Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

131

Введем вспомогательные контуры регулирования внутренних координат та-

ким образом, чтобы в каждом контуре оказалась только одна компенсируемая по-

стоянная времени, как показано на рис. 5.3.

x

з3

x

з2

x

з1

u

x

1

x

2

x

3

W

p3

(p) W

p2

(p) W

p1

(p) W

1

(p) W

2

(p) W

3

(p)

- - -

Рис. 5.3

Проведем вначале синтез внутреннего контура регулирования для перемен-

ной X

1

.

Для первого контура желаемая передаточная функция разомкнутого конту-

ра в соответствии с (5.35) будет выглядеть:

)1(

1

)(

1

11

+

=

pTpTa

pW

μμ

. (5.39)

Передаточную функцию регулятора найдем из условия

)()(

1111

pWWpW

pp

=

, (5.40)

где

)1)(1(

)(

1

++

=

pTpT

k

pW

p

μ

передаточная функция первого звена объекта рис.

5.2.. Тогда

pTT

T

pTak

pT

pW

uup

p

11

1

11

1

11

1

)(

+=

+

==

μ

. (5.41)

В результате синтеза получен ПИ - регулятор с постоянной интегрирования

TkaT

u111

=

μ

.

На основании (5.39) и (5.41) с учетом (5.36) найдем передаточную функцию

замкнутой системы

Wp

aT pT p

z1

1

11

()

=

++

μμ

. (5.42)

132

Если выбрать

a

1

таким образом, чтобы внутренний контур представлял со-

бой высокодемпфированное звено с невысоким показателем колебательности, то

выражение (5.41) можно упростить, пренебрегая членами второго порядка мало-

сти

Wp

aT p

z1

1

()

≈

+

μ

. (5.43)

С учетом этого допущения структурная схема рис. 5.3 преобразуется к виду

x

з3

x

з2

x

з1

x

1

x

2

x

3

W

p3

(p) W

p2

(p)

1

aT p

μ

+

W

2

(p) W

3

(p)

- -

Рис. 5.4.

В результате введения первого контура регулирования из второго контура

исключена большая постоянная

T

1

, а не компенсируемая постоянная времени

принимает значение

TaT

μμ

21

= , т. е. увеличивается в a

1

раз.

Проводя синтез второго контура регулирования можно записать выражения

передаточных функций.

Желаемая передаточная функция разомкнутого второго контура

Wp

aT pT p aaTpaTp

21

22 2 12 1

1

()

() ( )

=

+

=

+

μμ μ μ

. (5.44)

Передаточная функция регулятора

Wp

Tp

kaaTp

T

TT

p

uu

2

212

2

22

1

()

=

+

=+

μ

, (5.45)

где

TkaaT

u2212

=

μ

.

Вновь получена передаточная функция ПИ - регулятора.

Передаточная функция замкнутого второго контура

133

Wp

aa T paT p aa T p

z2

12 1 12

1

11

1

()

=

++

≈

+

μμ μ

. (5.46)

Структурная схема преобразуется к виду рис. 5.4.

1

21

+pTaa

μ

W

p3

(p)

W

3

(p)

_

x

з3

x

3

Рис. 5.5.

Сравнивая рис. 5.2 с рис. 5.5, можно установить, что в результате введения

двух контуров регулирования, исключено влияние на динамику системы больших

постоянных времени

TT

12

,. Вместе с тем увеличилась суммарная не компенси-

руемая постоянная контура, оценка которой составляет

TaaT

μμ

312

= . Желаемая

передаточная функция разомкнутой системы при этом запишется в виде

Wp

aa aT paa T p

21

123 12

1

()

=

+

μμ

. (5.47)

Передаточная функция регулятора третьего контура

Wp

Tp

kaaaTp

T

TT

p

uu

2

3

312 3

3

33

1

()

=

+

=+

μ

, (5.48)

где

TkaaaT

u33123

=

μ

- постоянная времени ПИ - регулятора.

С учетом принятых допущений передаточная функция замкнутого внешнего

контура регулирования приближенно соответствует колебательному звену с пере-

даточной функцией

Wp

aa aT paa T p

z3

123 12

1

11

()

=

++

μμ

. (5.49)

Введение вспомогательных, внутренних контуров регулирования имеет це-

лью формирование благоприятной передаточной функции замкнутой системы,

при использовании для последовательной коррекции физически реализуемых

134

простых регуляторов. Вспомогательные контуры называют подчиненными конту-

рами регулирования, а структура, показанная на рис. 5.2, представляет структуру

подчиненного регулирования обобщенных координат объекта.

Динамические показатели качества регулирования каждой обобщенной ко-

ординаты определяются соотношением постоянных

a

i

. На практике принимают

aa a

n12

2====...

