Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

131

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим оконча-

тельно:

(

)

Vpd

pdMRT

. (8)

Подставляя числовые значения в (3) и (8), получим

(

)

(

)

()

××

×××××

103214,3

30031,8

3001038,1

100,2100,1109,214,32

100,9 ×= с

-1

()

1056,3

100,1109,214,32

3001038,1

×=

××××

××

м.

Ответ:

100,9 ×=Z с

-1

1056,3

×=l м.

Пример 9. Определить коэффициенты диффузии и внутрен-

него трения азота, находящегося при температуре 300 К и давле-

нии 1,0 кПа.

Дано:

25,1

=r кг/м

1028

×=M кг/моль,

300

T К,

0,1

p кПа

1001 ×= , Па,

101,3

×=d м.

Найти:

Решение. Коэффициент диффузии определяется из соотно-

шения [12.7]:

(

)

lu= 3/1D , (1)

где u – средняя арифметическая скорость молекул, равная

[10.5]:

132

, (2)

l – средняя длина свободного пробега молекул.

Для нахождения l воспользуемся соотношением (3) из

примера 8:

=l . (3)

Подставляя (2) и (3) в соотношение (1), получим выражение

для коэффициента диффузии:

. (4)

Коэффициент внутреннего трения определяется из соотноше-

ния [12.9]:

(

)

rlu=h 3/1, (5)

где

– плотность газа при температуре 300 К и давлении 10

Па.

Для нахождения плотности воспользуемся уравнением состояния

идеального газа [9.3]. Запишем его для двух состояний азота – при

нормальных условиях ( 273

=T К,

1001,1 ×=p Па) и условиях

задачи:

000

Vp = , RT

pV = . (6)

Учитывая, что

Vm=r (плотность азота при нормальных

условиях, см. в приложении табл. 5), Vm=r , имеем:

. (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен

через коэффициент диффузии (см. (1) и (5)):

=r=h

. (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим:

133

35202

107,4

102814,3

30031,8

100,1101,314,33

3001038,12

×=

××

×××××

×××

=D м

/с,

1023,5

3001001,1

273100,1

25,1107,4

×=

××

×××=h

Па×с.

Ответ:

107,4

×=D м

/с,

1023,5

×=h Па×с.

Пример 10. Кислород массой 160 г нагревают при постоян-

ном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты,

поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу рас-

ширения газа.

Дано:

160

m г 16,0

кг,

320

=T К,

340

=T К.

Найти: Q , U

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания

газа при постоянном давлении [13.7]:

() ()

1212

TTC

TTmcQ

-=-=

, (1)

где

c и

McC =

– удельная и молярная теплоемкости газа при

постоянном давлении соответственно;

1032

×=M кг/моль – мо-

лярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов число степе-

ней свободы 5

i , тогда молярная теплоемкость равна [13.10]

или численно 09,29=

C Дж/(моль×К).

Внутренняя энергия идеального газа определяется выражени-

ем [13.1], тогда изменение внутренней энергии газа находим из

соотношения:

()

TTC

-=D

, (2)

134

где

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Для всех двухатомных газов молярная теплоемкость при постоян-

ном объеме равна RR

или численно

78,20=

C Дж/(моль×К).

Работа расширения газа при изобарном процессе [13.13]

VpA

, где

VVV -=D – изменение объема газа, которое мож-

но найти из уравнения Менделеева–Клапейрона [9.3]. При изобар-

ном процессе:

pV = , (3)

pV = . (4)

Вычитая (4) из (3), находим:

()()

1212

TTR

VVp -=- .

Следовательно, выражение для работы примет окончатель-

ный вид:

()

TTR

A -= . (5)

Подставляя числовые значения в соотношения (1), (2) и (5),

получаем:

()

290932034009,29

1032

1016

=-×

Q Дж,

()

207832034078,20

1032

1016

=-×

U Дж,

()

83132034031,8

1032

1016

=-×

A Дж.

Согласно первому началу термодинамики [13.2]:

AUQ

Подставляя полученные значения количества теплоты, изме-

135

нения внутренней энергии, работы, убеждаемся, что величины оп-

ределены верно:

2909 Дж 2078

Дж 831

Дж.

Ответ: 2909

Q Дж, 2078

U Дж, 831

A Дж.

Пример 11. Объем аргона, находящегося под давлением

80 кПа, увеличился от 1,0 до 2,0 л. На сколько изменится внутрен-

няя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно;

б) адиабатно.

Дано:

0,1

=V л

100,1

×= м

0,2

=V л

100,2

×= м

1080,0 ×=p Па,

1040

×=M кг/моль,

0,3

i .

Найти: U

Решение. Согласно первому началу термодинамики, количе-

ство теплоты Q , переданное системе, расходуется на увеличение

внутренней энергии U

и на механическую работу, совершенную

системой

[13.2]:

AUQ

. (1)

Так как внутренняя энергия идеального газа [13.1]:

= , то ее изменение:

()

TTR

U -=D=D , (2)

где

– число степеней свободы молекулы,

– молярная масса

газа,

– универсальная газовая постоянная.

Найти U

для аргона по формуле (2) нельзя, так как масса

газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо

провести преобразование выражения (2).

