Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

Подождите немного. Документ загружается.

На практике сформировать такой импульс на входе системы невозможно,

однако если длительность импульса

достаточно мала, то реакция системы на

такой импульс в силу ее линейности будет приблизительно равна его площади.

Для проверки этого предположения рассмотрим простейший пример дей-

ствия на апериодическое звено первого порядка импульса произвольной фор-

мы

()

и длительностью

Выражение для функции веса найдем по таблице преобразования Лапласа

()

tke

−

Подставим это выражение в (1.48) и учтем, что значение входного сигнала

равно нулю при tt

. Изменяя пределы интегрирования получим:

() ()

Yt ke U d

−

∫

ττ

Вынесем коэффициенты и переменные, не зависящие от

, за знак интегра-

лаь:

() ()

Yt ke U e d

−

∫

ττ

Применяя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла

найдем приближенное выражение для у(t).

() () ()

Yt ke U d e U d

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

∫∫

ττ ττ

Если предположить, что

, то e

−

≈

1 и

() () ( )

Yt t U d

≈

∫

ωττ

Иногда экспериментальное определение функции веса путем подачи на вход

системы коротких импульсов не всегда возможно. В этом случае на вход подают

единичную ступенчатую функцию.

()

⎩

⎨

⎧

.00

;01

tпри

(1.59)

Реакцию системы на единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисай-

да) называют переходной характеристикой или кривой разгона и обозначают h(t).

Очевидно, в силу линейности преобразования Лапласа между функцией ве-

са и переходной функцией существуют такие же соотношения как между

функцией и единичной функцией

(

)

()

(

)

()

( ) () ( ) ()

∫∫

tdthd

tdh

.1;

;

ττδττω

δω

(1.60)

Для установления взаимного соответствия между передаточной функцией

системы и переходной характеристикой достаточно подвергнуть преобразованию

Лапласа (1.54)

(

)

(

)

(

)

pWpPph

. (1.61)

1.7. Частотные характеристики

Использование преобразований Лапласа упрощает исследование систем

управления, так как позволяет перейти от решения дифференциальных уравне-

ний к решению эквивалентным им алгебраических уравнений.

Однако, остается неясным, как экспериментальным путем определить ко-

эффициенты дифференциальных уравнений или передаточных функций систе-

мы. Использование для этих целей экспериментально снятых временных харак-

теристик

может внести значительные погрешности в определении передаточной

функции из-за неточного воспроизведения входных тестовых сигналов (

функции и единичной функции), а также наличия помех.

Для экспериментального определения параметров передаточной функ-

ции можно воспользоваться еще одним интегральным преобразованием - преоб-

разованием Фурье.

Это преобразование аналогично преобразованию Лапласа и задается

следующими формулами:

∫

∞

∞−

∞

∞−

−

,)(

)(

;)()(

ωω

dejFtf

dtetfjF

(1.62)

где

- круговая частота, j =−1

Первое выражение является прямым преобразованием Фурье, второе -

обратным.

Формально преобразование Фурье отличаются от преобразования Лап-

ласа заменой оператора

на оператор

и изменение предела интегрирования

в первом выражении.

По аналогии с передаточной функцией W(р) можно ввести понятие час-

тотной передаточной функции W

()

равной отношению преобразованных по

Фурье выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях

()

. (1.63)

Выражение (1.63) позволяет экспериментально определить значение

()

при заданной частоте

. Для этого необходимо на вход системы подать

гармонический входной сигнал определенной частоты

xt xSin t() ( )=

В линейной системе выходной сигнал

()

также будет гармоническим

yt ySin t() ( )=+

, где

- фазовый сдвиг между входным и выходным сигнала-

ми. Подвергая эти сигналы преобразованию Фурье, найдем что:

xj x

yj ye

() ;

() .

Тогда из (1.57) можно вычислить W

()

для конкретного значения

() ()

()

ωω

ϕω

. (1.64)

Задаваясь различными значениями частоты

и измеряя амплитуды вход-

ного

и выходного

сигналов системы, а также фазовый сдвиг между ними

можно найти зависимость

()

как функцию частоты, а затем вычислить коэф-

фициенты

(),()

частотной передаточной функции.

