Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

Подождите немного. Документ загружается.

- системы адаптивного управления, изменяющие параметры закона управ-

ления (самонастраивающиеся системы), или сам закон (самоорганизующиеся сис-

темы) в зависимости от изменения параметров объекта управления.

Четвертым классификационным признаком является характер цели управ-

ления (В.2), в соответствии с которым все системы делятся на:

системы стабилизации, у которых целевая функция постоянна

cons

−

U)I(Y, ;

- системы программного управления, у которых целевая функция зависит от

времени

)(

U)I(Y, ;

- системы оптимального управления, у которых целевая функция в процессе

управления достигает экстремума

min(max)

U)I(Y, .

Основными задачами теории автоматического управления являются задачи

анализа и синтеза систем управления.

В задаче синтеза требуется найти закон управления удовлетворяющий усло-

виям (В.1) при заданных характеристиках и параметрах ОУ.

В задаче анализа необходимо по заданным закону управления и параметрам

ОУ проверить выполнение условия (В.1).

Решение этих задач в рамках

современной теории автоматического управ-

ления включает в себя:

-получение математических моделей объекта управления в пространстве

состояний или в виде моделей вход-выход;

- оценивание и идентификацию параметров математических моделей;

- оценку наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости и адапти-

руемости объекта управления;

- применение методов оптимального и адаптивного управления для нахож-

дения закона управления;

-проверку устойчивости системы автоматического управления;

определение качества процессов управления в соответствии с выбранной

целевой функцией.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Математические модели объектов управления

в обыкновенных и частных производных

Математическая модель это математическое описание координат, парамет-

ров и функций, отображающих существенные свойства объекта, процесса или яв-

ления. Математическая модель объекта управления является основой для анализа

и синтеза систем управления. В теории управления исследуются и

рассматрива-

ются не реальные системы, а их математические модели, поэтому результаты

проводимых исследований и расчетов лишь приблизительно отражают свойства

реальных систем. Чем точнее математическая модель отражает свойства реальной

системы, тем точнее результаты проводимых расчетов.

Для получения математической модели системы управления необходимо

дополнить уравнения объекта уравнениями исполнительных устройств, устройств

измерения и устройства

управления.

Очевидно, что без нарушения общности рассуждений исполни- тельные

устройства и устройства измерения можно отнести к объекту управления, расши-

рив размерность его вектора обобщенных координат. Такой объект, включающий

в себя исполнительные и измерительные устройства, будем называть обобщенным

объектом.

В наиболее общем случае управляемый процесс, протекающий в ОУ, может

быть описан

дифференциальными уравнениями в частных производных

(,) (,),

(,)lL

∈>0 (1.1)

при начальных условиях:

ll(, ) ()0

, (,..., )

nl L=

∈

12 (1.2)

и краевых условия условиях:

Bltblt

Φ(,) (,)

, ( , .... , , )imlL

∈

>12 0 , (1.3)

где

l - пространственная координата; m - число управляющих величин; n - число

управляемых величин.

Ограничимся рассмотрением случая, когда

L является волновым операто-

ром или оператором переноса, что соответствует исследованию динамических

процессов распространения возмущений и свободных движений. Кроме этого,

выбор такого оператора позволяет рассматривать достаточно широкий класс фи-

зических процессов теплопроводности, диффузии, переноса, газо-гидродинамики,

колебаний и сводится к решению смешанных задач математической физики для

уравнений гиперболического и параболического типа

вида:

clx U lt

() () () (,)

∂

∂∂

∂

++=

∑∑

. (1.4)

Рассмотрим основные физические процессы, сводящиеся к уравнению (1.4)

1. Уравнения колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стерж-

ней, мембран, трехмерных объектов) и физики (электромагнитные колебания)

описываются уравнением колебаний :

∂

div pgradx qx U l t−+=() (,)

. (1.5)

Неизвестная функция

(,) (координата процесса), зависящая от n

(n=1,2,3) пространственных координат

ll l

123

,, и времени

, коэффициенты

,,pq определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс,

свободный член

(,) выражает интенсивность внешнего возмущения. В урав-

нении (1.5) в соответствии с определением операторов

div и

grad

div pgradx

()=

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

∂

. (1.6)

Для однозначного описания процесса колебаний необходимо дополнитель-

но задать величину

l(, )0 в начальный момент времени (начальные условия) и

режим поведения

xl t(,)

на границе среды, где развивается физический процесс

(граничные условия)

В задачах механики

(,) отклонения точки материального тела с коорди-

натами

ll l

123

,, от положения равновесия, в задачах электродинамики

(,) на-

пряженность электрического или магнитного поля в точке пространства с коорди-

натами

ll l

123

,,.

