Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем
Подождите немного. Документ загружается.
121
5.2. Основные законы регулирования.
Для одномерных систем используются пять законов регулирования:
1. Пропорциональный; 2. Интегральный; 3. Пропорционально-интегральный; 4.
Пропорционально-дифференциальный; 5.Пропорционально-интегрально-
дифференциальный.
Рассмотрим особенности динамики систем с этими законами для объекта
второго порядка
()
()()
Wp
K
Tp T p
0
0
12
11
=
+⋅ +
. (5.4)
Пропорциональный закон регулирования
Пропорциональный закон регулирования в соответствии с (5.2) задается
выражением:
uKe
=
Π
. (5.5)
Реализация такого закона осуществляется пропорциональным регулятором
(П-регулятором) с передаточной функцией
(
)
Wp K
P
=
Π
. (5.6)
Оценим, каким образом влияет введение пропорционального регулятора на
качество регулирования. Воспользуемся для этого корневыми критериями качест-
ва и статической ошибкой системы.
Для нахождения статической ошибки по регулирующему воздействию най-
дем выражения для передаточной функции по ошибке:
()
()
Wp
Wp
e
=
+
1
1
, (5.7)
где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы:
122
()
()()
Wp
KK
Tp Tp
=
+⋅ +
ΠΟ
12
11
. (5.8)
Выражение для статической ошибки найдем, используя теорему о предель-
ном значении от изображения ошибки по Лапласу:
(
)
()
(
)
X
gp
Wp
g
KK
cm
p
=
+
=
+
→
lim
0
1
0
1
ΠΟ
. (5.9)
Статическая ошибка системы с П-регулятором отлична от 0 и уменьшается
с ростом
K
Π
, т.е. система с П-регулятором статическая.
Для оценки качества регулирования по корневым критериям найдем переда-
точную функцию замкнутой системы, используя рис. 5.1 и правило преобразова-
ния структурных схем.
()
()()
Wp
KK
Tp T p K K
3
12
11
=
+⋅ ++
ΠΟ
ΠΟ
. (5.10)
После очевидных преобразований можно записать:
()
WP
K
K
TT
K
P
TT
K
P
3
12
2
12
1
1
11
1
=
+
⋅
+
⋅+
+
+
⋅+
, (5.11)
где
KKK=
ΠΟ
- коэффициент усиления разомкнутой системы.
Корни характеристического уравнения будут равны:
()
P
TT TT
K
TT
12
12 12
2
12
1
2
11 11
41
=− +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
±+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
. (5.12)
Сравнивая полученное выражение с выражением для корней характеристи-
ческого уравнения объекта регулирования
P
TT TT TT
012
12 12
2
12
1
2
11 11 4
=− +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
±+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
(5.13)
123
можно сделать вывод об увеличении запаса устойчивости. Это следует из мень-
шего значения подкоренного выражения в формуле (5.12) по сравнению с (5.13).
Более того, чрезмерное увеличение коэффициента усиления П-регулятора
увеличивает степень колебательности.
Таким образом, введение пропорционального регулятора уменьшает
статическую ошибку системы в
1
1 + K
раз и уменьшает степень колебательно-
сти, а, следовательно, и запас устойчивости.
Интегральный закон
Интегральный закон регулирования осуществляется введением в систему
интегрального регулятора (И-регулятора).
Выражения для интегрального закона и передаточная функция И-
регулятора будут выглядеть:
()
.
1
;
1
0
pT
pW
dte
T
u
u
P
t
u
=
=
∫
(5.14)
По аналогии с П-регулятором найдем статическую ошибку системы
()
()
()()
.
11
;0
1
1)(
lim
21
0
0
+⋅+
=
=
+
=
→
pTpTpT
K
pW
pW
pg
X
u
P
cm
(5.15)
Этот предел будет стремиться к нулю, т.е. интегральный регулятор устраня-
ет статическую ошибку регулирования и делает систему астатической.
Анализируя выражение для передаточной функции системы
()
()( )
Wp
K
TpTp Tp K
u
3
0
12 0
11
=
+++
, (5.16)
124
можно сделать вывод, что порядок системы возрос на единицу по сравнению
с порядком объекта и в системе уменьшился запас по фазе и амплитуде.
Для системы третьего порядка устойчивость будет обеспечена при выпол-
нении соотношения, следующего из критерия устойчивости Гурвица:
aa aa
12 03
0
−
>
,
где
aTTaTTa a
K
T
u
012 112 2 3
0
1=⋅ =+ = =;;;
Откуда получается условие устойчивости для системы с И-регулятором и
объектом второго порядка.
