Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Елементарна математика. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
8. Тригонометричні функції. Ч. 2 81
11)
tg 5;
x
12)
ctg 2;
x
13)
5 3
cos 5 ;
12 2
x
14)
3 1
sin ;
6 4 2
x
15)
2
ctg 1;
2 3
x
16)
tg 3 1.
3
x
8.8. Розв’яжіть нерівність:
1)
sin 2 0;
x
2)
sin 3 0;
x
3)
cos 3 0;
x
4)
cos 2 0;
x
5)
tg 3 0;
x
6)
ctg 0;
5
x
7)
1
sin ;
2
x
8)
4
sin ;
9
x
9)
1
cos ;
9
x
10)
3
cos ;
8
x
11)
tg 4 3;
x
12)
tg 2 8;
x
13)
ctg 3 4;
x
14)
ctg 2 3;
x
15)
3 3
sin ;
4 9 2
x
16)
4
sin ;
2 3 5
x
17)
1
cos ;
5 8 3
x
18)
7
cos .
4 8
x
Відповіді
8.7. 1)
, ;
3
n
x n
2)
, ;
14 7
n
x n
3)
2 4 , ;
x n n
4)
5 , ;
x n n
5)
4 1, ;
x n n
6)
, ;
8 4
n
x n
7)
1,2
, ;
2
x n n
8)
2
, ;
5
n
x n
9)
1 2
1 1
arcsin , arcsin , ;
3 3
x n x n n
10)
1 2
1 1
arccos 2 , arccos , ;
3 3
x n x n n
11)
arctg 5 , ;
x n n
12)
arcctg 2 , ;
x n n
13)
1 2
2 7 2
, , ;
20 5 60 5
n n
x x n
14)
1 2
7
12 , 12 , ;
2 2
x n x n n
15)
2 , ;
6
x n n
16)
5
, .
36 3
n
x n
8.8. 1)
; , ;
2
x n n n
2)
2 2
; , ;
3 3 3
n n
x n
82 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
3)
2 2
; , ;
6 3 6 3
n n
x n
4)
3
; , ;
4 4
x n n n
5)
; , ;
3 6 3
n n
x n
6)
5
5 ; 5 , ;
2
x n n n
7)
5
2 ; 2 , ;
6 6
x n n n
8)
4 4
2 arcsin ;2 arcsin , ;
9 9
x n n n
9)
1 1
arccos 2 ;2 arccos 2 , ;
9 9
x n n n
10)
3 3
2 arccos ; arccos 2 , ;
8 8
x n n n
11)
1
arctg 3 ; , ;
4 4 8 4
n n
x n
12)
1
; arctg 8 , ;
4 2 2 2
n n
x n
13)
1
arctg 4 ; , ;
3 3 3 3 3
n n
x n
14)
1
; arcctg 3 , ;
2 2 2
n n
x n
15)
8 8 20 8
; , ;
27 3 27 3
n n
x n
16)
4 4 2 4
2 arctg 4 ; 2 arcsin 4 , ;
3 5 3 5
x n n n
17)
75 1 5 1
10 5 arccos ;10 5 arccos , ;
8 3 8 3
x n n n
18)
7 7
4 arccos 8 ; 4 cos 8 , .
8 8
x n n n
9. Побудова графіків функцій
Навчальні задачі
9.1.1. Знайти область означення функції
2
5 7
( ) .
4
x
f x
x
Розв’язання.
[2.15.1.]
Функції
1
( ) 5 7
f x x
та
2
2
( ) 4
f x x
означені на всій числовій осі.
Функція
1
2
( )
( )
( )
f x
f x
f x
не означена в точках, де
2
( ) 0.
f x
2 2
1,2
4 0 4 2.
x x x
Область означення функції
( ) ( ; 2) ( 2; 2) (2; ).
D f
9.1.2. Знайти область означення функції
( ) 2 2 .
f x x x
Розв’язання.
[2.15.2.]
9. Побудова графіків функцій 83
Функція
( )
f x
означена, якщо
2 0
x
і
2 0.
x
2 0, 2,
2 2.
2 0 2
x x
x
x x
Область означення функції
( ) [ 2; 2].
D f
9.1.3. Знайти область означення функції
( ) ln(3 ).
f x x
Розв’язання.
[2.15.3.]
Функція
( )
f x
означена, якщо
3 0 3.
x x
Область означення функції
( ) ( ; 3).
D f
9.1.4. Знайти область означення функції
( ) arcsin tg .
f x x
Розв’язання.
[2.15.7, 2.14.5.]
Функція
( )
f x
означена, якщо
tg 1
x
і
, .
2
x n n
tg 1,
tg 1
tg 1.
x
x
x
arctg 1 ; arctg( 1) arctg 1 .
