Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

101

==n

, (9.1)

где N – количество молекул,

N – постоянная Авогадро,

–

масса вещества,

– молярная масса.

Относительная атомная масса (

A ) некоторого элемента –

это отношение массы атома элемента к 121 массы атома угле-

рода C

Масса, равная 121 массы атома углерода C

, называется атом-

ной единицей массы ( 0,1 а.е.м.=

106,1

× кг).

Единицей измерения количества вещества является один моль.

1 Моль – это такое количество вещества, в котором содержится

столько структурных единиц (атомов, молекул или ионов), сколь-

ко их содержится в 0,012 кг углерода C

Молярная масса – масса одного моля вещества, которая может

быть определена по таблице Менделеева. Для этого необходимо из

таблицы взять значение

A для каждого из атомов, входящих в

состав молекулы данного вещества, умножить на число таких ато-

мов в молекуле и сложить. Умножив полученное значение на 10

-3

получим молярную массу вещества, измеряемую в единицах

кг/моль. К примеру, молярная масса воды:

(

)

(

)

1018100,12161

×=××+×=OHM кг/моль.

Постоянная Авогадро (

N ) – количество частиц, содержащих-

ся в 1 моле вещества:

10023,6 ×=

N моль

-1

Соотношение, определяющее связь между параметрами состояния

какого-либо тела (системы), называется уравнением состояния

этого тела (системы). В общем случае уравнение состояния тела

(системы) можно записать в виде:

(

)

0,, =TVpF . (9.2)

102

Состояние идеального газа описывается уравнением Менде-

леева-Клапейрона:

pV = nkTp

, (9.3)

где

– давление газа, V – объем газа,

– универсальная газовая

постоянная,

– абсолютная температура.

Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме

парциальных давлений входящих в ее состав газов:

pppp +++= ...

, (9.4)

где

p ,

p , …

p – парциальные давления газов смеси.

Парциальное давление – давление, которое оказывал бы газ из

состава смеси при отсутствии других газов при той же темпера-

туре.

Концентрация молекул – число молекул в единице объема:

== , (9.5)

где

– плотность газа.

Изопроцесс – процесс, при котором хотя бы один из термодина-

мических параметров

(

)

TVp ,, системы остается неизменным.

Для идеального газа справедливы экспериментально установлен-

ные три следующих газовых закона.

Закон Бойля-Мариотта (для изотермического процесса):

для данной массы газа при неизменной температуре произведение

давления на объем является величиной постоянной:

constpV

. (9.6)

Закон Гей-Люссака (для изобарного процесса): для данной

массы газа при неизменном давлении отношение объема к абсо-

лютной температуре является величиной постоянной:

const

= . (9.7)

103

Закон Шарля (для изохорного процесса): для данной массы

газа при неизменном объеме отношение давления к абсолютной

температуре является величиной постоянной:

const

= . (9.8)

10. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МКТ)

Основное уравнение МКТ связывает давление с кинетической

энергией молекул:

ñeá=ñuá=

посткв

nnmp

, (10.1)

где

m – масса одной молекулы, ñuá

кв

– средняя квадратичная

скорость движения молекул, ñeá

пост

– средняя кинетическая энер-

гия поступательного движения одной молекулы.

Средняя квадратичная скорость молекул:

u=ñuá

iкв

, (10.2)

где

u – скорости отдельных молекул в некоторый момент време-

ни. Исходя из уравнений МКТ, средняя квадратичная скорость оп-

ределяется также выражениями:

кв

==ñuá . (10.3)

Средняя арифметическая скорость молекул:

u=ñuá

. (10.4)

Выражение для средней арифметической скорости молекул можно

представить и в виде:

=ñuá

. (10.5)

104

Средняя кинетическая энергия молекулы:

=ñeá , (10.6)

где

– число степеней свободы. Под степенью свободы понимают

число независимых координат, которыми может быть описано

движение молекулы.

11. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Основу статистического описания систем, состоящих из множест-

ва молекул, составляют следующие предположения Мак-

свелла.

1. Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.

2. Температура газа постоянна.

3. Молекулы совершают тепловое хаотическое движение (с раз-

ными скоростями).

4. На газ не действуют внешние силы.

Функция распределения молекул по скоростям

()

(

)

определяет относительное число молекул

(

)

dN u

, модули скоро-

стей которых лежат в интервале от

до

d .

Распределение Максвелла молекул по скоростям уста-

навливает зависимость функции )(f

от массы одной молекулы и

температуры газа (рис. 2.1):

()

kTm

=u . (11.1)

Наивероятнейшая скорость молекул – скорость, соответст-

вующая максимуму функции распределения Максвелла (рис. 2.1):

==u . (11.2)

Если ввести обозначение

z uu= , то распределение Мак-

свелла по относительным скоростям записывается в виде:

105

()

dzez

. (11.3)

Благодаря хаотическому тепловому движению молекулы газа рав-

номерно распределяются по всему предоставленному ему объему

только в том случае, если на молекулы не действуют внешние

силы.

Если на тело (систему) действуют консервативные (потенциаль-

ные) силы, то говорят, что тело (система) находится в по-

тенциальном поле сил.

В поле силы тяжести у поверхности Земли устанавливается дина-

мическое равновесие, при котором концентрация молекул газов,

составляющих воздух, у поверхности максимальна и экспоненци-

ально убывает с высотой:

(

)

kTghm

enn

= , (11.4)

где

m – масса молекулы. Эта зависимость справедлива при усло-

вии постоянства температуры газа, а также ускорения свободного

падения по всей высоте и называется распределением

Больцмана в поле сил тяжести.

