Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

61

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

;....

..............................................

;....

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

xxaxaxa

λ

(2.28)

или в векторной форме

xAx

λ

=

(2.29)

Такая система уравнений получается при подстановке в дифференциальные

уравнения системы (2.8) какого-нибудь их частного решения. К такой системе

сводится вычисление установившихся режимов работы системы (2.8). По сути

уравнения (2.28) отображают базис

x

1

, x

2

,…..x

k

сам в себя и поэтому характери-

зуют свойства такого отображения, или свойства матрицы

А, соответствующей

этому отображению.

В линейной алгебре эта задача известна как задача вычисления собственных

значений и собственных векторов матрицы, задающей линейное преобразование.

Значения параметра

λ

, для которых существуют нетривиальные (ненулевые) ре-

шения (2.29), называются собственными значениями матрицы А. Соответствую-

щие им векторные решения (2.29) называют собственными векторами матрицы А.

Столбец, составленный из элементов собственного вектора, для конкретного зна-

чения

i

λ

, называют модальным столбцом.

Перенеся правую часть уравнения (2.29)влево, получим

0)(

=

−

x

IA

λ

, (2.30)

где

I – единичная матрица.

Это уравнение обладает нетривиальным решением только тогда, когда его

определитель равен нулю

0

...

............

...

21

22221

11211

=

−

=−

λ

nnnn

n

aaa

λIA . (2.31)

62

Разложение этого определителя дает характеристическое уравнение систе-

мы или матрицы,

0)(....)()(

01

1

=+−++−+−

−

bbb

n

λλλ

(2.32)

из которого могут найдены все значения

λ

. Если теперь подставить найденные

значения

i

λ

в уравнение (2.30) и решить его, то вычисленные значения состав-

ляющих вектора

х для каждого значения

i

λ

будут собственными векторами мат-

рицы

А.

Собственные векторы матрицы имеющей действительные и различные соб-

ственные значения обладают следующими важными свойствами:

1.

Собственные векторы такой матрицы попарно ортогональны.

2. Собственные векторы матрицы n – го порядка порождают n – мерное

векторное пространство

3.

Собственные векторы матрицы n – го порядка образуют ортогональный

базис n – мерного векторного пространства.

Знание собственных значений и векторов матрицы системы позволяет осу-

ществлять линейные преобразования (2.26) в пространстве состояний, придавая

различный вид этой матрице. В задачах управления наиболее часто используются

следующие канонические виды матрицы

А [5].

1. Диагональная каноническая форма

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

д

A

λ

..00

........

0..0

2

1

, (2.33)

где

i

λ

- собственные различные значения матрицы А

Диагональной канонической форме соответствует следующая структурная

схема рис. 2.3.

63

U(t)

b

1

b

2

b

n-1

b

n

x

1

x

2

x

n-1

x

n

p

1

p

1

p

1

p

1

λ

2

λ

1−n

λ

n

λ

c

1

c

2

c

n-1

c

n

y(t)

Рис. 2.3.

2.

Каноническая форма управляемости

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

=

−

.

..

........

0..00

0..10

110 n

у

bbb

A , (2.34)

где b

i

– коэффициенты характеристического уравнения матрицы (2.32).

Структурная схема для канонической формы управляемости показана на

рис 2.4.

Y(t)

+ + +

b

n

b

n-1

b

2

b

1

U(t) x

n

x

n-1

x

2

x

1

p

1

p

1

p

1

p

1

-

c

n

c

n-1

c

2

c

1

+ + +

Рис. 2.4.

64

3.

Каноническая форма наблюдаемости

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

.

1...0

........

..01

..00

1

0

n

н

b

A . (2.35)

Структурная схема для канонической формы наблюдаемости показана на

рис 2.5

U(t)

b

1

b

2

b

n-1

b

n

+ x

1

+ x

2

+ x

n-1

+ x

n

y(t)

p

1

p

1

p

1

p

1

a

1

a

2

a

n-1

a

n

Рис. 2.5.

Наибольший интерес представляет получение диагональной канонической

формы, так как все остальные формы легко получаются из нее путем линейных

преобразований. Для диагонализации матрицы А используется следующее выра-

жение

ATTA

1

д

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

λ

..00

........

