Антонова Н.Б., Вечер А.В. Прогнозирование и планирование экономики
Подождите немного. Документ загружается.
fi
p
xi
Рис 7. Схема получения кривой плотности распределения.
Высота кривой плотности распределения показывает
вероятность появления заданного значения случайной
величины. Площадь под кривой плотности распределения
принимается равной единице. Это вероятность появления
любого значения случайной величины в диапазоне от
до
. Тогда отношение площади фигуры ограниченной кривой
плотности распределения и двумя вертикальными отрезками
проходящими через
x
и
x
к площади всей фигуры под кривой
плотности распределения равно вероятности появления
очередного значения случайной величины в диапазоне от
x
до
x
(рис 8, а).
В пределе
x
может быть равно
, тогда площадь левой
части фигуры будет равна вероятности появления очередного
значения случайной величины меньшего или равного
x
(рис 8,
б). В случае, когда
x
=
, то правая часть фигуры будет
равна вероятности появления очередного значения случайной
величины большего или равного
x
(рис 8, в).
Помимо функции плотности распределения для
характеристики типа распределения может использоваться
функция, показывающая вероятность появления очередного
значения случайной величины меньшего или равного заданному
значению. Это кумулятивная (накопленная) функция
распределения. Точки на кривой распределения представляют
собой значения площади под кривой плотности распределения в
диапазоне от
до
x
, иными словами они равны интегралу
x
dxxf )(
91
где:
)(xf
– функция плотности распределения.
xx
p
x
x
x
x
xxx
p
x
p
x
x
x
x
p
x
x
x
xx
p
x
p
x
а)
в)
б)
Рис 8. Использование кривой плотности распределения для
определения вероятности появления очередного значения
случайной величины в заданном диапазоне.
По графику кумулятивной кривой распределения помимо
вероятности появления значения случайной величины в
заданных пределах, можно определить ее ожидаемое значение
(такое
x
, для которого функция распределения равна 0,5),
ожидаемый убыток (
0x
) и ожидаемый доход (
0x
).
Ожидаемый убыток это расстояние от оси ординат до центра
тяжести фигуры, образованной функцией распределения и
осями координат. Ожидаемый доход это расстояние от оси
ординат до центра тяжести фигуры образованной осью ординат,
функцией распределения и горизонтальной прямой, проходящей
через 1 на оси ординат (рис.9).
92
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис 9. Использования функции распределения для
нахождения ожидаемого дохода и убытка.
Математически ожидаемый убыток равен
0
)(* dxxfx
а ожидаемый доход
0
)(* dxxfx
Типов распределения случайной величины существует
очень много, но наиболее часто встречается на практике
нормальное распределение. Его наибольшая
распространенность доказана математически. Согласно одному
из вариантов предельной теоремы теории вероятности, если
исследуемая случайная величина зависит от многих других
случайных величин и среди этих влияющих величин нет
превалирующих по силе влияния, то исследуемая случайная
величина будет иметь распределение близкое к нормальному
вне зависимости от того какие распределения имеют влияющие
величины.
Нормальное распределение имеет форму колоколо-
образной симметричной кривой, наивысшая точка которой
соответствует
x
, а высота и ширина определяются значением
. Функция плотности нормального распределения описывается
зависимостью вида:
93
2
)(5.0
2
1
xx
e
x
p
На рис.10 показаны кривые плотности нормального
распределения трех случайных величин, иллюстрирующие
влияние параметров случайной величины на кривую плотности
нормального распределения. Как следует из этих графиков
положение кривой на числовой оси определяется средним
значением случайной величины - средина кривой плотности
нормального распределения соответствует, а форма кривой – ее
высота и ширина - определяются стандартным отклонением
.
х
x
p
321
xxx
321
1
2
3
Рис 10. Влияние параметров случайной величины на положение
и форму кривой плотности нормального распределения.
В зависимости от конкретных значений
x
и
существует
бесчисленное множество вариантов кривой плотности
распределения. Тем не менее, за счет алгебраического
преобразования случайной величины все это многообразие
может быть сведено к одному единственному варианту.
Если вычесть из значений случайной величины ее среднее
значение, т.е. осуществить замену координаты
i
x
на
x
i
x
, то
все кривые плотности распределения располагаются
симметрично оси ординат (рис.11а). Различия между ними
сохраняются лишь только в высоте и ширине. Высота каждой из
них равна
2
1
и при
0
становится равной
, т.е.
94
случайная величина превращается в обычную
детерминированную. Еще одно преобразование заключающееся
в делении
x
i
x
на стандартное отклонение приводит к тому, что
кривые плотности нормального распределений любой случайной
величины преобразуется к одной единственной кривой –
функции плотности вероятности стандартизованного
нормального распределения.
На горизонтальной оси в этом случае откладываются не
значения случайной величины, а их безразмерные аналоги,
измеренные в стандартных отклонениях.
x
x
p
xx
i
x
p
x
p
xx
i
Рис 11. Преобразование нормального распределения к
стандартизованному виду.