Аналогичная зависимость для давления газа в поле силы тяжести

носит название барометрической формулы:

Рис. 2.1

106

Рис. 2.2

(

)

kThhgm

epp

)(

= , (11.5)

где

hh - – разность высот, соответствующих давлениям

p .

12. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно

«сталкиваются» друг с другом. Столкновение в данном случае –

процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого

они изменяют направление своего движения.

Средняя длина свободного пробега молекулы – среднее

расстояние l , проходимое молекулой между двумя последова-

тельными столкновениями:

=tu=ñlá

, (12.1)

где u – средняя арифметическая скорость молекулы,

– сред-

нее время свободного пробега, d – эффективный диаметр молеку-

лы,

– концентрация молекул.

Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстоя-

ние d между центрами сближающихся при столкновении молекул

(рис. 2.2), табличная величина.

Среднее число соударений молекулы за 1 секунду:

ñuáp=ñá ndz

2. (12.2)

Явления переноса – необратимые процессы в термодинамиче-

ски неравновесных системах, при которых происходит простран-

ственный перенос энергии, массы или импульса.

107

Рис. 2.3

Диффузия – самопроизвольное проникновение и перемешивание

частиц двух соприкасающихся веществ (перенос массы).

Явление диффузии описывается законом Фика: масса молекул,

диффундирующих через площадку dS за время dt в направлении,

перпендикулярном площадке, прямо пропорциональна градиенту

плотности частиц

dSdt

Ddm

-= , (12.3)

где

– коэффициент диффузии.

Равенство (12.3) называется уравнением диффузии.

Диффузия приводит к перераспределению массы веществ по всему

объему. Этот процесс продолжается до тех пор, пока градиент

плотности не равен нулю (рис. 2.3).

Теплопроводность – перенос энергии в сторону убывания тем-

пературы.

Явление теплопроводности описывается законом Фурье: коли-

чество теплоты, переносимое через площадку dS за время dt в

направлении, перпендикулярном площадке, прямо пропорционально

градиенту температуры

108

dSdt

dQ c-= , (12.4)

где

– коэффициент теплопроводности.

Уравнение (12.4) называется уравнением теплопроводности.

Процесс теплопроводности происходит до тех пор, пока существу-

ет градиент температуры.

В результате теплопроводности происходит выравнивание темпе-

ратуры по всему объему замкнутой системы (тела). Система пере-

ходит в состояние термодинамического равновесия.

Внутреннее трение (вязкость) – перенос импульса молекул из

одного слоя жидкости или газа в другой. В результате слои вязкой

среды с большей скоростью замедляются, а с меньшей ско-

ростью – ускоряются.

Закон Ньютона: сила вязкого (внутреннего) трения, возникаю-

щего при макроскопических движениях в газе или жидкости, пря-

мо пропорциональна градиенту скорости

и величине площади

соприкасающихся слоев S :

h= , (12.5)

где

– коэффициент внутреннего трения (динамическая вяз-

кость).

Выражение (12.5) носит название уравнения вязкости или

уравнения Ньютона.

Используя связь силы с импульсом, закон Ньютона для вязкого

трения можно записать в виде:

dSdt

h-= , (12.6)

где dp – изменение импульса слоя, dt – промежуток времени, за

который произошло изменение импульса слоя.

Коэффициенты

, входящие в законы, описывающие яв-

ления переноса, определяются параметрами системы.

109

Коэффициент диффузии:

ñlñáuá=

D . (12.7)

Коэффициент теплопроводности:

h=ñlñáuár=c

, (12.8)

где

c – удельная теплоемкость среды при постоянном объеме.

Коэффициент внутреннего трения

(динамическая вязкость):

r=ñlñáuár=h D

. (12.9)

13. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Внутренняя энергия термодинамической системы – энер-

гия теплового движения и взаимодействия микрочастиц, состав-

ляющих систему. Внутренняя энергия – однозначная функция

термодинамического состояния системы. Изменение внутренней

энергии системы не зависит от способа перевода системы из одно-

го состояния в другое, а зависит лишь от первоначального и ко-

нечного состояний термодинамической системы.

Внутренняя энергия идеального газа:

= , (13.1)

где

– число степеней свободы молекулы.

Опыт показывает, что изменять внутреннюю энергию термодина-

мической системы можно двумя способами: совершением над сис-

темой работы или передачей ей количества теплоты.

Первое начало термодинамики – закон сохранения и превра-

щения энергии применительно к термодинамическим процессам –

количество теплоты Q

, переданное системе, идет на изменение

внутренней энергии dU и совершение работы A

против внеш-

них сил:

110

Рис. 2.4

AdUQ

. (13.2)

Если же работа совершается внешними силами над системой A

d ,

то она принимается отрицательной: AA

d-=d . В этом случае пер-

вое начало термодинамики можно представить в виде:

AdUQ

d-=d . (13.3)

Работа в термодинамике:

pdVA

, (13.4)

где dV – изменение объема (рис. 2.4). В координатах Vp

эле-

ментарная работа газа A

представляет собой площадь соответст-

вующей криволинейной трапеции.

Работа, совершенная в течение термодинамического процесса, вы-

ражается соответствующим интегралом (рис. 2.4):

pdVA , (13.5)

где

V и

V – начальный и конечный объемы газа.

Молярная теплоемкость – физическая величина, определяемая

количеством теплоты, необходимым для нагревания 1 моль веще-

ства на 1 К:

= . (13.6)