1002

×= , м,

1027

×=s , Н/м,

1000011000 ×==r , кг/м

Найти: h .

Решение. Обозначим

p и

p давления, обусловленные кри-

визной верхнего и нижнего менисков (рис. 2.12). Оба давления на-

правлены вверх. Их сумма

pp + уравновешивается гидростати-

ческим давлением столба воды высотой h , то есть:

ghpp r=+

. (1)

145

Давления

p и

p находим по формуле Лапласа [17.4]:

В случае полного смачивания радиус

верхнего мениска равен радиусу капилляра

2dR = . Таким образом, дополнительное дав-

ление, обусловленное наличием верхнего ме-

ниска, равно:

Давление, обусловленное нижним мени-

ском при условии

Тогда равенство (1) запишется в виде:

Откуда окончательно получим выраже-

ние для искомой величины:

Rdg

Подставляя числовые значения, имеем:

1018

1002

1004

8191000

1072

×=

= ,

м.

Ответ:

1018

×= ,h м 1,8

см.

Рис. 2.12

146

ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

9. СОСТОЯНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

9.1. В баллоне емкостью 0,50 м

находятся 4,0 кг водорода и

6,5 кг азота. Определить давление смеси, если температура

окружающей среды 18 °С.

9.2. В баллоне емкостью 30 л находится сжатый воздух при

17 °C. После того как часть воздуха выпустили, давление

понизилось на 2×10

Па. Определить массу выпущенного

воздуха. Процесс считать изотермическим.

9.3. При какой температуре находился газ, если при нагревании

его на 20 °С при постоянном давлении объем увеличился в

два раза?

9.4. В баллоне под давлением 1,0 МПа находится газовая смесь

кислорода и азота. Считая, что масса азота составляет 80 %

от массы смеси, определить парциальные давления отдель-

ных газов.

9.5. Определить молекулярную формулу аммиака, если при дав-

лении 103740 Па и температуре 20 °С его плотность равна

0,736 кг/м

. Учесть, что элементы, из которых образуется

аммиак, – это азот и водород.

9.6. В пустой сосуд, объем которого 5,0 дм

, впустили 3,0 дм

азота под давлением 250 кПа и 4,0 дм

водорода под давле-

нием 50 кПа. Каково давление образовавшейся смеси?

9.7. Какой объем при нормальных условиях занимает смесь

4,0 кг кислорода и 2,0 кг азота?

9.8. При температуре 27 °С и давлении 12×10

Па плотность сме-

си водорода и азота равна 10 г/дм

. Определить молярную

массу смеси.

9.9. Цилиндрическая трубка, длина которой 30 см, погружается в

ртуть на 1/3 своей длины. Затем трубку сверху закрывают

пальцем и вынимают из ртути, при этом часть ртути вытека-

ет. Какова длина столбика ртути, оставшейся в трубке, если

атмосферное давление 1,05×10

Па?

147

9.10. Стеклянная, запаянная с одного конца трубка открытым

концом опущена в сосуд со ртутью. После подъема трубки

уровни ртути в сосуде и трубке совпадают. При этом длина

части трубки, занятой воздухом, 100 см. Затем трубку под-

нимают на 10 см. Какой будет после этого высота уровня

ртути в трубке, если атмосферное давление 1,05×10

Па? Ка-

пиллярными явлениями пренебречь.

9.11. В двух сосудах объемами 5,0 л и 7,0 л находится воздух под

давлением 2,0 атм и 1,0 атм. Температура в обоих сосудах

одинакова. Какое давление установится, если сосуды соеди-

нить между собой? Температура воздуха не меняется.

9.12. В баллоне емкостью 10 л находятся 3,0 г аргона и 5,0 г азота

при температуре 27 °С. Определить молярную массу смеси

газов.

9.13. В баллоне емкостью 5,0 л находятся 2,0 г водорода и

1,0 моль азота при температуре 17 °С. Определить плотность

смеси газов.

9.14. Какова плотность воздуха в сосуде, емкость которого 2,0 л,

если сосуд откачан до 10

-3

мм рт. ст., а температура воздуха

15 °С? Как и насколько изменится плотность воздуха в сосу-

де, если добавить в него 5×10

-8

кг воздуха? Какое давление

установится в сосуде? Процесс происходит при постоянной

температуре.

9.15. В баллоне, емкость которого 20 л, находится 150 г смеси во-

дорода и азота. Давление газовой смеси

100,1 × Па, темпера-

тура в баллоне 17 °С. Каковы массы азота и водорода в бал-

лоне?

9.16. В сосуде объемом 10 л содержатся 15 г углекислого газа и

5,0 г водорода при температуре 300 К. Определить давление

в сосуде при таких условиях, а также давление после нагре-

вания смеси до 400 К.

9.17. В закрытом сосуде содержится смесь газов, состоящая из

100 г углекислого газа и 150 г азота. Определить плотность

смеси при температуре 27 °С и давлении 760 мм рт. ст.

9.18. Определить давление газа, содержащего

100,1 × молекул и

имеющего объем 1,0 см

, при температурах 3,0 Κ и 1000 К.

148

9.19. Какой объем занимает смесь азота массой 1,0 кг и гелия мас-

сой 1,0 кг при нормальных условиях?

9.20. В баллоне вместимостью 15 л находится смесь, содержащая

10 г водорода, 54 г водяного пара и 60 г оксида углерода.