4 4
, .
4 4
n x n n
Рис. до зад. 9.1.4
( ) : ; , .
4 4
D f x n n n
9.2.1. Знайти множину значень функції
2
4 5.
y x x
Розв’язання. [1.8.3.1]
[Вилучаємо повний квадрат у квадратичного многочлені.]
2 2
4 5 ( 2) 1.
x x x
Для всіх
x
правдиві нерівності:
2 2
( 2) 0 ( 2) 1 1.
x x
Множина значень функції
( ) [1; ).
E y
9.2.2. Знайти множину значень функції
11 cos .
y x
Розв’язання.
[2.8.2.]
Для всіх
x
правдиві нерівності
1 cos 1 11 11 cos 11.
x x
Множина значень функції
( ) [ 11;11].
E y
y
x
4
4
1
1
1
84 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
9.3.1. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
2
4 5.
y x x
Розв’язання.
[2.5.4, 2.10.1, 2.10.2.]
[Перетворюємо квадратичну функцію, вилучаючи повний квадрат.]
2 2
4 5 ( 2) 1.
y x x x
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції
2
y x
перенесенням ліво-
руч на
2
вздовж осі
Ox
і на
1
вгору вздовж осі
Oy
:
2 2 2
( 2) ( 2) 1.
y x y x y x
9.3.2. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
3 1
.
1
x
y
x
Розв’язання.
[2.5.8, 2.10.1–2.10.4.]
[Перетворюємо дробово-лінійну функцію, вилучаючи цілу частину дробу.]
3 1 3( 1) 2 2
3 .
1 1 1
x x
y
x x x
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції
1
y
x
розтягуванням у
2
рази
вздовж осі
,
Oy
перенесенням на
1
у напрямі осі
Ox
і на
3
у напрямі осі
Oy
:
1 2 2 2
3 .
1 1
y y y y
x x x x
x
O
y
2
1
2
( 2) 1
y x
x
O
y
2
1
2
( 2) 1
y x
x
O
y
2
2
( 2)
y x
x
O
y
2
y x
9. Побудова графіків функцій 85
Рис. до зад. 9.3.2
9.3.3. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
3 sin 2 .
y x
Розв’язання.
[2.8.1, 2.10.3, 2.10.4.]
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції
sin
y x
стисканням у
2
рази
вздовж осі
Ox
і розтягуванням у
3
рази вздовж осі
.
Oy
sin sin 2 3 sin 2 .
y x y x y x
Рис. до зад. 9.3.3
x
O
y
3 sin 2
y x
2
2
1
3
x
O
y
3 sin 2
y x
2
2
1
3
y
x
O
1
2
1
y
x
y
x
O
1
1
2
2
y
x
y
x
O
1
3
2
3
1
y
x
y
x
O
1
3
2
3
1
y
x
y
x
O
1
y
x
x
O
y
sin 2
y x
2
2
x
O
y
sin
y x
86 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
9.3.4. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
tg .
2 4
x
y
Розв’язання.
[2.8.3, 2.10.1, 2.10.3.]
[Перетворюємо аргумент функції, щоб дізнатись про «справжній» зсув.]
1
tg tg .
2 4 2 2
x
y x
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції
tg
y x
розтяганням у
2
рази
вздовж осі
Ox
і перенесенням на
2
вздовж осі
.
Ox
1
tg tg tg .
2 2 2
x
y x y y x
Рис. до зад. 9.3.4
O
2
2
x
y
2
3
2
5
2
3
tg
2 4
x
y
O
2
2
x
y
2
3
2
5
2
3
tg
2 4
x
y
O
2
2
3
2
x
y
2
tg
2
x
y
O
2
2
3
2
x
y
9. Побудова графіків функцій 87
9.3.5. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
arcsin .
y x
Розв’язання.
[2.9.1, 2.10.5, 2.10.7.]
Графік функції
arcsin
y x
дістанемо з графіка функції
arcsin
y x
так:
1) будуємо частину графіка
arcsin , 0;
y x x
2) доповнюємо побудовану криву її дзеркальним відбитком щодо осі
.
Oy
Графік функції
arcsin
y x
дістанемо з графіка функції
arcsin
y x
дзер-
кальним відбиттям щодо осі
.
Ox
arcsin , 0 arcsin arcsin .
y x x y x y x
Рис. до зад. 9.3.5
9.3.6. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
2
log .
y x
Розв’язання.
[2.7.2, 2.10.8.]
Графік функції
2
log
y x
дістанемо з графіка функції
2
log
y x
так:
1) будуємо графік функції
2
log ;
y x
2) не змінюємо частину графіка, яка розташована над віс-
сю
;
Ox
3) дзеркально відбиваємо щодо осі
Ox
частину графіка,
яка розташована під віссю
.
