Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

По условию задачи, tDe-w=w

, 0

, tDe=w

, тогда вы-

ражение (2) может быть записано так:

000

ttt Dw=Dw-Dw=j .

Так как угловое расстояние N

2, np=w 2

, то число

полных оборотов равно:

2tnN D= , 1802/3012

N .

Ответ: 61,1

M Н×м, 180

N .

Пример 18. Получить уравнение гармонического колеба-

тельного движения, если максимальное ускорение точки

0,493 м/с

, период колебаний 2,0 с и смещение точки от положения

равновесия в начальный момент времени 2,5 см.

Дано:

493,0

max

=a м/с

0,2

T с,

5,2

=x см 025,0

м.

Найти:

(

)

tx .

Решение. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

[6.2]:

(

)

j+w= tAx cos .

Ускорение определяется при этом как вторая производная ко-

ординаты по времени [1.10]:

()

j+ww-== tA

a cos

Модуль максимального значения ускорения

max

aa = опреде-

ляется при

(

)

1cos ±=j+wt , поэтому

max

w= Aa , откуда амплиту-

да колебаний равна:

max

w= aA .

С учетом того, что

, а также 0,2

T с, получим:

рад/с, 050,0

A м.

Уравнение движения точки примет вид:

(

)

j+p= tx cos05,0 .

Начальную фазу

найдем, зная, что в начальный момент

времени 0

t ,

xx = .

Отсюда j= cos05,0

x или 2105,0025,005,0cos

===j x ,

т.е. 3p=j .

Окончательно уравнение колебательного движения запишет-

ся в виде:

(

)

3cos05,0 p+p= tx м.

Ответ:

(

)

3cos05,0 p+p= tx м.

Пример 19. Протон движется со скоростью 0,7с. Найти им-

пульс и кинетическую энергию протона.

Дано:

c7,0

Найти:

E .

Решение. Импульс протона определяется выражением [7.3]:

mp . (1)

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то

необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользо-

вавшись при этом релятивистским выражением для массы [7.2]:

, (2)

где

– масса движущегося протона,

m – масса покоя электрона,

– скорость движения протона,

– скорость света в вакууме.

Подставляя выражение (2) в (1) и учитывая, что c

, полу-

чаем:

1 b-

p .

После подстановки числовых данных получим значение для

импульса протона:

827

1091,4

7,01

7,01031067,1

×=

××××

кг×м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы

определяется как разность между полной энергией

и энергией

покоя

E этой частицы [7.5]:

EEE

-= . (3)

mcE = ,

cmE = .

= .

Окончательно выражение для кинетической энергии протона

примет вид:

= 1

cmE

Произведя вычисления, получим:

106,0

×=

E Дж.

Ответ:

1091,4

×=p кг×м/с,

106,0

×=

E Дж.

Пример 20. Определить расход жидкости (массу жидкости,

протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени)

с помощью прибора, изображенного на рисунке 1.19.

Дано:

0,5

h см 050,0

м,

=S см

100,1

×= м

0,6

=S см

100,6

×= м

800

кг/м

Найти: Q .

Решение. В данной задаче необходимо рассмотреть течение

идеальной несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе пере-

менного сечения.

Расходом жидкости называ-

ется масса жидкости, протекаю-

щая через поперечное сечение

трубы в единицу времени:

tmQ DD= .

Так как tSVm

, то

расход жидкости в сечении

можно выразить следующим об-

разом:

ru=

SQ ,

где

u – скорость потока в сечении,

– плотность жидкости.

В этом случае можно применить уравнение Бернулли [8.5]:

+ pp , (1)

где

p и

p – статические давления, а

u и

u – скорости тече-

ния в сечениях 1 и 2 соответственно.

Выражение (1) можно переписать в виде:

(

)

221

u-u

=- pp . (2)

Так как жидкость несжимаема, то можно применить уравне-

ние неразрывности:

2211

u=u SS , откуда находим:

u=u

. (3)

Сопоставляя (2) и (3), имеем:

u-u

=- 1

pp .

Разность статических давлений в сечениях 1 и 2 равна гидро-

статическому давлению столба жидкости высотой h :

Рис. 1.19

ghpp r=-

, откуда получим:

Выражение для скорости течения в сечении 1 в таком случае

примет вид:

ghS

=u или

=u . (4)

Расход жидкости с учетом (4) будет равен:

2111

SSSQ

r=ru= .

Подставляя числовые значения, окончательно найдем:

()()

×-×

××

××××=

100,6100,1

05,081,92

800100,6100,1Q

594,0

кг/м

Ответ: 594,0

Q кг/м

ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ. КИНЕМАТИКА

1.1. Пассажир электропоезда, движущегося со скоростью 15 м/с,

заметил, что встречный поезд длиной 210 м прошел мимо

него за 6,0 с. Определить скорость встречного поезда.

1.2. Первую четверть пути мотоциклист проехал со скоростью

10 м/с, вторую – со скоростью 15 м/с, третью – со скоростью

20 м/с и последнюю – со скоростью 5,0 м/с. Определить

среднюю скорость мотоциклиста на всем участке пути.

1.3. Определить время подъема из метро пассажира, стоящего на

эскалаторе, если известно, что при одинаковой скорости от-

носительно ступенек по неподвижному эскалатору он под-

нимается за 120 с, а по движущемуся – за 30 с.

1.4. Моторная лодка плывет по реке из одного пункта в другой и

обратно. Во сколько раз время движения лодки против тече-

ния больше времени движения по течению, если скорость

течения 2,0 м/с, а скорость лодки в стоячей воде 10 м/с?

1.5. Определить продолжительность полета самолета между

двумя пунктами, расположенными на расстоянии 1000 км,

если дует встречный ветер, скорость которого 25 м/с, а

средняя скорость самолета относительно воздуха 250 м/с.

Чему равно время полета самолета при попутном ветре?

1.6. Определить время полета самолета между двумя пунктами,

находящимися на расстоянии 500 км, если скорость самоле-

та относительно воздуха 100 м/с, а скорость встречного вет-

ра, направленного под углом 30° к направлению движения,

30 м/с.

1.7. С какой наибольшей скоростью должен идти под дождем

человек, чтобы дождь не попадал на ноги, если он держит

зонт на высоте 2,0 м так, что край его выступает вперед на

0,30 м? Капли дождя падают вертикально со скоростью

8,0 м/с.

1.8. Определить скорость моторной лодки в стоячей воде, если

при движении по течению реки ее скорость 10 м/с, а при

движении против течения – 6,0 м/с. Чему равна скорость те-

чения воды в реке?

1.9. Турбореактивный самолет за 1,5 ч полета преодолел 700 км.

Определить скорость ветра, если его направление составляет

угол 90° с направлением движения самолета, скорость кото-

рого относительно воздуха 200 м/с.

1.10. Автомобиль движется со скоростью 25 м/с. На протяжении

40 м производится торможение, после чего скорость умень-

шается до 15 м/с. Считая движение автомобиля равнозамед-

ленным, найти ускорение и время торможения.

1.11. Самолет для взлета должен иметь скорость 100 м/с. Опреде-

лить время разбега и ускорение, если длина разбега 600 м;

движение самолета при этом считать равноускоренным.

1.12. Тело, совершающее равноускоренное движение, проходит

одинаковые отрезки пути длиной 15 м соответственно за

2,0 с и 1,0 с. Определить ускорение и скорость тела в начале

первого отрезка пути.

1.13. Определить время подъема лифта в высотном здании, считая

его движение при разгоне и торможении равнопеременным с

ускорением, равным по абсолютной величине 1,0 м/с

, а на

среднем участке – равномерным со скоростью 2,0 м/с. Высо-

та подъема 60 м.

1.14. Определить начальную скорость, которую необходимо со-

общить брошенному вертикально вверх телу, чтобы оно

вернулось обратно через 6,0 с. Чему равна максимальная

высота подъема?

1.15. В копре для забивки свай груз равномерно поднимается на

высоту 4,9 м за 5,0 с, после чего падает на сваю. Опреде-

лить, сколько ударов делает груз в минуту.

1.16. Определить начальную скорость, с которой тело брошено

вертикально вверх, если на высоте 60 м оно было 2 раза с

промежутком во времени 4,0 с. Сопротивление воздуха не

учитывать.

1.17. Тело, брошенное вертикально вниз с начальной скоростью

19,6 м/с, за последнюю секунду прошло 1/4 часть всего пу-

ти. Определить время падения тела и его скорость в момент

падения. С какой высоты брошено тело?

1.18. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

21 м/с. Определить время между моментами прохождения

телом половины максимальной высоты. Сопротивление воз-

духа не учитывать.

1.19. Материальная точка массой 1,0 г движется по окружности

радиуса 2,0 м согласно уравнению

(

)

2,08 tts -= м. Найти

скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения в

момент времени 3,0 с.

1.20. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой ско-

ростью 5,0 с

-1

и угловым ускорением 1,0 с

-2

. Сколько оборо-

тов сделает тело за 10 с?

1.21. Материальная точка движется по окружности радиуса

0,50 м. Ее тангенциальное ускорение 10 м/с

. Чему равны

нормальное и полное ускорения в конце третьей секунды

после начала движения? Найти угол между векторами пол-

ного и нормального ускорений в этот момент.