2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии

частиц в среде описываются следующим уравнением диффузии.

∂

div pgradx qx U l t−+=() (,)

. (1.7)

Неизвестная функция

(,) в этом случае является температурой или кон-

центрацией вещества.

(,) - интенсивность источников тепла или вещества.

Как и в случае уравнения колебаний для полного описания процесса необ-

ходимо задать начальное распределение

l(, )0 (начальные условия) и режимы на

границе среды

xl t(,)

(граничные условия).

3. Уравнения газо-гидродинамики

∂

∂ρ

div V f l t

V gradV grad p U l t

++=

() (,);

(, ) () (,),

(1.8)

здесь

(,) - вектор скорости движения жидкости или газа,

(,)lt - плотность,

(,)- давление,

(,) - интенсивность источников, Ul

(,) - интенсивность

массовых сил.

Первое (уравнение неразрывности) и второе уравнение (уравнение Эйлера)

дополняются уравнением состояния, учитывающим связь между давлением и

плотностью.

Отметим, что для объектов с распределенными координатами, описывае-

мыми уравнениями в частных производных, координаты физического управляе-

мого процесса

(,) и внешние воздействия Ul

(,) непрерывно изменяются во

времени и пространстве. На практике контроль координат управляемого процесса

и внесение управляющих воздействий осуществляется в отдельных точках про-

странства. В связи с этим, в задачах автоматического управления, для математи-

ческого описания ОУ переходят к уравнениям в обыкновенных производных.

Формально такой переход можно осуществить заменой частных производ-

ных

на обыкновенные в уравнениях (1.5), (1.7), (1.8) и введением некоторой инте-

гральной характеристики учитывающей свойства и параметры среды.

Fx divpgradx() ( )

Учитывая конечную скорость распространения возмущений в пространст-

венной среде, где протекает управляемый процесс, а также то обстоятельство, что

точка приложения управляющего воздействия и точка контроля координат про-

цесса находятся в разных областях пространства, изменение

xl t(,)

под действи-

ем

Ul t(,)

будет происходить не мгновенно, а с некоторым запаздыванием.

Время этого запаздывания

можно вычислить как отношение расстояния между

точками приложения управляющего воздействия и контроля к скорости распро-

странения возмущений

−

С учетом вышеизложенного, уравнения (1.5), (1.7), (1.8) могут быть преоб-

разованы к виду:

1. Уравнения колебаний

ρτ

qx F x U t

++ = −() ( ). (1.9)

2. Уравнения теплопроводности и диффузии

ρτ

qx F x U t++ = −() ( ). (1.10)

3. Уравнения газо-гидродинамики

).()()(

);(),(

τρ

−=+=

−=+

tUFVF

tfVF

(1.11)

Эти уравнения являются нелинейными неоднородными уравнениями в

обычных производных.

1.2. Линеаризация нелинейных моделей объектов управления

Следует иметь в виду, что, говоря о линеаризации нелинейных моделей

объектов регулирования, фактически осуществляют линеаризацию нелинейных

дифференциальных или алгебраических уравнений которыми описывается объ-

ект.

Поскольку подавляющее большинство объектов управления являются не-

линейными системами, то одной

из задач теории линейных систем является зада-

ча линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта управления и опреде-

ление границ применения методов исследования линейных систем.

Стремление линеаризовать нелинейные системы, вызвано особыми свой-

ствами линейных систем, позволяющими в значительной степени облегчить их

анализ.

К таким свойствам относятся:

- свойство суперпозиции,

если

()

yfx=

- есть линейная функция, то

yx yx f x x() ( ) () )

12 12

для любых

- свойство однородности на изменение масштаба входной переменной.

Если

(

)

yfx=

- линейная зависимость, то

ax af x

() ()

для любых действительных

a .