Ox
2 2
log log .
y x y x
y
x
O
1
2
log
y x
y
x
O
1
2
arcsin
y x
1
2
y
x
O
1
2
arcsin
y x
1
2
y
x
O
1
2
arcsin
y x
1
y
x
O
1
2
arcsin , 0
y x x
88 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
Рис. до зад. 9.3.6
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
9.4. Знайдіть область означення функції:
1)
2
9 ;
y x x
2)
2
;
y x x
3)
5
1
;
log ( 6)
y
x
4)
3
1
;
log ( 4)
y
x
5)
arcsin(5 1);
y x
6)
5
arccos ;
6
x
y
7)
tg ;
6
y x
8)
ctg .
3
y x
9.5. Знайдіть множину значень функції:
1)
2
2 2;
y x x
2)
2
6 5;
y x x
3)
5 sin 5 ;
y x
4)
6 2 cos ;
y x
5)
arccos ;
y x
6)
arcsin ;
y x
7)
sin
5 ;
x
y
8)
cos
1
.
3
x
y
9.6. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
2
2 ;
y x
2)
2
;
4
x
y
3)
2
4;
y x
4)
2
3;
y x
5)
2
( 1) ;
y x
6)
2
( 3) ;
y x
7)
2
6 ;
y x x
8)
2
4 ;
y x x
9)
2
4 3;
y x x
10)
2
2 ;
y x x
11)
2
2 8 ;
y x x
12)
2
2 .
y x x
y
x
O
2
log
y x
1
y
x
O
1
2
log
y x
9. Побудова графіків функцій 89
9.7. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
3
2 ;
y x
2)
3
;
y x
3)
3
( 1) 2;
y x
4)
2
( 2) 1;
y x
5)
;
y x
6)
;
y x
7)
2 ;
y x
8)
1;
y x
9)
3
1;
y x
10)
3
1 ;
y x
11)
3
;
y x
12)
.
y x
9.8. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
1
1 ;
2
y
x
2)
1
3 ;
1
y
x
3)
2
;
1
y
x
4)
3
;
2
y
x
5)
2
;
2
x
y
x
6)
2 3
;
3
x
y
x
7)
2
;
2
x
y
x
8)
2 3
;
3
x
y
x
9)
2
;
2
x
y
x
10)
2 3
;
3
x
y
x
11)
2
;
2
x
y
x
12)
2 3
.
3
x
y
x
9.9. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
2 1;
x
y
2)
4 1;
x
y
3)
1
1
;
3
x
y
4)
1
1
;
2
x
y
5)
2 ;
x
y
6)
1
;
3
x
y
7)
1
1 ;
2
x
y
8)
4 2 ;
x
y
9)
3
log
3 ;
x
y
10)
3
log 3 ;
x
y
11)
3
log
3 ;
x
y
12)
3
log
3 .
x
y
9.10. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
2
log ( 1);
y x
2)
3
log ( 3);
y x
90 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
3)
1 3
log (2 3);
y x
4)
1 2
log (2 1);
y x
5)
3
1 log ;
y x
6)
2
1 log ( );
y x
7)
2
log ( 1);
y x
8)
1 2
log 2 ;
y x
9)
2
log ( 1) ;
y x
10)
1 2
log 2 ;
y x
11)
2
log 1 ;
y x
12)
1 2
log 2 .
y x
9.11. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
2 cos ;
3
y x
2)
1
cos ;
2 3
y x
3)
cos 2 1;
4
y x
4)
cos 1;
3 6
x
y
5)
1
sin ;
2 3
y x
6)
3 sin ;
3
y x
7)
sin 1;
2 4
x
y
8)
sin 2 2;
3
y x
9)
tg ;
6
y x
10)
tg ;
3
y x
11)
ctg ;
3
y x
12)
ctg ;
6
y x
13)
tg 2 ;
3
y x
14)
ctg ;
2 6
x
y
15)
sin ;
y x
16)
cos ;
y x
17)
sin ;
y x
18)
cos .
y x
9.12. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1)
2 arcsin( 1) ;
2
y x
2)
1
arcsin( 1) ;
2 3
y x
3)
1
arccos( 2) ;
2 4
y x
4)
2 arccos( 2) ;
4
y x
5)
3 arctg( 1) ;
2
y x
6)
1
arctg( 1) ;
3 6
y x
7)
1
arcctg( 3);
3
y x
8)
3 arcctg( 1);
y x
9)
sin(arcsin );
y x
10)
cos(arccos );
y x
11)
tg(arctg );
y x
12)
ctg(arctg );
y x