Аскирка В.Ф. Механика, молекулярная физика, термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

= . (5.3)

Закон сохранения момента импульса: если момент внешних

сил относительно неподвижной точки О равен нулю, то момент

импульса системы относительно этой же точки остается по-

стоянным во времени, т.е.:

constL =

. (5.4)

Плечо силы относительно оси вращения – кратчайшее рас-

стояние от оси вращения до линии действия силы (перпендикуляр,

проведенный от оси к линии действия силы).

Момент силы относительно оси вращения представляет

собой проекцию вектора момента силы относительно точки O на

направление оси вращения при условии, что точка O лежит на

этой оси. Момент силы в этом случае равен произведению вели-

чины действующей силы на плечо:

sinFrFlM , (5.5)

где l – плечо силы (рис. 1.6),

– расстояние от оси вращения до

точки приложения силы,

– угол между

Если сила вращает тело по часовой стрелке, то ее момент принято

считать отрицательным, если же она вращает тело против часо-

вой стрелки – положительным. Если же линия действия силы

пересекает ось вращения или ей параллельна, то момент такой си-

лы будет равным нулю.

Уравнение моментов относительно оси вращения: произ-

водная по времени от проекции момента импульса материальной

точки на ось вращения

равна проекции момента действующей

силы на эту же ось:

= . (5.6)

Момент инерции материальной точки относительно некото-

рой оси – скалярная физическая величина, равная произведению ее

массы на квадрат расстояния до оси вращения:

mrI = , (5.7)

где

– расстояние от оси вращения до материальной точки.

Момент инерции системы материальных точек относи-

тельно оси – скалярная физическая величина, равная сумме произ-

ведений масс

материальных точек системы (частей тела) на

квадраты их расстояний до оси вращения:

rmI

, (5.8)

где

mD – масса точки (части тела),

r – расстояние от оси враще-

ния до точки (части тела).

Момент инерции сплошного твердого тела:

= dmrI

dVrI

, (5.9)

где

– плотность тела, V – объем тела.

Момент импульса материальной точки относительно

оси представляет собой проекцию вектора момента импульса ма-

териальной точки на ось вращения и равен произведению величи-

ны импульса точки на плечо:

sinprplL , (5.10)

где l – плечо (рис. 1.7),

– расстояние от оси вращения до точки,

– угол между

и p

Если материальная точка вращается по окружности радиуса

, то

момент импульса относительно оси вращения равен:

rmL

. (5.11)

Для системы материальных точек (твердого тела) момент импуль-

са относительно оси есть сумма моментов импульсов движения

отдельных точек (частей тела):

w=w=u=

åå

IrmrmL

iii

. (5.12)

Момент инерции тонкого полого цилиндра

радиуса R относительно его геометрической оси:

mRI = . (5.13)

Момент инерции тонкого сплошного цилиндра

или диска радиуса R относительно его

геометрической оси:

mRI = . (5.14)

Момент инерции шара радиуса R относительно его

геометрической оси:

(

)

52 mRI = . (5.15)

Момент инерции тонкого стержня длины

относительно оси, перпендикулярной стержню

и проходящей через его центр масс:

mlI = . (5.16)

Момент инерции тонкого стержня длиной

относительно оси, перпендикулярной стержню и

проходящей через один из его концов:

mlI = . (5.17)

Теорема Гюйгенса-Штейнера для нахождения момента

инерции твердого тела относительно произвольной

оси: момент инерции тела относительно некоторой произвольной

оси

равен моменту инерции относительно параллельной оси,

проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением

массы тела на квадрат расстояния между осями:

mdII

czz

+= , (5.18)

где

I – момент инерции относительно оси, проходящей через

центр масс, d – расстояние между этими осями.

Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси под

действием момента сил описывается основным уравнением

динамики вращательного движения:

=e . (5.19)

Используя выражение для момента импульса твердого тела при

вращении относительно оси, можно получить соотношения, уста-

навливающие связь между моментом силы, моментом инерции,

угловой скоростью и угловым ускорением:

(

)

M . (5.20)

Закон сохранения момента импульса: момент импульса

системы материальных точек (твердого тела) относительно

неподвижной оси вращения сохраняется, т. е. не изменяется с

течением времени, в случае равенства нулю момента

внешних сил:

constI

. (5.21)

Кинетическая энергия тела, вращающегося

относительно неподвижной оси:

w= IE

вр

. (5.22)

Кинетическая энергия тела, катящегося по

плоскости без проскальзывания (

w+u= ImE

, (5.23)

где первое слагаемое – кинетическая энергия поступательного

движения центра масс, а второе – кинетическая энергия вращения

тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Работа при вращательном движении твердого тела:

MdA , (5.24)

j= MdA , (5.25)

где

– момент внешних сил относительно оси вращения,

d –

изменение угла поворота под действием момента сил.

6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания – это движения или процессы, характеризующиеся

определенной повторяемостью во времени. Механические ко-

лебания характеризуются периодическими изменениями вели-

чин, описывающих механическое движение.

Колебания, при которых смещение изменяется по закону синуса

или косинуса, называются гармоническими.

Колебания системы, совершаемые за счет первоначально сооб-

щенной ей энергии без внешних воздействий, называются сво-

бодными. При отсутствии сил трения свободные колебания бу-

дут незатухающими (протекающими бесконечно долго).

Дифференциальное уравнение свободных

гармонических колебаний:

=w+ xx

, (6.1)

где

x =

, pn=p=w 22

T – циклическая частота собственных

колебаний.