0..0

2

1

(2.36)

где

n

λ

,....,

21

- собственные значения матрицы А, а ее нормированные собствен-

ные векторы являются столбцами матрицы Т. Условием нормирования является

равенство единице модуля собственных векторов.

В качестве примера рассмотрим приведение многомерного объекта, зада-

ваемого уравнением

65

.

;

2211

222222121

2

111212111

1

xcxcy

ubxaxa

dt

dx

ubxaxa

dt

dx

+=

++=

к канонической диагональной форме.

Матрицы объекта равны

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

=

5,225,0

35,0

A ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

20

01

B ;

(

)

23

=

C .

Вычислим собственные значения матрицы

А из условия (2.31)

0

5,225,0

35,0

=

−−−

−

λ

.

Раскрывая полученный определитель, запишем характеристическое уравне-

ние объекта

023

2

=

+

λ

.

Корни этого уравнения или собственные значения матрицы А равны

2;1

21

−

=

−

=

λ

.

Найдем собственные векторы матрицы, подставляя в (2.30) вычисленные

собственные значения. Для первого собственного значения имеем:

.0)5,2(25,0

;03)5,0(

21111

=−−+−

=

+

−

tt

λ

При 1

1

−=

λ

получаем следующую систему уравнений для вычисления пер-

вого собственного вектора

.05,125,0

;035,0

2111

=−−

=

+

tt

.

Откуда

2111

6tt −=

66

Конкретные значения первого собственного вектора определяются услови-

ем нормировки

1

2

21

2

11

=+ tt

.

Подставляя сюда, решение уравнений

2111

6tt

−

=

получим

37

1

;

37

6

2111

−== tt

.

Аналогично найдем и второй собственный вектор

5

1

;

5

2

2112

−== tt

.

Зная собственные векторы можно записать выражение для матрицы Т за-

дающей переход в новую систему координат

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

5

1

37

1

5

2

37

6

T .

Найдем обратную матрицу

1

T

−

, используя выражение (2.16)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

−

2

53

4

5

2

37

4

37

1

T .

Не трудно убедиться, что

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==×

−

10

01

ITT

1

.

Новый вектор обобщенных координат

q задается линейным преобразовани-

ем

Tqx

=

.

Подставляя его в уравнения объекта получим

BuATq

q

T +=

d

t

d

.

67

Умножая обе части уравнения на

1

T

−

слева будем иметь

BuTATqT

q

I

11 −−

+=

d

t

d

Матрица

ATTA

1

д

−

= , в соответствии с (2.36) будет иметь диагональный

вид, где в главной диагонали стоят собственные значения матрицы

А.. Действи-

тельно

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

−

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

20

01

5

1

37

1

5

2

37

6

5,225,0

35,0

2

53

4

5

2

37

4

37

д

A

Вычислим новую матрицу управления BTB

1

д

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

=

2

37

4

5

53

4

37

20

01

2

53

4

5

2

37

4

37

д

B

Тогда в новых координатах

q

1

, q

2

уравнения объекта примут вид

.

;

22212122

2

21211111

1

ububq

d

t

dq

ububq

dt

dq

дд

++=

λ

2.3. Понятие наблюдаемости многомерной системы

Наблюдаемость и управляемость характеризуют свойства многомерных

систем и являются такими же важными понятиями, как устойчивость [2, 11 ].

Если устойчивость линейных систем однозначно определяется по коэф-

фициентам матрицы передаточной функции, или матрицы

А, или по коэффици-

ентам характеристического уравнения, то для оценки наблюдаемости необходи-

мо наряду с матрицей

А знать также матрицу наблюдаемости С. Аналогично

68

для оценки управляемости системы необходимо знать матрицу

А и матрицу

управляемости

В.

Рассмотрим вначале понятие наблюдаемости. При автоматическом

управлении предполагается, что наблюдение за системой или процессом сопро-

вождается измерением обобщенных (фазовых) координат

X

i

и в понятие наблю-

дение и измерение вкладывается практически одинаковый смысл. В отличии от

тождественности понятий наблюдения и измерения понятие наблюдаемость и из-

меримость в теории управления имеют различное содержание.

