Appel W. Mathematics for Physics and Physicists
Подождите немного. Документ загружается.
Portraits
Airy Sir George . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Alembert Jean le Rond d ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Bayes Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
Bienaymé Jules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
Bolzano Bernhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Borel Émile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Cauchy Augustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Christoffel Elwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Dirac Paul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Dirichlet Gustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Euler Leonhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Fourier Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Fubini Guido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Gauss Carl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Gibbs Josiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Heaviside Oliver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Hilbert David . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Jordan Camille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Kolmogorov Andrei Nikolaievitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Kronecker Leopold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
Landau Edmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
Laplace, marquis de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Lebesgue Henri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Lévy Paul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
Liouville Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Minkowski Hermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Poincaré Henri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Poisson Denis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Riemann Bernhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Schmidt Erhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Schwartz Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Schwarz Hermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Stokes George . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Taylor Brook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tchebychev Pafnouti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
Weier stras s Karl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
Sidebars
Lebesgue measure for Borel set s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A nonmeasurable set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Differentiability of a f unction on R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Pointwise convergence and Gibbs phenomenon . . . . . . . . . . . . 276
Extension of a continuous linear operator . . . . . . . . . . . . . . . 294
Integration of differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Double connectedness of SO(3) and magic tricks . . . . . . . . . . . 506
Riemann-Stieltjes integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
Index
The boldface page numbers refer to the
main definitions, the italic ones to exer-
cises. The family names in Small Capitals
refer to short biographies.
Symbols
∗
(Hodge operator) . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
∗
(adjoint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
∗
(dual). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436, 463
†
(adjoint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389, 497
∗ (convolution product) . . . . . . . . . . . . . 214
c.d.
−→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
c.p.
−→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
c.a.s.
−−→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
cv.s.
−→. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
cv.u.
−−→. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Π (rectangle function) . . . . . . . . . . 213, 279
⊐. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
A (closure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
〈ψ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260, 380
|ψ〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260, 379
〈x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
|x〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
〈p|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383
|p〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383
σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
generated . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 513
by an r.v.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
independent —s. . . . . . . . . . . . 519, 537
∼ (u
n
∼ v
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
⊗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 439
∧ (exterior product) . . . . . . . . 464, 467, 468
Laurent Pierre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A
a.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Abelian group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
Absolute convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Accumulation point . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378, 389
Airy George (sir) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Airy integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
d’Alembert Jean le Rond . . . . . . . . . . . 415
d’Alembertian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Algebra
σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
convolution — . . . . . . . . . . . . . . . . 236
exterior — . . . . . . . . . . . . 469, 463–471
Lie — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 9 6
Almost
complete system . . . . . . . . . . . . . . . 518
everywhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
surely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Analytic
continuation . . . . . . . . . . . . . . 144, 366
function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 101
signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365, 366
Antihermitian function . . . . . . . . . . . . . 285
Antiholomorphic function . . . . . . . 92, 157
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Asymptotic expansion. . . . . . . . . . . . . . . . 37
Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . 368, 370
Average power of a function . . . . . . . . . 370
Axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
B
B(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Ball (open/closed —) . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Banach fixed point theorem . . . . . . . . . . 15
Basis
algebraic — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
dual — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 463
generalized — . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Hilbert — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Bayes Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
Bayes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517, 518
Bernoulli Jacques . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
Bernoulli distribution . . . . . . . . . . . . . . . 524
Bertrand function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bessel
function. . . . . . . . . . . . . . . . . .320, 324
inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Bienaymé Jules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
Bienaymé identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
Bienaymé-Tchebychev inequality. . . . . .547
Bilateral Laplace t ransform . . . . . . . . . . 332
Binomial
distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . .524
law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
Bolzano Bernhard . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Borel Émile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Borel set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bounded (continous) operator . . . . . . . 390
632 Index
Bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0
〈ψ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260, 380
〈x|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
〈p| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
generalized — . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 83
Branch point . . . . . . . . . . . . . . . 111, 136, 139
Bromwich contour . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . 17 0, 425
Buffon George Leclerc, comte de . . . . 549
C
cv.s.
−→. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
cv.u.