Кривая плотности стандартизованного нормального
распределения детально изучена. Ее значения, а также значения
кумулятивной функции, приводятся практически во всех
учебниках по теории вероятности и статистике. Это позволяет
легко осуществлять расчеты вероятности появления того или
иного события для любой случайной величины имеющей
нормальное распределение. Так, например, для определения
вероятности появления очередного значения случайной
величины, равного
x
необходимо найти
xx
z
, далее по
таблице плотности вероятности стандартного нормального
распределения
z
p
найти эту вероятность. В случае, если
необходимо найти вероятность того, что очередное значение
95
случайной величины не превысит
*
x
, то опять необходимо
вначале осуществить переход от
*
x
к
*
z
и затем искать эту
вероятность по таблице появления очередного значения
случайной величины в диапазоне от
до
*
z
. Единственная
трудность встречающаяся при этом заключается в том, что в
различных источниках приводятся различные варианты
диапазона для которого осуществлен расчет вероятности
появления случайной величины в заданном диапазоне. Этот
диапазон может быть в классическом виде от
до
z
; от 0 до
z
, от
z
до
z
. В случае, если расчеты вероятности
осуществляются в электронной таблице, то задача существенно
упрощается, т.к. в ней имеется специальная функция,
позволяющая без использования z- преобразования
осуществлять расчет вероятности появления заданного значения
случайной величины или того, что она не превысит заданную
величину. Все остальные варианты легко находятся согласно
схеме рис.6.
Вероятность того, что очередное значение случайной
величины окажется не менее
x
находится по формуле:
xx
p
xx
p
1
,
вероятность того, что очередное значение случайной
величины окажется в диапазоне от
x
до
x
- по формуле:
xx
p
xx
p
xxx
p
,
вне этого диапазона:
)1(
; xx
p
xx
p
xxxx
p
Для экспрессных оценок вероятности появления того или
иного события полезно знать некоторые базовые соотношения
для нормального распределения:
вероятность попадания очередного значения случайной
величины в интервал
x
составляет 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1
96
2x
составляет 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1
3x
составляет 99,7%, т.е. шансы примерно 300 к 1.
Или иной вариант, более удобный для практики:
существует 10% вероятность того, что очередное значение
окажется вне пределов
64.1x
(1 шанс из 10);
5% вероятность выхода за пределы
96.1x
(1 шанс из
20);
1% вероятность выхода за пределы
6.2x
(1 шанс из
100).
При работе с выборками всегда возникает вопрос о том
насколько обосновано избранное для расчетов то или иное
распределение и каковы ошибки при неверно выбранном типе
распределения. Русским математиком Чебышевым была
доказана теорема о том, что в случае любого распределения
вероятность выхода очередного значения за пределы
3x
не
превышает 10%. Иными словами любые ошибки в выборе
распределения грозят нам погрешностями не превышающими
10%, в то время как попытки оценок вероятности «на глазок»
очевидно чреваты куда более существенными промахами.
В заключение отметим, что задача прогнозирования
случайной величины по выборке ее предыдущих значений или
по значениям, характерным для объектов того же класса
сводится:
к нахождению медианы, среднего значения или моды
служащих в качестве прогнозного значения;
указанию пределов и вероятности попадания прогноза в эти
пределы в качестве характеристики точности прогноза.
В качестве альтернативного способа характеристики
точности прогноза можно указать вероятность получения и
ожидаемую величину отрицательного значения прогнозируемой
97
величины и вероятность и ожидаемую величину положительного
значения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение случайной величины.
2. Дайте определение непрерывной случайной величины и
приведите ее примеры.
3. Дайте определение дискретной случайной величины и
приведите ее примеры.
4. Что такое генеральная совокупность и выборка?
5. Опишите процесс построения гистограммы.
6. Какие дефекты исходных данных можно выявить с
помощью предварительного анализа данных?
7. Какую из характеристик случайной величины и в каких
случаях необходимо применять для прогнозирования по
выборке?
8. Какая характеристика случайной величины чаще всего
используется для оценки изменчивости случайной
величины?
9. Как определить моду непрерывной случайной величины
10. Приведите схему определения вероятности появления
очередного значения случайной величины не
превышающего заданное значение.
11. Приведите схему определения вероятности появления
очередного значения случайной величины не менее
заданного значения.
12. Приведите схему определения вероятности появления
очередного значения случайной величины в заданном
диапазоне.
13. Приведите схему определения вероятности появления
очередного значения случайной величины вне заданного
диапазона.
98
14. Как определить вероятность появления отрицательного
значения случайной величины и его ожидаемое значение?
15. Какой тип распределения является самым
распространенным и почему?
16. С какой целью осуществляется преобразование
нормального распределения к стандартизованному виду?
17. Как сказываются ошибки в выборе типа распределения на
точности определения вероятности наступления события?
18. Какими параметрами случайной величины задается
положение и форма кривой нормального распределения?
19. Опишите схему прогнозирования по выборке.
20. Как можно охарактеризовать точность прогноза?
21. Опишите, в каких случаях применяется прогнозирование по
выборке, приведите примеры задач.
99
ТЕМА 5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ЛЕКЦИЯ 5
Основные понятия:
стохастическая связь; регрессионное уравнение;
случайная составляющая; несмещенность; эффективность;
метод наименьших квадратов; коэффициенты уравнения
регрессии; коэффициент корреляции; коэффициент
детерминации; уровень значимости; уровень надежности;
проверка статистической значимости; число степеней
свободы; нулевая гипотеза; ошибка первого рода; ошибка
второго рода; F-критерий; t-критерий Стьюдента;
остаточная дисперсия; доверительный интервал;
многомерная регрессия; линеаризация; условия Гауса-
Маркова.
Общая схема прогнозирования с использованием
регрессионной зависимости
На практике чаще всего известны не только значения
прогнозируемой величины для объектов аналогичных объекту
прогнозирования или сама эта величина в прошлом, но и другие
величины, влияющие на прогнозируемую или изменяющиеся
совместно с ней. В этом случае говорят о наличии связи между
этими величинами и использование знаний об этой связи,
позволяет значительно повысить точность по сравнению с
прогнозированием по выборке.
Рассмотрим простейший случай парной зависимости, когда
есть прогнозируемая величина и лишь одна величина на нее
влияющая.
100