Температура смеси 27 °С. Определить давление.

9.21. В цилиндр длиной 1,6 м, заполненный воздухом при нор-

мальном атмосферном давлении, начали медленно вдвигать

поршень, площадь основания которого 200 см

. Определить

силу, действующую на поршень, если его остановить на рас-

стоянии 10 см от дна цилиндра.

9.22. В баллоне находится газ при температуре 400 К. До какой

температуры надо нагреть газ, чтобы его давление увеличи-

лось в 1,5 раза?

9.23. Баллон вместимостью 20 л заполнен азотом при температуре

400 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне

понизилось на 200 кПа. Определить массу израсходованного

газа. Процесс происходит при постоянной температуре.

9.24. В баллоне вместимостью 15 л находится аргон под давлени-

ем 600 кПа и при температуре 300 К. Когда из баллона было

взято некоторое количество газа, давление в баллоне пони-

зилось до 400 кПа, а температура установилась 260 K. Опре-

делить массу аргона, взятого из баллона.

9.25. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном

сосуде давление 2,0 МПа и температура 800 К, в другом –

2,5 МПа, 200 К. Сосуд соединили трубкой и охладили нахо-

дящийся в них кислород до температуры 200 К. Определить

установившееся в сосудах давление.

9.26. В сосуде вместимостью 40 л находится кислород при темпе-

ратуре 300 К. Когда часть газа израсходовали, давление в

баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсхо-

дованного кислорода. Процесс происходит при постоянной

температуре.

9.27. В сосуде емкостью 200 см

находится газ при температуре

47 °С. Из-за утечки газа из колбы просочилось

100,1 × мо-

лекул. На сколько снизилось давление газа в сосуде?

149

9.28. Сосуд объемом 20 л содержит смесь водорода и гелия при

температуре 20 °С и давлении 2,0 атм. Масса смеси 5,0 г.

Найти отношение массы водорода к массе гелия в смеси.

10. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

10.1. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного

движения одной молекулы двухатомного газа, если суммар-

ная кинетическая энергия молекул одного киломоля этого

газа 6,02 МДж.

10.2. Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью

2,0 л, если средняя квадратичная скорость движения моле-

кул 500 м/с, а давление на стенки сосуда

100,1 × Па?

10.3. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного дви-

жения всех молекул, содержащихся в 0,25 г водорода при

температуре 13 °С.

10.4. Давление идеального газа 2,0 мПа, концентрация молекул

100,2 × см

-3

. Определить среднюю кинетическую энергию

поступательного движения одной молекулы и температуру

газа.

10.5. Определить среднее значение полной кинетической энергии

одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при тем-

пературе 690 К.

10.6. Средняя кинетическая энергия поступательного движения

каждой молекулы газа равна

100,5

× Дж. Концентрация

молекул

100,3 × см

-3

. Определить давление газа.

10.7. Определить внутреннюю энергию водорода, а также сред-

нюю кинетическую энергию молекулы этого газа при темпе-

ратуре 300 К, если количество вещества этого газа равно

0,50 моль.

10.8. Определить суммарную кинетическую энергию поступа-

тельного движения всех молекул газа, находящегося в сосу-

де вместимостью 3,0 л под давлением 540 кПа.

10.9. Количество вещества гелия 1,5 моль, его температура 120 К.

Определить суммарную кинетическую энергию поступа-

тельного движения всех молекул этого газа.

150

10.10. Молярная внутренняя энергия некоторого двухатомного газа

равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую

энергию вращательного движения одной молекулы этого га-

за. Газ считать идеальным.

10.11. Определить среднюю кинетическую энергию одной молеку-

лы водяного пара при температуре 500 К.

10.12. Определить среднюю квадратичную скорость молекулы га-

за, заключенного в сосуд вместимостью 1,0 л под давлением

200 кПа. Масса газа 0,30 г.

10.13. Водород находится при температуре 300 К. Найти среднюю

кинетическую энергию вращательного движения одной мо-

лекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех мо-

лекул этого газа; количество водорода 0,50 моль.

10.14. При какой температуре средняя кинетическая энергия по-

ступательного движения молекулы газа равна

1014,4

× Дж?

10.15. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся

так, как если бы они были очень крупными молекулами.

Масса каждой пылинки равна

100,6

× г. Газ находится при

температуре 400 К. Определить средние квадратичные ско-

рости, а также средние кинетические энергии поступатель-

ного движения молекулы азота и пылинки.

10.16. Определить среднюю кинетическую энергию поступатель-

ного движения и вращательного движения молекулы азота

при температуре 10 K. Определить полную кинетическую

энергию каждой молекулы газа при тех же условиях.

10.17. В сосуде, объем которого 3,0 л, находится кислород при

температуре 17 °С. Давление газа

100,1

× мм рт. ст. Опреде-

лить: а) сколько молекул кислорода имеется в сосуде;

б) внутреннюю энергию газа.

10.18. При нормальных условиях 1,0 л газа имеет массу

10429,1

× кг. Определить: а) плотность газа; б) его моляр-

ную массу; в) число молекул в данной массе газа.

10.19. В баллоне емкостью 0,50 л содержится смесь газов, состоя-

щая из

100,1 × молекул кислорода,

100,4 × молекул азота