−−→. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C ([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Casorati-Weierstrass theorem . . . . . . . . . 109
Cauchy
criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 23
distribution. . . . . . . . . . . . . . . 529, 562
formula . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 99, 101
law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
— -Lipschitz theorem. . . . . . . . . . . .46
principal value pv(1/x)188, 189, 224
Fourier transform of the —. . .304
problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238, 346
product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
— -Riemann equations . . . . 88, 90, 92
— -Schwarz inequality . . . . . . . . . . 25 2
sequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
theorem . . . . . . . . . . 93, 97, 98, 98, 598
Cauchy Augustin-Louis. . . . . . . . . . . . . .88
Causal
function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331, 366
system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Cavendish experiment . . . . . . . . . . . . . . 484
Centered random variable . . . . . . . . . . . 532
Central limit theorem. . . . . . . . . . . . . . . 558
Characteristic function χ
A
. . . . . . . . . . . 63
Characteristic function ϕ
X
. . . . . . . . . . 541
Charge (density of —) . . . . . . . . . . . . . . . 199
Choice (Ax iom of —) . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Christoffel Elwin . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Circular lens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Class S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Class (complete — of events) . . . . . . . . . 513
Classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Clever trick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Closable operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
differential form . . . . . . . . . . . . . . 474
operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Closure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .579
of an operator . . . . . . . . . . . . . . . . 391
of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Coefficients (Fourier —) . . . . . . . . . 258, 264
Coherence
function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
spatial —. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
temporal — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Comb . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Dirac, comb
Commutative group . . . . . . . . . . . . . . . . 489
Commutatively convergent . . . . . . . . . . . 26
Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
Complete
— measure space . . . . . . . . . . . . . . . . 61
class of events . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
normed vector space . . . . . . . . . . . . 14
Complex logarithm . . . . . . . . . . . . . 135, 136
Complex velocity (of a fluid) . . . . . . . . 167
Conditional probability . . . . . . . . . . . . . 517
Conditionally convergent series . . . . . . . 26
Conformal map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Conformally equivalent . . . . . . . . . . . . . 157
Connected
doubly — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
simply —. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 575
space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
Constants (structure —) . . . . . . . . . . . . . 496
Continuation (analytic —) . . . . . . . 14 4 , 366
Continuity
of convolution . . . . . . . . . . . . . . . . 235
of differentiation . . . . . . . . . . . . . . 230
of a linear functional . . . . . . . . . . 184
of a map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
under the
R
sign . . . . . . . . . . . . . . . 77
Contour
Bromwich — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
integration —. . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Contractible open set . . . . . . . . . . . . . . . 474
Contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Contraction of indices . . . . . . . . . . . . . . 454
Contravariant coordinates . . . . . . . . . . . 434
Convergence
absolute — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 29
almost everywhere — . . . . . . . . . . . 554
almost sure — . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
commutative — . . . . . . . . . . . . . . . . .26
conditional — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
in distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 554
dominated — theorem. . . . . . . . . . . 75
in measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
normal — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
pointwise —
of a Fourier series . . . . . . . . . . . 268
of a sequence of functions . . . . 19
Index 633
of a series of functions . . . . . . . 29
in probability . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
radius of — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
in S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
of a series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
simple — . . . . . . . . . . . see pointwise —
to ±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
uniform —
of a double sequence . . . . . . . . . 16
of a Fourier series. . . . . . . . . . .269
of a sequence of functions . . . . 19
of a series of functions . . . . . . . 29
weak — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
Convolution
algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
of causal fu nct ions . . . . . . . . . . . . 339
continuity of — . . . . . . . . . . . . . . . 235
discrete — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
of distributions. . . . . . . . . . . . . . . . 214
and Fourier transform . . . . . . . . . 292
of functions. . . . . . . . . . . . . . . 211, 270
inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
regularization by — . . . . . . . . . . . . 235
Coordinate forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Coordinates
change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
contravariant — . . . . . . . . . . . 434, 451
covariant — . . . . . . . . . . . . . . . 437, 449
curvilinear — . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
Correlation function. . . . . . . . . . . . . . . . 368
Coulomb potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Fourier transform of the — . . . . . 306
Laplacian of the — . . . . . . . . . . . . . 208
Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
Covariant coordinates. . . . . . . . . . . . . . . 437
Criterion
Cauchy — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 23
Rayleigh — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Current (density of — ) . . . . . . . . . . . . . . 199
Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Curvilinear coordinates . . . . . . . . . . . . . 455
Cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Cyclic group . . . . . . . . . . . see Permutations
D
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
is dense in D
′
. . . . . . . . . . . . . . . . 235
D
′
+
, D
′
−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
δ
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
D
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
d (exterior derivative) . . . . . . . . . . . . . . . 470
δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 186
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 134
dx
i
∧dx
j
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
dz, d¯z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
∂/∂ z, ∂/∂¯z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
d’Alembertian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
d’Alembert Jean le Rond . . . . . . . . . . . 415
Debye Petrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Debye screen, potential. . . . . . . . . . . . . . 325
Deceit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Degree of a representation . . . . . . . . . . . 492
Dense subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574, 579
Density
of charge and current . . . . . . . . . . 199
of D in D
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
probability — . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
joint — . . . . . . . . . . . . . . . . 534, 539
of S in L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
spectral —. . . . . . . . . . . . . . . . . 368, 370
of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . 574, 579
Derivation (continuity of —) . . . . . . . . . 230
Derivative
of a discontinuous function . . . . 201
of a distribution. . . . . . . . . . . . . . . 192
exterior — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
C
1
-diffeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Differentiability under the
R
sign . . . . . 78
Differential
form. . . . . . . . . . . . . . . . . 469, 463–483
integral of a — . . . . . . . . . . . . . . 471
of a function . . . . . . . . . 134, 586, 58 7
Diffraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314
Diffuse
mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Dilation of a distribution . . . . . . . . . . . 190
Dini Ulisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dini’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Dirac
comb X . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 307
Fourier transform of — . . . . . . 307
curvilinear — distribution . . . . . . 195
distribution δ . . . . . . . . . 185, 186, 194
Fourier transform of — . . . . . . 303
Laplace transform of — . . . . . . 342
distribution δ
′
. . . . . . . . . . . . . . . . 196
measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514, 552
sequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
surface — distribution . . . . . . . . . . 19 5
Dirac Paul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Direct product . . . . . . . . . . . . . . . . . 209, 210
Dirichlet
function. . . . . . . . . . . . . . . . . . .62, 279
problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
634 Index
for a disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
on a half-plane . . . . . . . . . . . . . 17 5
for a strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Dirichlet Gustav Lejeune . . . . . . . . . . . 171
Dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Bernoulli — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
binomial — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 24
Cauchy — . . . . . . . . . . . . . . . . 529, 562
convergence in — . . . . . . . . . . . . . . 554
curvilinear Dirac — . . . . . . . . . . . . 195
δ
′
(Dirac derivative) . . . . . . . . . . . 196
derivative of a — . . . . . . . . . . . . . . . 192
dilation of a — . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Dirac — δ . . . . . . . . . . . . 185, 186, 194
Fourier transform of — . . . . . . 303
Laplace transform of — . . . . . . 342
function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
joint — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
Gaussian — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Heaviside — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
marginal — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
normal — . . . . . . . . . . . . . . . . . 515, 557
Poisson — . . . . . . . . . . . . 530, 530, 547
probability — . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
regular — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
regularization of a — . . . . . . . . . . . 234
sgn (“sign”) — . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
singular — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
support of a — . . . . . . . . . . . . . . . . 187
surface Dirac —. . . . . . . . . . . . . . . . 195
tempered — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
translate of a — . . . . . . . . . . . . . . . . 189
transpose of a — . . . . . . . . . . . . . . . 190
Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Dominated
convergence theorem . . . . . . . . . . . 75
sequence — by anothe r . . . . . . . . . 580
Doubly connected . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
Dual
basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 463
Hodge — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
of a vector space . . . . . . . . . . 436, 463
Duality (metric —) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
E
E
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
ǫ(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
ǫ
αβµν
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
E
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 463
Egorov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Eigenvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391, 403
generalized — . . . . . . . . . . . . . 392, 403
Eigenvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Einstein Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Einstein convention . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Electromagnetic field
dynamics of the — without sources
348
Green function of the — . . . . . . . . 414
Electromagnetism . . 228, 325, 348, 414–422
Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165, 194
Element (matrix —) . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Endomorphism
hermitian — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
normal — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
self-adjoint — . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
symmetric — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Energy (of a signal) . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Entire functi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Equation
heat — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240, 422
Klein-Gordon — . . . . . . . . . . . . . . . 429
Maxwell — . . . . . . . . . . . . . . . . 481, 482
Poisson — . . . . . . . . . . . . . . . . . 164, 217
Schrödinger —. . . . . . . . . . . . . . . . .427
Equivalent
conformally — open sets . . . . . . . . 157
norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .581
paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
Essential singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Euler Leonhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Euler function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Event . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
incompatible —s . . . . . . . . . . . . . . . 513
realized — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .513
Exact differential form . . . . . . . . . . . . . . 474
Expansion
asymptotic series — . . . . . . . . . . . . . 37
Fourier series — . . . . . . . . . . . . . . . 265
perturbative —. . . . . . . . . . . . . . . . . .38
power series —. . . . . . . . . . . . . . .34, 35
Taylor — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527, 528
Extension
of a continuous operator . . . . . . . 294
of an operator on H . . . . . . . . . . . 388
Exterior
1-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
2-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
k-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
algebra . . . . . . . . . . . . . . . 469, 463–471
derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467, 468
Index 635
F
F [ f ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Faithful representation . . . . . . . . . . . . . . 492
Faltung theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Family (free/generating —) . . . . . . . . . . . 250
Faraday tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
Fejér sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270, 313
Feynman Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Feynman propagator. . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 2
Field
electromagnetic —
dynamics of the — without sources
348
Green function of the — . . . . . 414
transverse/longitudinal — . . . . . . 358
Finite p art f p(1/x
k
) . . . . . . . . . 241, 324, 345
Finite p ower functions . . . . . . . . . . . . . . 370
Fischer (Riesz- — theorem) . . . . . . . . . . . . 67
Fixed point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Form
coordinate — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
differential — . . . . . . . . . 469, 4 6 3–483
closed — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
exact — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
integral of a — . . . . . . . . . . . . . . 471
exterior 1-form . . . . . . . . . . . . . . . . 463
exterior 2-form . . . . . . . . . . . . . . . . 464
exterior k-form . . . . . . . . . . . . . . . . 465
linear — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 463
volume — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Formula
Bayes — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517, 518
Cauchy — . . . . . . . . . . . . . . . 45, 99, 101
Green — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Green-Ostrogradski — . . . . . . 205 , 477
Gutzmer — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Poincaré — . . . . . . . . . . . . . . . . 516,6 0 6
Poisson summation — . . . . . . 271, 309
Stirling — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Stokes — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Taylor — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Taylor-Lagrange —. . . . . . . . . . . .31, 32
Taylor-Young — . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Four-vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Fourier
coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 258, 264
partial — series . . . . . . . . . . . . . . . . 258
series . . . . . . . . . . . . . . . . 258, 264, 265
transform
of X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307
computation by residues . . . . . 120
conjugate — transform . . . . . . . 278
of δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
of a distribution . . . . . . . . . . . . 300
of a function . . . . . . . . . . . . . . . 278
of the gaussian . . . . . . . . . 126, 295
of H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
inverse of the — 28 2, 284 , 291, 306
of the laplacian . . . . . . . . . . . . . 305
of the lorentzian 1/(1 + t
2
) . . . 84
of pv(1/x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
in R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
sine and cosine — . . . . . . . . . . . 295
Fourier Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
fp(1/x
k
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324, 345
Fraunhofer approximation . . . . . . . . . . . 314
Free family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Frequencies (Matsubara —) . . . . . . . . . . . 128
Fubini Guido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Fubini-Lebesgue theorem . . . . . . . . . . . . . 79
Fubini-Tonelli theorem. . . . . . . . . . . . . . . 80
Function
analytic —. . . . . . . . . . . . . . . . . .35, 101
antihermitian — . . . . . . . . . . . . . . . 285
antiholomorphic — . . . . . . . . . 9 2 , 157
autocorrelation —. . . . . . . . . .368, 370
Bertrand — (t
α
log
β
t) . . . . . . . . . . . 74
Bessel — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320, 324
causal — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331, 36 6