11
12
0
TT
K
T
u
+>
. (5.17)
Чем не больше будет величина параметра
T
u
настройки интегрального ре-
гулятора, тем больше будет запас устойчивости. Однако, увеличение Т
и
приводит
к снижению быстродействия системы.
Пропорционально-интегральный закон регулирования
Увеличить быстродействие системы при нулевой статической ошибке по-
зволяет пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), задаваемый
следующими соотношениями:
()
.
1
1
;
1
0
pT
pTK
pT
KpW
dte
T
eKu
u
u
u
P
t
u
+
=+=
+=
Π
Π
Π
∫
(5.18)
Введение ПИ-регулятора позволяет при правильной его настройке ском-
пенсировать самую большую постоянную объекта, например
T
1
, и тем самым
125
значительно увеличить быстродействие системы, а наличие интегральной состав-
ляющей в законе регулирования устраняет статическую ошибку.
Для получения условия компенсации постоянной времени объекта запишем
выражение для передаточной функции разомкнутой системы:
()
(
)
()()
Wp
KKTp
TpTp Tp
u
u
=
+
+⋅ +
0
12
1
11
Π
. (5.19)
Если подобрать параметры настройки регулятор
K
Π
и
и
T
таким образом,
чтобы
1
TTK
и
=
Π
, то порядок системы понизится и (5.19) преобразуется к виду:
()
()
Wp
K
TpT
U
=
+
0
2
1
. (5.20)
Откуда передаточная функция замкнутой системы будет равна
()
()
Wp
K
TpTp K
u
3
0
20
1
=
++
, (5.21)
а корни характеристического уравнения могут быть найдены по формуле:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−±−=
и
T
TK
T
P
20
2
12
11
2
1
. (5.22)
Сравнивая (5.12) с (5.22) можно заключить, что запас устойчивости в систе-
ме с ПИ- и П-регуляторами соизмеримы, следовательно соизмеримо и быстродей-
ствие систем. Однако, ПИ-регулятор устраняет статическую ошибку.
Пропорционально-дифференциальный закон регулирования
Еще большее быстродействие системы обеспечивает пропорционально-
дифференциальный закон, реализуемый ПД-регулятором
()
.
;
pTKpW
dt
de
TeKu
d
d
+=
+=
Π
Π
(5.23)
126
При правильной настройке ПД-регулятор также компенсирует наибольшую
постоянную времени объекта. Условие компенсации найдем из передаточной
функции разомкнутой системы
()
()()
Wp
KK
T
p
Tp T p
d
=
⋅+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⋅ +
0
12
1
11
Π
Π
K
. (5.24)
Если принять
T
T
1
=
д
K
Π
, то передаточная функция значительно упростится.
()
Wp
KK
Tp
=
+
0
2
1
Π
. (5.25)
ПД-регулятор обеспечивает высокое быстродействие системы и увеличе-
ние запаса устойчивости, как по амплитуде, так и по фазе, однако он не устраняет
статической ошибки.
Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования
Этот закон сочетает достоинства всех вышеперечисленных законов.
()
.
1
1
;
1
2
0
pT
pTKpTT
pT
pT
KpW
dt
de
Tdte
T
eKu
u
udu
d
u
d
t
u
++
=++=
++=
Π
Π
Π
∫
(5.26)
ПИД-регулятор позволяет скомпенсировать сразу две постоянные времени,
что следует из передаточной функции разомкнутой системы
()
(
)
()()
Wp
KTTp KTp
TpTp Tp
ud u
u
=
++
+⋅ +
0
2
12
1
11
Π
(5.27)
Если выполнить соотношения:
TT TT K T T T
ud u
=
=+
12 1 2
;
Π
, то передаточ-
ная функция замкнутой системы примет вид:
127
()
1
1
0
0
0
3
+
=
+
=
p
K
T
KpT
K
PW
и
и
. (5.28)
Эта передаточная функция соответствует апериодическому звену первого
порядка и обладает высокими показателями качества.
Компенсация большего количества постоянных времени требует введения в
состав регулятора двукратно дифференцирующих звеньев, что практически не
реализуемо.
Для подтверждения этих утверждений запишем передаточную функцию ре-
гулятора компенсирующего три постоянных времени
()
(
)
(
)
(
)
pT
pTpTpT
PW
и
P
111
321
+
⋅
+
⋅
+
=
. (5.29)
Раскрывая скобки и проводя по членное деление, получим:
pTT
TTT
p
T
TTTTTT
p
T
TTT
pW
ииии
p
1
)(
321313221
2
321
+
++
+
+
+
+= (5.30)
Одно из слагаемых в законе регулирования содержит дифференцирующее
звено второго порядка.
