Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

Траекторией движения тела

(

)

xy , брошенного под углом к гори-

зонту, является часть параболы.

Классический закон сложения скоростей: абсолютная ско-

рость тела равна векторной сумме относительной и переносной

скоростей:

u+u=u

, (1.25)

где u

– скорость тела относительно неподвижной системы коор-

динат (абсолютная скорость),

– скорость тела относитель-

но подвижной системы координат (относительная скорость),

– скорость подвижной системы координат относительно не-

подвижной (переносная скорость).

Угловой скоростью вращения твердого тела называется век-

торная величина, равная первой производной угла поворота тела

по времени, умноженной на единичный вектор n

=w , (1.26)

где

d – изменение угла поворота за время dt , n

– вектор, лежа-

щий на оси вращения, направление которого определяется прави-

лом правого винта (рис. 1.3).

Проекция вектора угловой

скорости на ось вращения:

=w . (1.27)

Период

– время, за которое

тело совершает один полный

оборот, т. е. поворачивается на

угол

2 . Число оборотов, совер-

шаемых телом при равномерном

вращении в единицу времени, на-

зывается частотой

Рис. 1.3

Связь периода с частотой выражается зависимостью:

T . (1.28)

Угловым ускорением вращения твердого тела называется

векторная величина, равная первой производной вектора угловой

скорости по времени:

, (1.29)

где w

d – изменение вектора угловой скорости за время dt .

Проекция вектора углового ускорения на ось вращения:

d j

=e . (1.30)

Уравнения равнопеременного вращательного движения

твердого тела:

tt e+w+j=j , (1.31)

te+w=w

, (1.32)

w-w

, (1.33)

где

w и

– проекции начальной угловой скорости и угловой

скорости в момент времени

на ось вращения,

j – начальный

угол поворота,

– угол поворота в момент времени

Связь между линейными и угловыми величинами,

характеризующими движение точки по окружности:

, (1.34)

где

– длина дуги окружности, соответствующей углу поворота

, выраженному в радианах;

– радиус окружности,

, r

´w=u

, (1.35)

Здесь и далее символом “

” обозначено векторное произведение

векторов.

ra e=

, ra

´e=

, (1.36)

w= , ra

w-= , (1.37)

где

– радиус-вектор движущейся точки, начало которого совпа-

дает с центром окружности.

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы меха-

нического движения тел и причины, вызывающие или изменяю-

щие это движение. Основу динамики составляют законы Ньютона.

Первый закон Ньютона: тело (материальная точка) сохраня-

ет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения

до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит

его изменить это состояние.

Система отсчета, относительно которой тело при отсутствии дей-

ствия со стороны других тел движется равномерно и прямолиней-

но, называется инерциальной.

Масса – скалярная физическая величина, являющаяся мерой

инертности тела (инертная масса). С другой стороны, масса опре-

деляет также и гравитационные свойства (гравитационная масса).

В настоящее время установлено, что инертная и гравитационная

массы равны друг другу.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой воз-

действия со стороны других тел или полей на данное тело. В ре-

зультате действия силы тело может приобретать ускорение, а так-

же изменять свою форму и (или) размеры, т.е. деформироваться.

В каждый момент времени сила характеризуется скалярным зна-

чением, направлением и точкой приложения.

Единицей измерения силы в системе СИ является один Ньютон

(1 Н). 1 Н равен силе, которая телу массой 1 кг сообщает ускоре-

ние 1 м/с

Второй закон Ньютона для поступательного движения

материальной точки (твердого тела): в инерциальной сис-

теме отсчета ускорение материальной точки (тела) прямо про-

порционально величине равнодействующей силы и обратно про-

порционально ее массе:

= , (2.1)

где

– равнодействующая сил, равная геометрической

сумме сил, действующих на материальную точку (тело),

– мас-

са материальной точки (тела). Направление ускорения совпадает с

направлением равнодействующей сил.