Поведение физической конечномерной системы описывается системой не-

линейных дифференциальных уравнений в форме Коши.

[]

)(),( ttF

. (1.12)

Уравнение (1.12) в обобщенном виде описывает динамические свойства

объекта управления, задаваемые уравнениями (1.5), (1.7), (1.8) , когда обобщен-

ные координаты

и возмущения

являются векторами и зависят от времени.

Если рассматривать установившиеся состояния, при которых обобщенные коор-

динаты не зависят от времени, то система (1.12) преобразуется к виду:

0),(

UXF . (1.13)

Такая система является системой алгебраических уравнений и характери-

зует особенности работы объекта в статике, т.е. функциональные зависимости

между

и U для их установившихся значений. Уравнение (1.13), разрешен-

ное относительно X , называется статической характеристикой объекта и записы-

вается в виде:

)(UX

. (1.14)

Нетрудно убедиться, что система алгебраических уравнений (1.13) явля-

ется частным случаем системы дифференциальных уравнений (1.12), при усло-

вии, что все производные по времени равны нулю.

Непосредственное исследование поведения объекта управления или физи-

ческой системы по уравнению (1.12) представляет собой сложную вычислитель-

ную задачу сводящуюся к решению системы нелинейных дифференциальных

уравнений.

Для упрощения решения этой задачи ищут ее приближенное решение в

предположении, что ),( UX

F есть линейная функция по

. Следовательно,

точность приближенного решения уравнения (1.12) будет определяться погреш-

ностями линеаризации (1.14).

Из курса математики известно, что линеаризация нелинейности вида:

()

UX,F

или

()

UX f=

осуществляется в окрестностях какой-либо точ-

ки

U,X удовлетворяющей уравнению (1.14).

Обычно в качестве такой точки выбирается точка статической характери-

стики объекта, соответствующая номинальным значениям

U .

Для заданных

U путем решения системы алгебраических уравнений

(1.14) находят

. Затем в окрестностях этой точки осуществляют линеаризацию

нелинейной зависимости

(

)

VX,F

. Либо методом малых отклонений, либо

методом линеаризации в среднем.

Первый метод основан на разложении функции

()

UX f=

в ряд Тейлора в

окрестностях точки

U,X , с последующим отбрасыванием членов разложения

выше второго порядка. Линеаризованное уравнение (1.13) запишется в виде:

(

)

UXJ

, (1.15)

где

- функциональная матрица или якобиан функции )( UX,F в точке

U,X

;

UUUXXX −=Δ−=Δ ;

- малые приращения векторов

Подставляя (1.15) в (1.12) и учитывая, что

получим линеари-

зованную систему дифференциальных уравнений:

UBXA

Δ+Δ=

, (1.16)

где А и В квадратная и прямоугольная матрицы, определяемые свойствами яко-

биана функции

(

)

UX,F

и размерностью векторов

Область применения такого метода линеаризации ограничена малыми от-

клонениями переменных

от установившихся значений и условиями

существования якобиана функции

(

)

UX,F

, для чего необходимо условие диффе-

ренцируемости этой функции.

В том случае, если последнее условие не выполняется, т.е. функция

()

UX,F

имеет точки разрыва второго рода, используют метод линеаризации в

среднем.

Сущность этого метода заключается в аппроксимации нелинейной функ-

ции линейной зависимостью в заданном диапазоне изменения обобщенных ко-

ординат

. В качестве метода аппроксимации обычно используют метод наи-

меньших квадратов. Линеаризованная система имеет вид (1.16), однако вычис-

ление коэффициентов матриц

А и В осуществляется по методу наименьших

квадратов.

В соответствии с этим методом вводят вспомогательную функцию

, оп-

ределяемую как квадрат разности заданной нелинейной функции )(

X = и

линейной зависимости

на интервале [

]

() ()

()

Φ kb fU kU b dU

, =−−

∫

Функция зависит только от неизвестных коэффициентов

Минимизируя

по неизвестным коэффициентам

можно найти их

конкретные значения из следующей системы линейных алгебраических уравне-

ний:

∂

ΦΦ

==00;

В качестве примера линеаризуем участок параболы

на интерва-

ле U от 0 до 1.