Из (1.64) следует, что частотная передаточная функция является комплекс-

ной функцией, зависящей от

. Используя показательную и алгебраическую

форму представления комплексных чисел можно выделить в W

()

модуль, ар-

гумент, вещественную и мнимую части.

Модуль частотной передаточной функции равный отношению амплитуды

выходного и входного гармонических сигналов, как функции частоты называется

амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначается

()

AWj() (

. (1.65)

Аргумент

()

равный фазовому сдвигу между выходным и входным

сигналами, как функции

, называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ)

и обозначается

().

[

]

() arg ( )

Wj . (1.66)

Аналогично вещественная и мнимая части W

()

называются веществен-

ной (ВЧХ)

()

и мнимой (МЧХ)

()

частотными характеристиками

V( ) () ()

;

[

]

UWj() Re ( )

;

[

]

VWj() Im ( )

. (1.67)

Между этими характеристиками существуют очевидные соотношения:

[][]

AU V() () ()

ωωω

;

ϕω

()

;= arctg

(1.68)

[

]

UA() ()cos()

= ;

[]

VA() ()sin ()

Кроме этих четырех частотных характеристик существует еще амплитуд-

но-фазо-частотная характеристика АФЧX, представляющая собой годограф час-

тотной передаточной функции. Годограф - это геометрическое место точек векто-

ра W

()

на комплексной плоскости при изменении

от 0 до ∞ .

В качестве примера найдем частотные характеристики апериодического

звена первого порядка с передаточной функцией

() .=

+ 1

Запишем выражение для частотной передаточной функции

()

, делая

формальную замену

()

−

22 22

Пользуясь соотношениями (1.65)-(1.68) найдем:

()

;

()

−

arct

()

;

()

=−

Для получения аналитического выражения для АФЧХ сделаем подстановку

= ()

; y

= ()

в выражения для ВЧХ и МЧХ и исключим параметр

. По-

сле преобразований получим уравнение АФЧХ на комплексной плоскости:

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

Это уравнение полуокружности с центром k/2 ; j0 и радиусом k/2.

U ()

k +1

ϕω

()

A ()

V ()

Рис. 1.7.

Помимо выше приведенных частотных характеристик в теории управления

широко используются логарифмические частотные характеристики, построение

которых осуществляется на основе простейших вычислений.

Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (1.64):

[

]

[

]

)()(ln)(ln

jAjW

. (1.69)

Как видно из этого выражения логарифм частотной передаточной функции

равен комплексному числу, вещественная часть которого является логарифмом

модуля частотной передаточной функции, а мнимая – фазой.

Для построения логарифмических частотных характеристик используются

десятичные логарифмы и строят отдельно логарифмическую амплитудную час-

тотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характе-

ристику (ЛФЧХ), которая фактически

совпадает с фазовой частотной характери-

стикой

[

]

)(lg20)(lg20)(

оо

AjWL

. (1.70)

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую

единицу соответствующую десятикратному увеличению мощности. Децибел ра-

вен одной десятой части бела.

Расчет и построение ЛАЧХ в соответствии с (1.70) предполагает, чтобы

АЧХ стоящая под знаком десятичного логарифма была безразмерной величиной

мощности. Поэтому в том случае если )(

имеет какую-либо размерность в

(1.70) используют относительную передаточную функцию и относительную час-

тотную характеристику

)(

= , (1.71)

где

=1 – базовое значение, имеющее размерность )(

Появление дополнительного сомножителя в выражении для ЛАЧХ равного

двум обусловлено тем, что )(

представляет собой отношение не мощностей, а

их квадратов, т.е. при увеличении коэффициента передачи в

к раз, усиление мощ-

ности происходит в

раз, что и вызывает появление дополнительного сомножи-

теля в (1.70) равного двум.

Построим ЛАЧХ типовых звеньев.

Безинерционное звено

)(

, )lg(20)(

. ЛАЧХ безинерционнго-

го звена представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (прямая

1 на рис. 1.8.).