, такая настройка называется настройкой на технический оп-

тимум или оптимум по модулю

. Она обеспечивает минимальное время регулиро-

вания

tT

p

= 47,

μ

при незначительном перерегулировании

σ

= 43%,

.

При настройке всех контуров на технический оптимум

()a

i

= 2 передаточ-

ную функцию i - го разомкнутого контура с помощью (5.39) и (5.47) можно запи-

сать так

Wp

Tp Tp

pazi

ii

()

=

+

−

1

22 1

1

μμ

. (5.50)

То же для замкнутого контура

Wp

Tp Tp

pazi

ii

()

=

++

−

1

22 11

1

μμ

. (5.51)

В случаях, когда требуется более высокая точность регулирования исполь-

зуют ПИД - регуляторы обеспечивающие настройку на

симметричный оптимум.

При такой настройке желаемую передаточную функцию разомкнутого контура

записывают в виде

Wp

Tp

Tp TpTp

()

=

+

41

4

1

21

μ

μμμ

. (5.52)

Формула (5.52) записана для первого внутреннего контура и может быть

применена для следующих контуров, если в нее подставлять соответствующие

значения

TT

i

μμ

=

−

2

1

. Астатизм системы в этом случае повышается до двух, но

при этом перерегулирование возрастает до 56 %.

135

5.4. Синтез регуляторов при модальном управлении

Синтеза параметрических регуляторов на основе метода подчиненного ре-

гулирования, или метода логарифмических частотных характеристик применимы

в первую очередь для одномерных объектов, или предполагают заранее заданную

последовательную структуру объекта при скалярном управлении. При векторном

управлении многомерным объектом использовать данные методы синтеза затруд-

нительно. В этом случае

более предпочтительным является использование мо-

дального управления (от латинского слова moda - корень).

В соответствии с теорией модального управления для всякого полностью

управляемого объекта

BuAx

x

+=

d

t

d

. (5.53)

всегда можно найти управление

xCu

T

=

, (5.54)

такое, что корни (моды) характеристического полинома замкнутой системы

)det()(

T

BCAI −−= ppD (5.55)

имеют наперед заданные значения

pp p

n12

,,..., I - единичная матрица.

Корни характеристического уравнения можно задать, используя корневые

критерии качества.

Докажем это утверждение, для этого подставим (5.54) в (5.53)

xBCA

x

T

)( +=

d

t

d

. (5.56)

Подвергнем последнее уравнение преобразованию Лапласа

)()()(

ppp xBCAxI

T

+= . (5.57)

Приведя подобные члены, получим:

0)()(

=−− pp xBCAI

T

. (5.58)

136

Нетривиальное решение этого уравнения может быть найдено из условия

равенства нулю определителя системы

0=−−

T

BCAIp . (5.59)

Это характеристическое уравнение системы, которое всегда можно привес-

ти к виду:

pap ap apa

nn n

nn

+++++=

−

−1

1

2

1

0.... . (5.60)

Значения коэффициентов

a

i

можно найти по теореме Виетта

,.......

..............................................................

;...

;....

21

312421321

213121

121

nn

nnn

nn

n

appp

appppppppp

apppppp

appp

=

−=+++

=++

−

=

+

−−

−

(5.61)

где

p

i

- корни характеристического уравнения (5.60).

С учетом полной управляемости эта система алгебраических уравнений все-

гда разрешима относительно неизвестных коэффициентов

c

ij

матрицы управле-

ния

T

C .

Таким образом, синтез регуляторов при модальном управлении сводится к

выражению коэффициентов характеристического уравнения

a

i

через заданные

коэффициенты матриц

A и B , а также неизвестные коэффициенты матрицы

T

C с

последующим их определением путем решения уравнения (5.61) при заданных

корнях характеристического уравнения

p

i

.

Рассмотрим случай скалярного управления, когда

u является скаляром.

Построение модального управления в этом случае осуществляется в сле-

дующем порядке [4].

Уравнение системы (5.53) приводится к канонической управляемой форме

(форме Фробениуса)

ub

(

&

(

+

=

xAx , (5.62)

137

где

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

=

−

1

:

0

,

.......

100:

000

0010

110

2

b

ddd

n

I

A

(

2−n

I - единичная матрица размера ()()nn

−

×

−

22, dd d

n01 1

, ,....

−

- коэффициенты

характеристического полинома объекта, задаваемого выражением:

Dp p d p dp d

n

( ) ......=+ +++

−

1

10

. (5.63)

Переход от переменной

x

к x

(

осуществляется преобразованием

xΨx

1

(

−

=

, (5.64)

где

1

)....)(.....(

−−−

= bbbbbb

1n1n

.AAAAΨ

(

Из структуры матрицы

A

(

следует, что уравнение системы в канонически

управляемой форме (5.62) может быть представлено в символической форме как:

)()()(

1

pupxpD

=

(

. (5.65)

Сравнивая это уравнение и заданный полином с известными корнями харак-

теристического уравнения

p

i

( ) ....