Векторная величина p

, численно равная произведению массы ма-

териальной точки на ее скорость и имеющая направление скоро-

сти, называется импульсом (количеством движения):

mp . (2.2)

Используя понятие импульса, второй закон Ньютона может быть

сформулирован в следующем виде: производная импульса мате-

риальной точки по времени равна равнодействующей сил:

= . (2.3)

Изменение импульса материальной точки (тела) при

действии на нее силы:

tFp D=D

, (2.4)

где tFD

– импульс силы,

– средняя сила, действующая на точку

(тело) в течение времени t

Третий закон Ньютона: две материальные точки (два тела)

действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направ-

ленными в противоположные стороны вдоль соединяющей эти

точки прямой. Эти силы приложены к разным материальным

точкам (телам), действуют парами и имеют одну природу (гра-

витационную – силы тяготения, или электромагнитную – упруго-

сти, трения).

Силы трения – силы, действующие вдоль соприкасающихся по-

верхностей тел и препятствующие их перемещению друг относи-

тельно друга.

Сила трения скольжения возникает в плоскости касания двух

соприкасающихся тел при их относительном перемещении и опи-

сывается законом Амонтона-Кулона. Величина силы определяется

выражением:

, (2.5)

где

– коэффициент трения скольжения, N – нормальная состав-

ляющая силы реакции опоры (нормального давления).

Различают также силы трения покоя (трение при отсутствии

относительного перемещения соприкасающихся тел) и внутрен-

нее трение (трение между слоями движущейся текучей среды –

жидкости или газа).

При деформации тел в них возникают силы упругости, которые

стремятся вернуть размер и форму тела в первоначальное

состояние.

Закон Гука: для упругих деформаций сила упругости прямо про-

порциональна величине абсолютной деформации

тела:

kxF

, (2.6)

где k – коэффициент жесткости, характеризующий упругие свой-

ства тела. Знак минус указывает на то, что деформация и направ-

ление действующей сила противоположны.

3. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя матери-

альными точками действует сила взаимного притяжения, прямо

пропорциональная произведению масс этих точек и обратно про-

порциональная квадрату расстояния между ними:

mGm

F = , (3.1)

где G – гравитационная постоянная, m

и m

– массы материальных

точек (сферических тел),

– расстояние между двумя материаль-

ными точками или центрами сферических тел, т.к. этот закон вы-

полняется также для тел, обладающих сферически симметричным

распределением массы.

Сила тяготения, действующая на тело, которое находится у по-

верхности Земли, называется силой тяжести. Сила тяжести

равна:

gmF

= , (3.2)

где g

– вектор ускорения свободного падения вблизи поверхности

Земли.

Сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие

притяжения к Земле, называется весом тела.

Невесомость – состояние тела, при котором в телах полностью

отсутствуют внутренние упругие напряжения, возникающие под

действием силы тяжести в обычных условиях. Состояние невесо-

мости имеет место, например, при движении тел под действием

только силы тяготения, когда отсутствует действие на опору или

подвес со стороны невесомого тела.

4. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Совокупность взаимодействующих материальных точек (тел) на-

зывается механической системой.

Силы, возникающие при взаимодействии между телами системы –

внутренние. Силы, с которыми действуют внешние тела на тела

системы – внешние.

Замкнутая (изолированная) система – механическая систе-

ма, на которую не действуют внешние силы.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой механиче-

ской системы при любых взаимодействиях внутри ее сохраняет-

ся, т. е. не изменяется со временем:

constm

. (4.1)

Энергия – универсальная мера различных форм движения и

взаимодействия всех видов материи.

Работа силы – количественная характеристика, используемая

для описания процесса обмена энергией между взаимодействую-

щими телами механической системы.

Механическая работа постоянной силы равна скалярному

произведению силы

и перемещения тела s

a=×= cosFssFA

, (4.2)

где

– угол между вектором силы и вектором перемещения

(рис. 1.4).

В зависимости от знака косинуса угла

работа силы может быть

как положительной, так и отрицательной. Работа силы, действую-

щей перпендикулярно направлению перемещения, равна нулю.

