Артамонов Д.В., Семенов А.Д. Основы теории линейных систем
Подождите немного. Документ загружается.
31
где
i
p
- корни уравнения, получаемого путем приравнивания нулю знаменателя
передаточной функции (нули передаточной функции);
j
p
- корни уравнения, по-
лучаемого путем приравнивания нулю числителя передаточной функции (полюса
передаточной функции);
nm,
- порядок многочлена знаменателя и числителя пе-
редаточной функции;
k
ρ
- кратность нулей передаточной функции;
A
ij
- посто-
янные коэффициенты.
Предположим, что все нули и полюса передаточной функции лежат в левой
полуплоскости, включая и мнимую ось, т.е. действительные нули и полюса отри-
цательны, а комплексно-сопряженные нули и полюса имеют отрицательную ве-
щественную часть. В этом случае динамические звенья системы будут мини-
мально-фазовыми, и их
минимальный набор будет включать в себя:
1. Интегрирующие звенья с передаточной функцией и дифференциальным
уравнением:
()
WP
TP
=
1
;
T
dY
d
t
X=
. (1.36)
2. Дифференцирующие звенья с передаточной функцией и дифференциаль-
ным уравнением:
(
)
WP kP=
;
Yk
dX
dt
=
. (1.37)
3. Апериодические звенья первого порядка:
()
WP
k
TP
=
+ 1
;
T
dY
dt
YkX+=
. (1.38)
4. Колебательные звенья:
()
.2
;
12
2
2
2
22
kXY
dt
dY
T
d
t
Yd
T
TPPT
k
PW
=++
++
=
ξ
ξ
(1.39)
32
Нетрудно убедиться, что путем простейших алгебраических операций ум-
ножения и сложения можно получать любые выражения передаточных функций.
Если некоторые нули и плюса передаточной функции системы располага-
ются в правой полуплоскости, это свидетельствует о наличии в составе системы
не минимально- фазовых звеньев. Таким звеном является звено чистого запазды-
вания с передаточной
функцией и уравнением, связывающим выходную коорди-
нату с входной
Wp e
p
()=
−
τ
;
Y
t
x
t
() ( )
=
−
τ
. (1.40)
Разложение передаточной функции системы на простейшие дроби дает
возможность предположить, что любую систему автоматического регулирования
можно рассматривать как комбинацию минимального набора динамических
звеньев определенным образом соединенных между собой.
Изображение системы управления в виде совокупности динамических
звеньев с указаний связей между ними носит название структурной схемы.
Основными элементами структурных схем являются:
- детектирующее звено
- линия связи
- узел (разветвление)
- сумматор
Любая структурная схема может быть изображена с помощью трех типов
соединения звеньев: последовательного соединения; параллельного соединения;
соединения с обратной связью.
33
Рассмотрим структурные схемы таких соединений и найдем соотношения
между передаточной функцией полученной системы и передаточными функ-
циями отдельных звеньев, из которых эта система состоит. Принимаем, что все
звенья являются детектирующими.
Последовательное соединение звеньев.
При таком соединении выход предыдущего звена включается на вход по-
следующего. Структурная схема соединения звеньев показана на рис. 1.1
x(p) y
1
(p) y
2
(p) y
n-1
(p) y
n
(p)
W
1
(p) W
2
(p) W
n
(p)
Рис. 1.1
Уравнения отдельных звеньев в символической форме будут выглядеть:
(
)
(
)
(
)
() ()()
() () ()
.
;
;
1
122
11
pYpWpY
pYpWpY
pXpWpY
nn −
=
=
=
MM
Последовательно исключая промежуточные переменные получим:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
pXpWpWpWpY
n
K
21
=
.
Откуда следует, что передаточная функция последовательного соединения
звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, входя-
щих в соединение.
() ()
WP WP
i
i
n
пос
=
=
∏
1
. (1.41)
Параллельное соединение звеньев.