136

Для этого запишем уравнение Менделеева–Клапейрона [9.3]

для начального и конечного состояний газа:

pV = и

pV =

или

()()

1212

TTR

VVp -=- . (3)

Подставив (3) в выражение (2), получим для изменения внут-

ренней энергии соотношение:

()

VVp

U -=D , (4)

которое является расчетным для определения U

при изобарном

расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмен с внешней сре-

дой не происходит, поэтому 0

Q . Выражение первого начала

термодинамики (1) запишется в виде:

AU . (5)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа

может быть произведена только за счет уменьшения внутренней

энергии газа (знак минус перед U

. (6)

Выражение для нахождения работы газа при адиабатном про-

цессе имеет вид:

-g

-g 1

1 V

VRT

A , (7)

где

– показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей

[13.5]:

==g

. Для аргона (как одноатомного газа) 3

i ,

тогда 67,1

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про-

цессе для аргона, учитывая соотношения (6) и (7):

137

-g

VRT

U . (8)

Для определения работы расширения аргона соотношение (8)

следует преобразовать, учитывая при этом параметры, заданные в

условии задачи. Применив уравнение Менделеева–Клапейрона для

данного случая

111

Vp = , получим выражение для расчета

изменения внутренней энергии:

-g

111

VVp

U . (9)

Подставляя числовые значения в (4) и (9), получим:

а) при изобарном расширении:

235

1021101080

×=××=D

,,U Дж;

б) при адиабатном расширении:

6,441

100,2

100,1

167,1

100,1108,0

167,1

335

×××

U Дж.

Ответ: а)

1021 ×=D ,U Дж; б) 6,44

U Дж.

Пример 12. Температура нагревателя тепловой машины

500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепло-

вой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность

машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1,68 кДж теп-

лоты.

Дано:

500

T К,

400

=T К,

10681 ×= ,Q Дж.

Найти:

, N .

138

Решение. КПД машины определяется из соотношения [14.1;

14.3]:

=h или

, (1)

где

– работа цикла, Q – количество теплоты, подведенное к

системе. Из выражений (1) находим, что:

=h= .

Произведя вычисления, получим:

33510681

500

400500

=×

= ,A Дж.

Эта работа совершается за 1,0 с. Полная мощность машины

определяется выражением:

N = , следовательно, 335

N Вт.

Ответ: 20,0

, 335

N Вт.

Пример 13. Рабочим телом в цикле Карно является воздух,

масса которого 7,25 кг. Состояние 1 характеризуется давлением

101,2 × Па и температурой 505,4 К, а состояние 3 – давлением

1067,2 × Па и температурой 252,7 К. Определите полезную рабо-

ту, совершаемую за один цикл, изменения энтропии нагревателя и

холодильника, коэффициент полезного действия.

Дано:

257,m

кг,

1012 ×= ,p Па,

1067,2 ×=p Па,

4,505

=T К,

7,252

=T К,

1092

×= ,M кг/моль.

Найти:

нагр

SD ,

хол

SD ,

139

Решение. Цикл Карно – квазистатический процесс, в котором

систему приводят в тепловой контакт с нагревателем и холодиль-

ником, имеющим постоянные температуры

T и

T . Работа, со-

вершаемая рабочим телом в тепловой машине, определяется вы-

ражением [14.1; 14.2]:

QQA -= , (1)

где

Q – количество теплоты,

полученное рабочим телом от на-

гревателя,

Q – количество тепло-

ты, отданное холодильнику.

Проанализируем работу ма-

шины по циклу Карно.

Участок 1-2 (изотермическое

расширение 0

U ). Рабочее тело

получает количество теплоты [13.2;

13.14]:

Q =

. (2)

Участок 3-4 (изотермическое сжатие). Рабочее тело отдает

количество теплоты:

Q =

. (3)

На участках 2-3 (адиабатное расширение) и 4-1 (адиабатное

сжатие) теплота к рабочему телу не подводится и не отводится от

него. Следовательно, работа газа за цикл с учетом (1), (2) и (3):

lnln

A .

Рассмотрим состояние газа в узловых точках.

Для состояний 1 и 3 заданы два параметра – давление и тем-

пература. Используя уравнение состояния газа Менделеева–

Клапейрона [9.3], получим:

pV = ,

находим:

Рис. 2.11

140

500

10121092

4505318257

,,,

V =

×××

××

Аналогично вычислим 8,19

=V м

Используя уравнения Пуассона [13.18] для процессов 2-3 и 4-

1, получаем:

-g-g

= VTVT ,

-g-g

= VTVT ,

откуда:

, (4)

а с учетом того, что показатель адиабаты 4,1

(воздух считаем

двухатомным газом), получим:

5,3

4,505

7,252

8,19

14,1

×=

-g

VV м

Аналогично вычисляем 83,2

=V м

Подставляя значения всех величин в (2), вычисляем работу:

10021

819

832

7252

4505318

1029

257

×=

×-××

ln,

ln,,

Дж.

Процессы 2-3 и 4-1 являются изоэнтропийными (0

constS

). Изменение энтропии нагревателя равно по модулю и

противоположно по знаку изменению энтропии газа при изотер-

мическом процессе 1-2.

Изменение энтропии согласно [15.4; 13.2]:

òòòò

pdV

pdVdU

S .

Так как внутренняя энергия газа при изотермическом процес-

се не изменяется, то, с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона

[9.3]

= , изменение энтропии определяется из выражения: