Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Елементарна математика. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Розділ 2. ФУНКЦІЇ 21
Дзеркальне відбиття щодо осі
Oy.
Щоб побудувати графік
( ),
y f x
графік
( )
y f x
симетрично
відображують щодо осі
.
Oy
Щоб побудувати графік
,
y f x
частину графіка
( ), 0,
y f x x
доповнюють його відбитком щодо осі
.
Oy
Щоб побудувати графік
( ) ,
y f x
частину графіка
( ), 0,
y f x y
не
міняють, а частину графіка
( ), 0,
y f x y
відбивають щодо осі
.
Ox
2.11. Гармонічне коливання
Гармонічне коливання
sin( ),
y M t
де
t
— час,
0
M
— амплітуда,
0
— частота (колова),
t
— фаза,
— початкова фаза.
Формула доповняльного кута
sin cos sin( ),
A t B t M t
2 2
2 2
2 2
;
cos ,
sin
M A B
A
A B
B
A B
x
y
O
M
M
2
T
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
22 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
2.12. Деякі характеристики функції
Парна функція. Функцію
f
називають парною, якщо:
1) її область означення
( )
D f
симетрична щодо початку координат;
2) для будь-якого
( )
x D f
виконано
рівність
( ) ( ).
f x f x
Графік парної
функції
симетричний
щодо осі
.
Oy
Непарна функція. Функцію
f
називають непарною, якщо:
1) її область означення
( )
D f
симетрична щодо початку координат;
2) для будь-якого
( )
x D f
виконано
рівність
( ) ( ).
f x f x
Графік непарної
функції
симетричний
щодо початку
координат.
Зростаюча функція. Функція
зростає на множині
,
X
якщо для
будь-яких
1 2
,
x x X
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
Спадна функція. Функція спадає на
множині
,
X
якщо для будь-яких
1 2
,
x x X
1 2 1 2
( ) ( )
x x f x f x
Періодична функція. Функцію
f
називають періодичною з періодом
0,
T
якщо для будь-якого
( )
x D f
:
1)
( ) ( );
x T D f
2)
( ) ( ).
f x T f x
Графік періодичної складається з
повторюваних фрагментів графіка
функції на проміжку
[0; ].
T
Якщо функція
( )
f x
періодична з
періодом
,
T
то
функція
( )
y Af kx b
також є
періодичною з періодом
T
k
O
T
x
y
2
T
T
a
a T
( )
f a
1
x
2
x
x
2
( )
f x
1
( )
f x
y
1
x
2
x
x
1
( )
f x
2
( )
f x
y
x
a
y
a
O
( )
f a
( )
f a
x
O
y
a
a
( )
f a
Розділ 2. ФУНКЦІЇ 23
2.13. Розв’язання степеневих рівнянь і нерівностей
Лінійне рівняння і нерівності.
0
a
0
a
ax b
x b a
x b a
ax b
, 0
x b a a
ax b
x b a
x b a
Квадратичне рівняння і нерівності
0 1 2
( , ,
x x x
— корені рівняння).
0
a
0
D
0
D
0
D
2
0
ax bx c
1 2
( ; )
x x
2
0
ax bx c
0
x x
1 2
{ , }
x x
2
0
ax bx c
0
x x
1
2
,
x x
x x
0
a
2
0
ax bx c
0
x x
1
2
,
x x
x x
2
0
ax bx c
0
x x
1 2
{ , }
x x
2
0
ax bx c
1 2
( ; )
x x
0, 0
a D
O
1
x
y
2
y ax bx c
2
x
x
0, 0
a D
O
1
x
y
2
y ax bx c
2
x
x
x
O
y b
y
b
a
y ax
24 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
Степеневі рівняння і нерівності
( )
n
0
a
0
a
0
a
2n
x a
2 2
( ; )
n n
a a
2n
x a
0
x
2n
x a
2n
x a
0
x
2
2
,
n
n
x a
x a
2n
x a
2
[0; )
n
a
2n
x a
0
x
2
n
x a
2n
x a
[0; )
(0; )
2
( ; )
n
a
2 1n
x a
2 1
( ; )
n
a
2 1n
x a
2 1
n
x a
2 1n
x a
2 1
( ; )
n
a
2 1n
x a
2 1
( ; )
n
a
2 1n
x a
2 1
n
x a
2 1n
x a
2 1
( ; )
n
a
Рівносильність деяких ірраціональних рівнянь та нерівностей.
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ;
n n
f x g x f x g x
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( );
n n
f x g x f x g x
2
2
( ) ( ),
( ) ( )
( ) 0;
n
n
f x g x
f x g x
g x
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( );
n
n
f x g x f x g x
2 2
( ) 0,
( ) ( )
( ) ( );
n n
f x
f x g x
f x g x
2
( ) 0,
( )
0
( ) 0;
( )
n
f x
f x
g x
g x
2
( ) 0,
,
( ) ( ) 0
( ) 0,
( ) 0;
n
f x
x D g
f x g x
g x
f x
2
2
( ) 0,
( ) ( ) ( ) 0,
( ) ( ) ;
n
n
f x
f x g x g x
f x g x
2
2
( ) 0,
( ) ( ) ,
( ) ( )
( ) 0,
( ) 0;
n
n
g x
f x g x
f x g x
g x
f x
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ;
n
n
f x g x f x g x
⑪
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ;
n
n
f x g x f x g x
⑫
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( );
n n
f x g x f x g x
⑬
2 2
( ) 0,
( ) ( )
( ) ( )
n n
f x
f x g x
g x f x
Розділ 2. ФУНКЦІЇ 25
2.14. Основні трансцендентні рівняння і нерівності
Показникові рівняння і нерівності
0
b
0
b
0 1
a
1
a
x
a b
log
a
x b
log
a
x b
x
a b
log
a
x b
x
a b
log
a
x b
log
a
x b
Логарифмічні рівняння і нерівності
0 1
a
1
a
log
a
x b
b
x a
0
b
x a
log
a
x b
b
x a
log
a
x b
0
b
x a
b
x a
Рівняння і нерівності з синусом
1
a
1
a
1
a
sin
x a
arcsin 2 arcsin 2
a n x a n
sin
x a
( 1) arcsin ,
n
x a n n
sin
x a
arcsin 2 arcsin 2
a n x a n
y
sin
y x
x
1
y a
arcsin
a
1
arcsin
a
a
O
1
arcsin
a
y
x
y
x
O
b
a
1
a
y b
log
a
y b
x
0 1
a
b
a
log
a
y b
y b
y
x
O
x
y a
1
a
y b
log
a
b
0 1
a
y
x
y a
y b
O
log
a
b
x
26 Розділ 2. ФУНКЦІЇ
Рівняння і нерівності з косинусом
1
a
1
a
1
a
cos
x a
arccos 2 2 arccos 2
a n x a n
cos
x a
arccos 2 ,
x a n n
cos
x a
arccos 2 arccos 2
a n x a n
Рівняння і нерівності з тангенсом
tg
x a
arctg
2
n x a n
tg
x a
arctg ,
x a n n
tg
x a
arctg
2
a n x n
Рівняння і нерівності з котангенсом
ctg
x a
arcctg ( 1)
a n x n
ctg
x a
arcctg ,
x a n n
ctg
x a
arcctg
n x a n
O
x
y
x
arcctg
a
y
arcctg
a
a
y a
arcctg
y x
O
2
2
x
y
x
arctg
a
y
arctg
a
a
y a
arctg
y x
y
cos
y x
x
1
y a
arccos
a
1
a
O
1
arccos
a
arccos
a
y
x
Розділ 2. ФУНКЦІЇ 27
Розв’язування тригонометричних нерівностей
sin
x a
cos
x a
tg
x a
ctg
x a
sin
x a
cos
x a
tg
x a
ctg
x a
2.15. Область означення складеної функції
Вказані обмеження треба розглядати на області означень функцій
f
та
.
g
( )
( )
f x
y
g x
( ) 0
g x
2
( ),
n
y f x n
( ) 0
f x
log ( )
a
y f x
( ) 0
f x
( )
log
f x
y b
( ) 0, ( ) 1
f x f x
tg ( )
y f x
( ) ,
2
f x n n
ctg ( )
y f x
( ) ,
f x n n
arcsin ( )
y f x
( ) 1
f x
arccos ( )
y f x
y
x
a
arcctg
a
1
y
x
a
2
arctg
a
1
y
x
a
arccos
a
y
x
a
arcsin
a
y
x
a
arcctg
a
1
y
x
a
2
arctg
a
1
y
x
a
arccos
a
2
1
y
x
a
arcsin
a
1
Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
3.1. Деякі властивості фігур
Площа прямокутного трикутника
1
2
S ab
Теорема Піфагора
2 2 2
a b c
Тригонометричні функції
sin , cos ,
tg , ctg
a b
c c
a b
b a
Площа трикутника
1
2
a
S ah
1
sin
2
S ab
Площа прямокутника
S ab
Площа паралелограма
a
S ah
sin
S ab
Площа трапеції
2
a b
S h
Площа круга
2
S r
r
h
b
a
a
h
b
a
a
b
a
h
b
a
a
b
c
Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ 29
3.2. Об’єми деяких тіл
Об’єм прямокутного
паралелепіпеда
V abc
Об’єм паралелепіпеда
осн
V S h
Об’єм піраміди
осн
1
3
V S h
Об’єм колового циліндра
2
V r h
Об’єм конуса
2
1
3
V r h
Об’єм кулі
3
4
3
V r
r
h
r
h
r
h
S
h
S
a
b
c
30 Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ
3.3. Пряма на площині
Рівняння прямої,
що проходить
через
дві точки
1 1 1
( ; )
M x y
та
2 2 2
( ; )
M x y
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
Рівняння прямої з кутовим
коефіцієнтом
tg
k
y kx b
Рівняння прямої з кутовим
коефіцієнтом
,
k
що проходить через
точку
0 0 0
( ; )
M x y
0 0
( )
y k x x y
Взаємне розташування прямих на площині
1 1 1
:
L y k x b
і
2 2 2
:
L y k x b
:
перпендикулярні
1 2
1
k k
паралельні
1 2
k k
3.4. Коло
Рівняння кола з центром у точці
O
радіусом
R
2 2 2
x y R
Рівняння кола з центром у точці
( ; )
C a b
радіусом
R
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
O
R
x
y
1
L
2
L
1
L
2
L
O
x
y
L
y kx b
b