Решением этого дифференциального уравнения является уравне-

ние гармонических колебаний:

(

)

00max

cos j+w= txx , (6.2)

где

j – начальная фаза,

j+w=j t – фаза,

max

x – амплитуда ко-

лебаний.

Фаза – физическая величина, характеризующая положение ко-

леблющейся системы в любой момент времени.

Амплитуда колебаний – максимальное значение периодически

изменяющейся, т.е. колеблющейся, величины.

Полная механическая энергия тела при гармоническом коле-

бательном движении постоянна и равна сумме его кинетической и

потенциальной энергий:

const

EEE

пк

=+=

max

. (6.3)

Период колебаний – промежуток времени, за который совер-

шается одно полное колебание.

Период колебаний математического маятника:

T p= 2, (6.4)

где l – длина маятника,

– ускорение свободного падения.

Период колебаний пружинного маятника:

T p= 2 , (6.5)

где m – масса маятника, k – коэффициент пропорциональности

между силой и смещением в законе Гука (коэффициент жесткости

пружины).

Период колебаний физического маятника:

mga

T p= 2, (6.6)

где

– момент инерции относительно оси вращения,

– рас-

стояние от оси вращения до центра тяжести.

7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Релятивистская механика изучает движение тел, имеющих

скорость, близкую к скорости света в вакууме.

Энергия покоя частицы:

cmE = , (7.1)

где

m – масса покоя частицы,

– скорость света в вакууме.

Релятивистская масса:

, (7.2)

где

– скорость движения частицы относительно инерциальной

системы отсчета.

Релятивистский импульс:

mp ,

. (7.3)

Полная энергия частицы:

mcE

. (7.4)

Кинетическая энергия релятивистской частицы:

=-= 1

cmEEE

. (7.5)

Лоренцево сокращение длины в релятивистской

механике:

-= , (7.6)

где

l – длина покоящегося стержня (собственная длина), l –

длина стержня, движущегося со скоростью

(близкой к скорости

света) относительно лабораторной (условно неподвижной) инер-

циальной системы. Стержень расположен вдоль оси, совпадающей

с направлением движения.

Замедление хода движущихся часов в релятивистской

механике:

, (7.7)

где

tD – собственное время движущихся часов (интервал време-

ни между двумя событиями, которые произошли в одной и той же

точке собственной системы отсчета, связанной с движущимся со

скоростью u

объектом), t

– интервал времени относительно ла-

бораторной (неподвижной) системы отсчета, измеренный по ча-

сам, находящимся в разных точках пространства этой системы.

Релятивистское уравнение динамики частицы:

= , (7.8)

где u=

mp – релятивистский импульс частицы.

8. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Давление жидкости – физическая величина, определяемая от-

ношением силы

F , действующей со стороны жидкости на пло-

щадку S перпендикулярно ее поверхности к величине ее пло-

щади:

= . (8.1)

Единицей измерения давления в системе СИ является один Пас-

каль (1 Па). 1 Па равен давлению, оказываемому силой в 1 Н, дей-

ствующей нормально на площадку 1 м

Закон Паскаля: давление, оказываемое на жидкость (газ), пере-

дается по всем направлениям и во все точки в объеме жидкости

(газа) одинаково.

Если жидкость слабо сжимаема, то ее плотность практически не

зависит от давления.

Гидростатическое давление столба несжимаемой жидкости

изменяется линейно с высотой, т.е.

ghp

, (8.2)

где

– плотность жидкости,

– ускорение свободного падения,

h – высота столба жидкости.

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), дей-

ствует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх

выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости

(газа):

gVF

r= , (8.3)

где

– плотность жидкости или газа, куда помещено тело, V –

объем погруженной в жидкость или газ части тела.

Движение жидкости (газа) называется течением. Линия, в каж-

дой точке которой касательная к ней совпадает с направлением

вектора скорости частиц жидкости (газа), называется линией

тока.

Трубка тока – часть жидкости (газа), ограниченная линиями

тока.

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на попе-

речное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной

трубки тока, что отражается в уравнении неразрывности

струи:

2211

u=u SS , (8.4)

где

u и

u – скорости движения потока в поперечных сечениях

S и

S трубки тока соответственно.

При стационарном

течении идеальной, т.е. невязкой, жидкости

(газа) выполняется закон сохранения энергии, который представ-

ляет собой уравнение Бернулли: сумма динамического, гидро-

статического и статического давлений при стационарном тече-

При стационарном течении скорости потока в каждом сечении не изме-

няются со временем.

нии среды есть величина постоянная для всех точек данной линии

тока, т.е.:

constghp =r+

, (8.5)

где

– плотность жидкости или газа,

– статическое давление,

h – высота, на которой находится сечение трубки тока по отноше-

нию к нулевому уровню (для горизонтальных трубок 0

h ),

– гидростатическое давление,

– динамическое давление

(обусловленное движением жидкости).

Нормальное напряжение при растяжении-сжатии:

=s , (8.6)

где

– нормальная составляющая силы (перпендикулярно попе-

речному сечению), приложенной к стержню, S – площадь попе-

речного сечения стержня.

Относительная деформация:

, (8.7)

где

l и l – первоначальная и конечная длина стержня соответст-

венно, l

– абсолютная деформация.

Пластическая деформация – деформация, которая сохраняет-

ся в теле после прекращения действия внешних сил.

Упругая деформация наблюдается в случае, если после пре-

кращения действия внешних сил тело принимает первоначальные

размеры и форму тела.

Закон Гука для растяжения-сжатия (упругие деформа-

ции): для малых деформаций относительное удлинение и напря-

жение пропорциональны друг другу:

, (8.8)