***

pp p dp dpd

i

nn

p

n

−=+ +++=

−

=

∏

1

10

1

0 (5.66)

получим

)()()()()(

1

*

1

pxpDpupxpD

(

=− . (5.67)

Разрешая последнее уравнение, относительно

u

p

() будем иметь

[

]

)()()()(

1

*

pxpDpDpu

(

−= . (5.68)

Раскрывая выражение, стоящее в квадратных скобках (5.68), найдем коэф-

фициенты матрицы управления

C

(

112

1

)....()( xcpcpcpcpU

n

(

++++−=

−

, (5.69)

где

cd di n

ii i

=− =

*

, , ....12 .

Принимая во внимание, что

1+

=

ii

xxp

(

получим

138

∑

=

−=−=

n

i

ii

xcu

1

xC

T

(

((

, (5.70)

где

C

(

- n- мерный вектор чисел.

Возвращаясь к исходным переменным, найдем исходный вектор

C

ΨCC

TT

(

=

. (5.71)

Рассмотрим пример вычисления матрицы

C

при модальном управлении.

Пусть имеется объект со структурной схемой рис. 5.6.

u x

1

x

2

k

Tp

1

1+

k

Tp

2

1+

Рис. 5.6.

и заданными корнями характеристического уравнения замкнутой системы

p

i

.

В развернутом виде уравнения (5.53) движения объекта можно записать в

следующем виде

,

1

;

1

2

1

2

22

1

x

T

x

T

k

dt

dx

u

T

k

x

Tdt

dx

−=

+−=

,

а уравнение для скалярного управления:

ucx cx

=

+

11 2 2

.

Матрицы

CB,A,

будут выглядеть следующим образом

()

21

1

22

2

1

,

0

,

1

0

1

cc

T

k

TT

k

T

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

= CBA .

Характеристическое уравнение системы найдем из уравнения (5.59), под-

ставляя сюда заданные матрицы

CB,A,

139

p

T

k

T

c

k

T

c

k

T

p

T

+− −

−+

=

1

0

1

2

22

,

или

p

TT

k

T

cp

TT

k

T

c

kk

TT

c

2

21

1

21

1

12

2

11 11

0++−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

+−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−=. (5.72)

Заданное характеристическое уравнение имеет вид:

()( )pp pp

−

=

12

0,

или

pppppp

2

12 12

0−+ + =()

. (5.73)

Приравнивая одноименные коэффициенты при характеристических поло-

низмах (5.72) и (5.73) получим систему уравнений для вычисления коэффициен-

тов

cc

12

,

11

12

1

2

112

21

1

12

1

212

TT

k

T

cpp

TT

k

T

c

kk

T

cpp

+− =−+

−−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

=

()

.

5.5. Аналитическое конструирование регуляторов

Впервые задача аналитического конструирования регуляторов (АКОР) ре-

шена А.М. Летовым в 1960 году. В зарубежных источниках задача АКОР называ-

ется задачей линейно-квадратичного управления или оптимизации.

Исходная постановка задачи АКОР формулируется следующим образом [4]:

для объекта управления

, движение которого в первом приближении описывается

уравнением:

0

)0(; xx

d

t

d

=+=

BuAx

x

, (5.74)

140

где

А и В заданные матрицы размеров nn

×

и nm

×

соответственно, найти мат-

рицу

С, размером mn× уравнения регулятора

xCu

T

=

(5.75)

такую, чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы задаваемой

уравнениями (5.74) и (5.75), создаваемых произвольными начальными склоне-

ниями xx()0

0

= минимизировать интегральный квадратичный критерий (функ-

ционал)

()

dtI

∫

∞

+=

0

uuQxx

TT

. (5.76)

где,

Q- заданная положительно определенная матрица размером nn× .

Доказательство единственности и существования управления (5.75) , осу-

ществляется в рамках теории оптимального управления [4] и нами рассматривать-

ся не будет

Рассмотрим процедуру АКОР которая состоит из следующих операций:

1. Составляется векторно-матричное алгебраическое уравнение Риккати

0=+−+ QPPBBPAPA

TT

. (5.77)

2. Осуществляется его решение, т. е. определяются неизвестные коэффици-

енты матрицы

Р.

3. Вычисляется матрица

С по формуле

PBC

−

=

. (5.78)

Отметим подобие законов управления при модальном и линейно-

квадратичном управлении. Однако в первом случае искомая матрица

C обеспечи-

вает заранее заданное расположение корней характеристического управления, а

во втором случае подобная ей матрица обеспечивает минимум интегрального

квадратичного критерия (5.76).

В качестве примера рассмотрим процедуру АКОР для системы задаваемой

структурой рис. 5.7.

Структура системы регулирования показана на рисунке 5.7.

Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем

Подождите немного. Документ загружается.