characteristic — . . . . . . . . . . . . . 63, 541
coherence — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Dirac “function” . . . . . . . . . . 185, 186
Dirichlet — . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 279
distribution — . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
joint — . . . . . . . . . . . . . . . . 534, 538
entire — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Euler — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
finite power —. . . . . . . . . . . . . . . . .370
Green — . . . . . . 165,236, 408, 407–432
of the d’Alembertian . . . . 414, 417
of the harmonic oscillator . . . 409
of the heat equation . . . . 423, 424
harmonic —. . . . . . . . . . . 139, 139–144
Heaviside — . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 193
hermitian — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
holomorphic — . . . . . . . . . . . . . . . . 90
integrable —. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
intercorrelation — . . . . . . . . . . . . . 369
locally integrable — . . . . . . . . . . . . 184
measurable — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
meromorphic — . . . . . . . . . . . . . . . 110
multivalued — . . . . . . . . . . . . . 135–139
rapidly decaying — . . . . . . . . . . . . . 288
rectangle — Π(x) . . . . . . . . . . 213, 279
self-coherence — . . . . . . . . . . . . . . . 369
simple — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
slowly increasing — . . . . . . . . . . . . 301
test — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
636 Index
transfer — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
continuity of a linear — . . . . . . . . 184
G
g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
b
g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
g
µν
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
g
µν
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Γ(z) (Euler function) . . . . . . . . . . . . . . . 154
Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
Gauss Carl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
distribution . . . . . . . . . . . . . . . 515, 557
Fourier transform . . . . . . . . . 126, 295
Gelfand t riple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Generated (σ-algebra —) . . . . . . . . . . 58, 513
Generators (infinitesimal —) . . . . . . . . . 495
Gibbs Josiah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Gibbs phenomenon. . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Graph of a linear operator . . . . . . . . . . 390
Green
— -Ostrogradski formula . . . 205, 477
formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
function . . . . . 165, 236, 408, 407–432
of the d’Alembertian . . . . 414, 417
of the harmonic oscillator . . . 409
of the heat equation . . . . 423, 424
theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Green George . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Green-Riemann theorem . . . . . . . . . . . . 105
Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
abelian (commutative) — . . . . . . . 489
linear representation . . . . . . . . . . . 492
one-parameter — . . . . . . . . . . . . . . . 495
of rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 92
Gutzmer formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
H
H (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Half-life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
Hankel transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Harmonic function . . . . . . . . . 139, 139–144
Harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . 239, 409
Heat
equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 240, 422
kernel . . . . . . . . . . . . . . . . 240, 423, 424
operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Heaviside
distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Fourier transform of H . . . . . . . . 304
function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 193
Laplace transform of H . . . . . . . . 334
Heaviside Oliver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Heisenberg uncertainty relations . 363, 404
Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 263
Hermitian
endomorphism. . . . . . . . . . . . . . . . 379
function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Hilbert
basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
infinite hotels . . . . . . . . . . . . . . 12, 330
space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
transform. . . . . . . . . . . . . . . . .227, 3 66
Hilbert David . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Hodge operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Holomorphic function. . . . . . . . . . . . . . .90
Holomorphically si mply connected . . . 114
Homeomorphic open sets . . . . . . . . . . . 157
Homeomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Homotopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .575
I
I.r.v.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
Identity
Bienaymé — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
parallelogram — . . . . . . . . . . . . . . . 253
Parseval — . . . . . . . . . . . . . . . . 259, 265
Parseval-Plancherel — . . . . . . . . . . . 291
Poisson summation formula . . . . 271
Taylor-Lagrange — . . . . . . . . . . . . . . 31
Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Independent
σ-algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
random variables . . . . . . . . . . . . . . 537
Indices
contracted — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
contravariant — . . . . . . . . . . . 434, 451
covariant — . . . . . . . . . . . . . . . 437, 449
Inequality
Bessel — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Bienaymé-Tchebychev — . . . . . . . . 547
Cauchy-Schwarz — . . . . . . . . . . . . . 25 2
Heisenberg — . . . . . . . . . . . . . 363, 404
Minkowski — . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Taylor-Lagrange — . . . . . . . . . . . . . . 32
Infinite hotels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 330
Infinitesimal generators . . . . . . . . . . . . . 495
Integrable function . . . . . . . . . . . . . . . 64, 64
Integral
of a differential form . . . . . . . . . . 471
Lebesgue — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Riemann — . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 53
Riemann-Stieltjes — . . . . . . . . 529, 552