34
При таком соединении входные сигналы всех звеньев одинаковы и равны
общему входному сигналу, а выходной сигнал соединения равен алгебраической
сумме выходных сигналов. Структурная схема параллельного соединения звеньев
показана на рис. 1.2.
y
1
(p)
W
1
(p)
x(p) y
2
(p) y(p)
W
2
(p)
y
n
(p)
W
n
(p)
Рис. 1.2
Аналогично, как и в случае последовательного соединения, запишем урав-
нения для выходных сигналов звеньев:
(
)
(
)
(
)
() ()()
() () () ()
.
;
;
21
11
pYpYpYpY
pXpWpY
pXpWpY
n
nn
K
MM
++=
=
=
(1.42)
Подставляя выражения для
(
)
YP
i
в последнее уравнение, получим:
()
(
)
(
)
(
)
[
]
()
pXpWpWpWpY
n
+
+
+
= K
21
.
Откуда, передаточная функция параллельного соединения звеньев равна
сумме передаточных функций отдельных звеньев
() ()
WP WP
nap i
i
n
=
=
∑
1
. (1.43)
Соединение звеньев с обратной связью.
35
Такое соединение звеньев изображено на рис. 1.3.
g(p) x(p) y(p)
W(p)
_
x
ос
(p)
W
ос
(p)
Рис. 1.3.
Знак плюс соответствует положительной обратной связи, знак минус - от-
рицательной. Для такого соединения звеньев справедливы следующие очевидные
соотношения между переменными
(
)
(
)
(
)
() ()()
() ()()
.
4
;
0
pYpWpX
pXpWpY
pXpgpX
oc
oc
=
=
±
=
Разрешая эту систему уравнений относительно
X
p() и
Y
p(), получим:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)()
pXpWpWpWpY
=
±
0
1
.
Знак минус относится к положительной обратной связи, знак плюс - к от-
рицательной.
Откуда выражение передаточной функции для соединения с обратной свя-
зью будет выглядеть:
()
(
)
() ()
pWpW
pW
pW
oc
±
=
1
3
. (1.44)
Следует обратить внимание на то, что, имея структурную схему, можно од-
нозначно с использованием правил преобразования структурных схем, получить
выражение для передаточной функции и дифференциального уравнения системы.
Обратное утверждение будет неверным, т.е. одной и той же передаточной функ-
цией системы может соответствовать несколько структурных схем [11] .
36
Покажем это на примере. Пусть имеется передаточная функция звена, запи-
санная в виде:
()
21
2
10
apap
bpb
pW
++
+
=
. (1.45)
Запишем ее через отрицательные степени оператора
р.
()
2
2
1
1
2
1
1
0
1
)(
)(
−−
−−
++
+
==
papa
pbpb
pu
py
pW
. (1.46)
Введем вспомогательную переменную
Е(р) равную
()
2
2
1
1
1
)(
−−
++
=
papa
pu
pE
, . (1.47)
или
)()()()(
2
2
1
1
pEpapEpapEpu
−−
−−=
,
откуда нетрудно составить и структурную схему (рис. 1.4).
p
1
p
1
a
1
b
0
b
1
g
E
x
2
x
1
y
a
2
+
_
_
Рис. 1.4
Дифференциальные уравнения для переменных состояния или фазовых пе-
ременных могут быть легко найдены из рассмотрения структурной схемы систе-
мы.
37
.
;
;
2011
2112
2
2
1
xbxby
xaxau
dt
dx
x
dt
dx
+=
−−=
=
. (1.48)
Разложим (1.45) на простейшие дроби, предполагая, что характеристическое
уравнение звена имеет действительные корни
p
1
и p
2
. Согласно теореме Виетта
121
)( app =+−
,
221
app =
. Тогда выражение передаточной функции примет
следующий вид:
21
)(
)(
pp
B
pp
A
pu
py
−
+
−
=
,
где
21
110
pp
bpb
A
−
+
=
,
21
120
pp
bpb
B
−
+
−=
. Структурная схема следует из выражения переда-
точной функции непосредственно (рис. 1.5).
p
1
p
1
p
1
b
0
b
1
u
E
x
2
x
1
y
p
2
_
+
+
38
Рис. 1.5
Система дифференциальных уравнений теперь выглядит
.