Работа переменной силы на криволинейном участке

пути:

a==×=d

cosFdrdrFrdFA

, (4.3)

где

F – проекция силы на направление перемещения. Смотри

также пояснения на стр. 17.

dsFA cos . (4.4)

Если построить график зависимости )(sF

, то работа силы пред-

ставляет собой площадь криволинейной трапеции – заштрихован-

ная часть на рис. 1.5.

Потенциальная (консервативная) сила – сила, работа кото-

рой зависит только от начального и конечного положений точки ее

приложения и не зависит от вида траектории этой точки и закона

их движения (например, силы гравитационного взаимодействия).

Диссипативная (непотенциальная) сила – сила, суммарная

работа которой при любых перемещениях замкнутой системы все-

Здесь и далее символом “×” обозначено скалярное произведение

векторов.

гда отрицательна (например, силы трения скольжения и силы со-

противления движению тел в жидкостях и газах).

Элементарную работу непотенциальной силы нельзя представить

в виде полного дифференциала, поэтому элементарная работа

произвольной силы обозначена A

Средняя мощность – физическая величина, равная отношению

работы

к промежутку времени t

, за который она совершена,

т.е. она характеризует скорость совершения работы:

= . (4.5)

Мгновенная мощность определяется выражениями:

(

)

= , (4.6)

cosFN ; u×=

FN , (4.7)

где u

– мгновенная скорость движения точки приложения силы.

Потенциальная энергия системы – зависящая от положения

тел (или частей одного и того же тела) величина, изменение кото-

рой равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой

с противоположным знаком. Таким образом, потенциальная энер-

гия – энергия взаимодействия.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела:

kxE

= , (4.8)

Рис. 1.4 Рис. 1.5

где k – коэффициент жесткости,

– величина абсолютной де-

формации тела, например, изменение длины пружины.

Потенциальная энергия гравитационного

взаимодействия материальных точек:

mGm

-= , (4.9)

где G – гравитационная постоянная,

m и

m – массы материаль-

ных точек (сферических тел),

– расстояние между двумя матери-

альными точками (центрами сферических тел).

Потенциальная энергия тела в однородном

поле тяжести:

mghЕ

= , (4.10)

где

– ускорение свободного падения, h – изменение положения

тела по высоте относительно уровня нулевой потенциальной

энергии.

Кинетическая энергия тела – мера его механического движе-

ния, определяющаяся работой, которую необходимо совершить,

чтобы вызвать данное движение. Для материальной точки кинети-

ческая энергия равна:

(

)

mpmE

=u= , (4.11)

где

– масса точки,

– ее скорость,

– импульс.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой

системе тел, между которыми действуют только консерватив-

ные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется

со временем:

constEEE

пк

=+=

. (4.12)

Работа сил потенциальных полей:

21 пп

EEA -= , (4.13)

где

21 пп

EE - – убыль потенциальной энергии тела в данном поле

при перемещении из некоторого первого положения во второе.

Закон изменения кинетической энергии системы: кине-

тическая энергия системы изменяется за счет работы внешних и

внутренних сил:

12 кк

EEA -= , (4.14)

где

1к

E и

2к

E – кинетическая энергия тела в начальном и конеч-

ном состоянии.

5. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Моментом силы

относи-

тельно некоторой точки О называ-

ется физическая величина, равная

векторному произведению радиус-

вектора

, проведенного из точки

O в точку приложения силы, и

вектора силы

FrM

´= . (5.1)

Моментом импульса

от-

носительно некоторой точки О

называется физическая величи-

на, равная векторному произве-

дению радиус-вектора

, про-

веденного из точки O в точку,

где находится тело, и вектора

импульса p

тела:

(

)

u´=´=

rmprL

. (5.2)

Уравнение моментов: производная по времени момента им-

пульса материальной точки относительно неподвижной точки О

равна моменту действующей силы относительно этой же точки.

Рис. 1.6

Рис. 1.7