Интегрирующее звено

A =

)(, )lg(20)lg(20)(

−

. ЛАЧХ интег-

рирующего звена это прямая линия, проходящая через точку с координа-

тами )lg(20)( и1

и имеющая отрицательный наклон

дек

дб

20− (прямая 2 на рис. 1.8.).

Дифференцирующее звено

)(, )lg(20)lg(20)(

. ЛАЧХ

дифференцирующего звена это прямая линия, проходящая через точку с

координатами )lg(20)(и1

и имеющая положительный наклон

дек

дб

20 (прямая 3 на рис. 1.8.).

Апериодическое звено первого порядка

)(

= ,

)1lg(10)lg(20)(

ωω

TkL +−= . Эту характеристику приближенно мож-

но заменить асимптотической (прямая 4 на рис.1.8.)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>−−

≈

при),lg(20)lg(20)lg(20

;

при),lg(20

)(

ωω

Максимальная ошибка такого приближения на сопрягающей частоте

не превышает 3дб.

Колебательное звено

()

222

)(

ωξω

+−

= . Асимптотическая

ЛАЧХ которого равна (прямая 5 на рис.1.8.)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>−−

≈

при),lg(40)lg(40)lg(20

;

при),lg(20

)(

ωω

Для построения ЛАЧХ используется стандартная логарифмическая сетка.

По оси частот откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е.

наносятся отметки, соответствующие

lg , а около отметок пишется само значе-

ние частоты

ω в рад/С.

По оси ординат откладывается модуль нормированной амплитудно-

частотной характеристики в дб. Ось абсцисс (частот) должна пересекать ось орди-

нат в точке 0 дб, что соответствует значению 1)(

Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте, но обяза-

тельно левее самой малой сопрягающей частоты, соответствующей наибольшей

постоянной времени системы. Такое построение оси абсцисс необходимо, чтобы

справа от нее можно было показать всю ЛАЧХ..

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси

ординат откладывается

фаза в градусах или радианах в линейном масштабе.

дб

(

)

-20

0,01 0,1 1 10 100

рад/C

1/T 1/T

21 3 4 5

20дб/дек

-20дб/дек

-40дб/дек

Рис. 1.8.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характе-

ристик является возможность их построения практически без вычислительной ра-

боты. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная

функция может быть представлена в виде произведения передаточных функций

типовых звеньев. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть построена суммиро-

ванием ординат ЛАЧХ отдельных сомножителей, и

будет представлять собой со-

вокупность отрезков прямых с наклонами, кратными величине

де

дб

2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1 Понятие пространства состояний.

К многомерным системам относятся такие системы, у которых имеется

несколько управляемых и управляющих величин. Например, системы автома-

тического регулирования частоты вращения двигателей переменного тока, сис-

темы регулирования напряжения и частоты синхронного генератора, системы

управления промышленными роботами, системы управления подвижными объ-

ектами.

При исследовании многомерных систем пользуются методами пространства

состояний [11]. В отличие от подхода основанного на использовании структурных

схем и передаточных функций использование метода пространства состояний ос-

новано на возможности описания поведения системы некоторым количеством

дифференциальных

уравнений первого порядка относительно переменных со-

стояния с начальными условиями. Понятие состояния, лежащее в основе совре-

менного подхода к описанию поведения динамических систем, было впервые вве-

дено Тьюрингом в 1936 г. Позднее это понятие было использовано Шенноном в

его работах по теории информации. Начало широкому использованию этого под-

хода для решения задач

автоматического управления положили российские уче-

ные М.А. Айзерман, А.А. Фельдбаум, А.М. Летов, А.И. Лурье. За рубежом рас-

пространение этих идей и основанных на них методах анализа и синтеза систем

управления принадлежит Р. Беллману и Р. Калману.

Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управ-

ления, который характеризуется

входными и выходными переменными, к кото-

рым относятся:

1) входные переменные, представляющие сигналы, генерируемые система-

ми, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на ее поведение. Вход-

ные переменные разделяются на управляющие переменные, задаваемые вектором

(

)

,,...,

uuu=u

(2.1)

и возмущающие воздействия, задаваемые вектором

(

)

,,...,

fff=f (2.2)

2) выходные или регулируемые переменные, задаваемые вектором регули-

руемых величин