;
;
21
22
2
11
1
BxAxy
xpu
dt
dx
xpu
dt
dx
+=
−=
−=
(1.49)
Если теперь записать (1.45) в виде произведения дробей, то получим сле-
дующее выражение
))(()(
)(
21
10
pppp
bpb
pu
py
−−
+
=
.
Введем переменные состояния
1
2
1
pp
x
x
−
=
2
2
pp
u
x
−
=
, тогда
110
)()( xbpbpy +=
. Отсюда можно получить структурную схему (рис. 1.6) и урав-
нения в переменных состояния
p
1
b
0
b
1
u
x
2
x
1
y
p
2
+
+
+
p
1
p
1
Рис. 1.6.
39
.)(
;
;
201110
22
2
211
1
xbxbpby
xpu
dt
dx
xxp
dt
dx
++=
+=
+=
(1.50)
Сравнивая уравнения состояния (1.48) - (1.50) и структурные схемы рис.
1.4-1.6 можно сделать вывод о том, что одной передаточной функции (1.45) могут
соответствовать различные структурные схемы и уравнения состояния. Такое
многообразие структурных схем обусловлено выбором различных систем отсчета
для переменных состояния. Выбирая переменные состояния в различных коорди-
натных системах можно будет получать и различные структурные
схемы.
1.6. Временные характеристики
В общем случае под временной характеристикой следует понимать реак-
цию системы
Y(t) на входной сигнал X(t), являющийся произвольной функцией
времени. В операторной форме выходной сигнал можно вычислить так:
(
)
(
)
(
)
YP WPXP=
. (1.51)
Переходя к оригиналам можно записать:
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
LY t L t L X t=
ω
, (1.52)
где
L –оператор преобразования Лапласа.
Применим к этому выражению теорему о свертке
()
[]
()
[]
()()
LtLXt L t Xd
t
ωωτττ
⋅= −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∫
0
. (1.53)
Откуда найдем
y
t
()
40
() ( ) ( )
yt t X d
t
=−
∫
ωτττ
0
. (1.54)
Функция
ω
(t) определяемая как обратное преобразование Лапласа от пере-
даточной функции называется функцией веса, а выражение (1.53) интегралом
Дюамеля. Функция веса, таким образом, представляет собой обратное преобразо-
вание Лапласа от передаточной функции и также характеризует динамические
свойства системы. Однако в отличии от передаточной функции она являясь функ-
цией времени, может непосредственно наблюдаться и,
следовательно, может
быть определена из эксперимента.
Из выражения (1.54) найдем, каким должен быть сигнал на входе системы
X(t), чтобы его выходной сигнал являлся функцией веса. Для этого заменим Y(t)
на
ω
(t), а X(t) на
δ
(t)
() ( ) ( )
ωωτδττ
tt d
t
=−
∫
0
. (1.55)
Используя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла [2]
можно записать:
( ) () () () () ()
ω τδτ τ ω δτ τ ω δτ τ
ξ
ξ
tdtd d
tt
−= +
∫∫∫
00
0
. (1.56)
Выражение (1.56) будет равно (1.55) только в том случае если при любом
0 ≤≤∞
ξ
()
∫
=
∞→
ξ
ξ
ττδ
0
1lim d
. (1.57)
Это предел существует, если
δ
(t) принимает следующие значения
()
⎩
⎨
⎧
≠
=
∞
=
.00
;0
tпри
tпри
t
δ
(1.58)
и называется дельта-функцией, или функцией Дирака.