При подаче на вход такого звена с передаточной функцией
Wp kp()=
2
высокочастотной помехи z=ASin
ω
t
на выходе после двукратного дифференци-
рования получим:
YKA t=− ⋅
ωω
2
sin
Амплитуда выходного сигнала возрастает пропорционально квадрату его
частоты. Если на вход системы действует помеха с частотой 10 кГц, то она уси-
лится после прохождения такого звена в 100000000 раз и подавит полезную ин-
формацию.
128
5.3. Синтез систем методом последовательной коррекции
с подчиненным регулированием координат
Пусть передаточная функция объекта имеет вид [6]:
Wp
kk k e
Tp
o
n
p
i
i
n
()
...
()
=
+
−
=
∏
12
1
1
τ
, (5.31)
где
τ
- постоянное запаздывание, T
i
- постоянные времени элементов объекта ре-
гулирования, расположенные в порядке убывания по значению, kk k
n12
... - коэф-
фициенты передачи элементов объекта регулирования.
Предположим, что передаточная функция регулятора задана в виде
Wp
Tp
kk k Tp
p
j
j
l
n
()
()
...
=
+
′′ ′
=
∏
1
1
12 0
, (5.32)
где
l
- число больших и средних постоянных времени. Для физически реализуе-
мых регуляторов
l
≤ 2, т. е. в качестве наиболее сложного регулятора можно ис-
пользовать ПИД-регулятор.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы
Wp
kk k e Tp
kk k Tp Tp
n
p
j
j
l
no i
i
n
()
... ( )
... ( )
=
+
′′ ′
+
−
=
=
∏
∏
12
1
12
1
1
1
τ
(5.33)
Если выбрать параметры настройки регулятора из условия компенсации
наибольших постоянных времени объекта kkTT
iii j
=
′
=
, исходная передаточная
функция (5.33) существенно видоизменится:
129
Wp
e
Tp Tp
p
j
jl
n
()
()
=
+
−
=
∏
τ
0
1
(5.34)
Исключение из передаточной функции разомкнутой системы звеньев с
большими и средними постоянными времени повышает быстродействие системы,
а введение интегрирующего звена с постоянной времени T
0
повышает точность
регулирования.
Выбирая
T
0
из условия
TT
l0
>
, где
T
l
, как было принято, является наи-
большей из оставшихся некомпенсированных постоянных времени
T
i
выражение
(5.34) можно упростить и приближенно записать в следующем виде:
Wp
TpT p
()
()
=
+
1
1
0
μ
, (5.35)
где
TT
i
l
n
μ
τ
=+
∑
- суммарная некомпенсированная постоянная времени объекта
регулирования, эквивалентная по потере запаса по фазе на частоте среза всем его
реальным некомпенсированным постоянным [6].
При этом передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид
Wp
TpT p
z
()
()
=
++
1
11
0
μ
, (5.36)
а корни характеристического уравнения равны:
p
T
T
TT T
aa
a
12
2
00
2
1
2
1
4
11
24
,
=− ± − = − ± −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
μ
μ
μ
, (5.37)
где
a
T
T
=
0
μ
- отношение постоянных времени.
Зная выражение для передаточной функции замкнутой системы и корней
характеристического уравнения нетрудно записать выражение для переходной
характеристики замкнутой системы
130
ht e t
a
aa
t
T
( ) cos( sin( )=− +
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
1
4
1
2
2
μ
ωω
, (5.38)
где
ω
μ
=
−4
2
2
aa
aT
- собственная частота замкнутой системы.
При
a < 4 переходный процесс в замкнутой системе будет колебательным,
причем время переходного процесса будет определяться суммарной не компенси-
руемой постоянной T
μ
из следующего выражения
tT
p
=
÷
()68
μ
.
Изложенный инженерный метод синтеза широко используется в практике
проектирования систем регулирования так как практически на основе простейших
расчетов позволяет по заданной передаточной функции объекта регулирования
найти передаточные функции регулятора, разомкнутой и замкнутой систем регу-
лирования, а также оценить качество системы по переходным характеристикам
типового колебательного звена.
Если в составе объекта
регулирования имеются больше двух постоянных
времени подлежащих компенсации, то в этом случае прибегают к введению под-
чиненных контуров регулирования.
Допустим, необходимо регулировать выходную координату объекта регу-
лирования, содержащего три больших постоянных времени TT T
123
,,и три обоб-
щенных координаты xx x
123
,, (рис. 5.2.).
u x
1
x
2
x
3
k
Tp Tp
1
1
11()()
μ
++
k
Tp
2
2
1+
k
Tp
3
3
1+
Рис. 5.2.