Под измеримостью понимается возможность прямого измерения той или

иной фазовой координаты. В этом случае речь идет о непосредственной наблю-

даемости. Под

наблюдаемостью же понимается возможность как косвенного, так

и прямого измерения фазовых координат на основе прямого измерения других,

как правило, регулируемых величин.

Общая постановка задачи определения состояния системы по наблюде-

ниям заключается в следующем. Пусть получено посредством наблюдения (изме-

рения) множество

Y, связанное известной функциональной зависимостью с

множеством

X , например Y=CX, принадлежащему пространству состояний сис-

темы с заданной математической моделью в форме Коши. Требуется определить

X или некоторое его подмножество XX

n

⊂ .

В зависимости от видов множеств

X и У, а также уравнений наблюдаемого

процесса, происходящего в системе управления, возможны следующие задачи на-

блюдения:

1. Множества

X и У имеют одинаковую размерность, т. е. имеет место

случай полнокомпонентного мгновенного измерения.

Задача наблюдаемости в этом случае сводится к решению системы, в об-

щем случае, алгебраических уравнений n-ого порядка с n неизвестными.

69

2. Измеряется одна компонента вектора

У и (n-1) её производные. Этот

случай аналогичен случаю 1. Однако он не имеет практического значения т. к.

невозможно точно измерить производные высокого порядка.

3. Размерность множества

Y меньше размерности множества X . Наибо-

лее распространённая постановка задачи наблюдаемости. Очевидно, что решение

этой задачи возможно только на основании априорной информации о работе

системы, т. е. необходима математическая модель системы.

Если в этом случае возможно определение полного вектора состояния

системы, то говорят о полной наблюдаемости и система называется вполне на-

блюдаемой.

Если существует возможность

восстановления только некоторого подмно-

жества из множества

X , а именно, части компонент обобщенных координат, то

имеет место неполная наблюдаемость, а система называется не вполне наблюдае-

мой.

Для количественной оценки степени наблюдаемости вводятся критерии по

которым оценивается эта степень.

Наиболее простой вид критерия получается для первого случая полноком-

понентного измерения вектора обобщенных координат. Этот критерий соответст-

вуем условию разрешимости

системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

Для линейных систем уравнений это условие формулируется в следующем

виде. Ранг матрицы наблюдаемости

С системы должен быть равен порядку систе-

мы.

Рассмотрим теперь третий случай. Так как наблюдаемость является внут-

ренним свойством системы, то ограничимся определением условий наблюдаемо-

сти для свободного движения. При свободном движении уравнения (2.8) системы

преобразуются к виду:

.

;

Cxy

Ax

x

=

dt

d

(2.37)

70

Продифференцируем n-1 раз второе уравнение (2.37) и подставим в полу-

ченные выражения для производных первое уравнение (2.37). В результате полу-

чим систему из n уравнений для вычисления

x

.

..............

;

xCAy

CAxy

Cxy

1n1n −−

=

&

(2.38)

Система уравнений (2.38) будет иметь единственное решение в том случае,

если ранг матрицы наблюдаемости V этой системы будет равен

n.

Матрица наблюдаемости имеет вид

[

]

T1nTT2TTTT

C)...(AC)(ACACV

−

= , (3.39)

а ее ранг должен быть равен порядку системы

(

)

nRankRank ==

− T1nTT2TTTT

C)...(AC)(ACACV)( . (2.40)

Это необходимое и достаточное условие наблюдаемости Калмана.

Рассмотрим простейший пример. Пусть система управления описывается

дифференциальными уравнениями вида:

dx

dt

abu

dx

dt

ax ax bu

ycx

1

11 1

2

21 1 22 2 2

1

=+

=+ +

=

;

.

Матрицы

А и С имеют вид:

()

.

0

;

0

;0;

0

22

2111

2221

11

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

c

a

aa

c

aa

a

TT

CA

Матрица наблюдаемости

V запишется в следующем виде, согласно (2.39):

)(

TTT

CACV ×=

Подставляя сюда выражения для транспонированных матриц

А и С полу-

чим:

Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

Подождите немного. Документ загружается.