1.22. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему

радиус кривизны 50 м. Закон движения автомобиля выража-

ется уравнением

(

)

5,01010 tts -+= м. Найти скорость ав-

томобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускоре-

ния в конце пятой секунды.

1.23. От самолета, летящего горизонтально со скоростью 500 м/с,

оторвался предмет. Чему равны нормальное и тангенциаль-

ное ускорения предмета через 50 с после начала падения?

Сопротивление воздуха не учитывать.

1.24. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30° к горизон-

ту. Определить наибольшую высоту подъема, дальность по-

лета, радиус кривизны траектории в наивысшей точке.

1.25. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30° к горизон-

ту. Определить скорость тела, а также его нормальное и тан-

генциальное ускорения через 2,0 с после начала движения.

1.26. Определить скорость пули, если при выстреле из пистолета

в горизонтальном направлении во втором из двух верти-

кально закрепленных листов бумаги, находящихся на рас-

стоянии 20 м, пробоина оказалась на 5,0 см ниже, чем в

первом.

1.27. Под каким углом к горизонту брошено тело, если известно,

что максимальная высота подъема равна 1/4 части дальности

полета? Сопротивление воздуха не учитывать.

1.28. С башни высотой 19,6 м в горизонтальном направлении

брошено тело со скоростью 10 м/с. Записать уравнение тра-

ектории тела. Чему равна скорость тела в момент падения?

Какой угол образует эта скорость с горизонтальным направ-

лением? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.29. Из одной точки одновременно брошены два тела с одинако-

вой скоростью под разными углами к горизонту. Определить

расстояние между телами спустя 2,0 с после начала движе-

ния, если начальная скорость 10 м/с, а углы бросания

30° и 60°.

1.30. На какой высоте вектор скорости тела, брошенного под уг-

лом 45° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с, будет со-

ставлять с горизонтом угол 30°? Сопротивление воздуха не

учитывать.

1.31. С вершины горы брошено тело в горизонтальном направле-

нии со скоростью 19,6 м/с. Определить тангенциальное и

нормальное ускорения тела спустя 2,0 с после начала дви-

жения.

1.32. Через сколько секунд вектор скорости тела, брошенного под

углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с, будет

составлять с горизонтом угол 30°? Сопротивление воздуха

не учитывать.

1.33. Материальная точка движется по окружности, диаметр ко-

торой 40 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от вре-

мени выражается уравнением

(

)

+-+= ttts м. Опреде-

лить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускоре-

ние точки через 3,0 с от начала ее движения.

1.34. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

4,0 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же

начального пункта с той же начальной скоростью верти-

кально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии от

начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха

не учитывать.

1.35. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением

5,0 м/с

. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в

-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыду-

щую секунду. Принять начальную скорость равной нулю.

1.36. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которы-

ми 60°. Скорость автомашин 54 км/ч и 72 км/ч. С какой ско-

ростью удаляются машины одна от другой?

1.37. Материальная точка движется прямолинейно с начальной

скоростью 10 м/с и постоянным ускорением –5,0 м/с

. Опре-

делить, во сколько раз путь, пройденный материальной точ-

кой, будет превышать модуль ее перемещения спустя 4,0 с

после начала отсчета времени.

1.38. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть

пути он проехал со скоростью 18 км/ч. Далее половину ос-

тавшегося времени он ехал со скоростью 22 км/ч, после чего

до конечного пункта он шел пешком со скоростью 5,0 км/ч.

Определить среднюю скорость велосипедиста.

1.39. Тело брошено под углом 30° к горизонту со скоростью

30 м/с. Каковы будут нормальное и тангенциальное ускоре-

ния тела через время 1,0 с после начала движения?

1.40. Материальная точка движется по окружности с постоянной

угловой скоростью 6/

рад/с. Во сколько раз путь, прой-

денный точкой за время 0,4

t с, будет больше модуля ее

перемещения? Принять, что в момент начала отсчета време-

ни радиус-вектор, задающий положение точки на окружно-

сти, относительно исходного положения был повернут на

угол 3/

рад.

1.41. Материальная точка движется в плоскости XY согласно

уравнениям

111

tCtBAx ++= и

222

tCtBAy ++= , где

0,7

=B м/с, 0,2

-=C м/с

, 0,1

-=B м/с, 20,0

=C м/с

Найти модули скорости и ускорения точки в момент време-

ни 5,0 с.

1.42. Координаты материальной точки изменяются со временем

по закону tx 4

, ty 3

, 0

z . Найти зависимость пройден-

ного пути от времени, отсчитывая расстояние от начального

ее положения. Какой путь пройдет точка за 5,0 с?